Sederhanakan 2√27+6√3 / 2√48-√12! Tantangan itu berdiri di depan mata, sebuah teka-teki numerik yang penuh dengan simbol akar yang menjulang bagai pepohonan dalam hutan matematika yang gelap. Ekspresi tersebut bukan sekadar kumpulan angka dan tanda, melainkan sebuah labirin yang menuntut penyelamatan setiap bilangan dari belenggu bentuk akarnya, membawa mereka ke dalam terang bentuk yang paling sederhana dan elegan.
Perjalanan ini akan menelusuri dasar-dasar operasi aljabar dengan bentuk akar, menyoroti keindahan tersembunyi ketika bilangan-bilangan kompleks berhasil diurai. Setiap langkah penyederhanaan adalah sebuah revelasi, mengungkap hubungan harmonis di balik kerumitan yang tampak pertama kali, dan mengarah pada satu jawaban akhir yang rasional dan memuaskan.
Pengenalan Ekspresi Aljabar dengan Bentuk Akar: Sederhanakan 2√27+6√3 / 2√48-√12
Dalam aljabar, kita sering berjumpa dengan ekspresi yang melibatkan akar kuadrat, atau bentuk akar. Bentuk akar, seperti √2 atau √3, mewakili bilangan irasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana. Menyederhanakan ekspresi yang mengandung bentuk akar adalah proses untuk menulisnya dalam bentuk yang paling ringkas dan elegan, seringkali dengan mengeluarkan faktor kuadrat sempurna dari bawah tanda akar. Ini bukan sekadar soal kerapian; bentuk yang disederhanakan memudahkan operasi lanjutan seperti penjumlahan, pengurangan, dan rasionalisasi.
Operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan langsung pada bentuk akar yang “sejenis”, yaitu yang memiliki radikan (angka di dalam akar) yang sama setelah disederhanakan. Misalnya, 3√5 + 2√5 dapat dijumlahkan menjadi 5√5, serupa dengan menggabungkan variabel yang sama. Namun, 3√5 + 2√3 tidak dapat disederhanakan lebih lanjut dan harus dibiarkan sebagaimana adanya.
Identifikasi Awal pada Ekspresi Target
Mari kita fokus pada ekspresi yang diberikan: (2√27 + 6√3) / (2√48 – √12). Pada pandangan pertama, ekspresi ini terlihat kompleks. Langkah kritis pertama adalah mengidentifikasi setiap bentuk akar tunggal: √27, √3, √48, dan √12. Dengan menyederhanakan masing-masing bentuk akar ini terlebih dahulu, kita akan mengungkap bentuk akar sejenis yang mungkin tersembunyi, sehingga mempermudah proses penyederhanaan keseluruhan ekspresi.
Sebagai gambaran visual, bayangkan setiap bentuk akar sebagai sebuah paket yang perlu dibongkar. Di dalam paket √27, terdapat faktor 9 yang merupakan kuadrat sempurna. Memisahkan faktor ini adalah kunci untuk menyederhanakannya.
| Bentuk Asli | Bentuk Sederhana | Keterangan |
|---|---|---|
| √12 | 2√3 | Karena 12 = 4 × 3, dan √4 = 2. |
| √18 | 3√2 | Karena 18 = 9 × 2, dan √9 = 3. |
| √50 | 5√2 | Karena 50 = 25 × 2, dan √25 = 5. |
| √27 | 3√3 | Karena 27 = 9 × 3, dan √9 = 3. |
Menyederhanakan Bentuk Akar Tunggal
Prosedur menyederhanakan bentuk akar kuadrat berpusat pada prinsip dasar: √(a × b) = √a × √b. Tujuannya adalah memisahkan radikan menjadi dua faktor, di mana salah satunya adalah bilangan kuadrat sempurna terbesar (seperti 4, 9, 16, 25, dan seterusnya). Faktor kuadrat sempurna ini kemudian dapat “dikeluarkan” dari bawah tanda akar karena akar kuadratnya adalah bilangan bulat.
Pendekatan sistematis dimulai dengan memfaktorkan bilangan di dalam akar. Untuk bilangan yang lebih besar, faktorisasi prima dapat menjadi alat yang sangat membantu untuk mengidentifikasi pasangan faktor prima yang identik, yang bersama-sama membentuk kuadrat sempurna.
Langkah-langkah Faktorisasi dan Penyederhanaan
- Cari faktor kuadrat sempurna terbesar dari bilangan di dalam akar (radikan).
- Tulis radikan sebagai perkalian antara faktor kuadrat sempurna tersebut dan faktor lainnya.
- Pisahkan akar menjadi perkalian dua akar: √(kuadrat sempurna × faktor lain).
- Hitung akar kuadrat dari faktor kuadrat sempurna, lalu kalikan dengan akar dari faktor yang tersisa.
| Bilangan Asli | Faktorisasi Prima | Bentuk Sederhana | Penjelasan Singkat |
|---|---|---|---|
| 27 | 3 × 3 × 3 | 3√3 | Pasangan (3×3) membentuk 9 (√9=3), sisa satu faktor 3. |
| 48 | 2×2×2×2×3 | 4√3 | Dua pasang (2×2) membentuk 16 (√16=4), sisa faktor 3. |
| 12 | 2×2×3 | 2√3 | Satu pasang (2×2) membentuk 4 (√4=2), sisa faktor 3. |
Ilustrasi untuk √48: Bayangkan bilangan 48 diurai menjadi 16 ×
3. Secara visual, Anda dapat menggambar akar kuadrat yang besar, lalu di dalamnya memisahkan dua kompartemen: satu berisi angka 16 dan satu berisi angka 3. Karena akar kuadrat dari 16 adalah 4, kompartemen itu “dibongkar” dan angka 4 dikeluarkan ke depan tanda akar, meninggalkan √3 di dalam kompartemen yang tersisa.
Operasi Aritmatika pada Pecahan Bentuk Akar
Setelah setiap bentuk akar tunggal disederhanakan, langkah berikutnya adalah melakukan operasi aritmatika pada pembilang dan penyebut secara terpisah. Prinsip dasarnya tetap sama: kita hanya dapat menggabungkan suku-suku yang memiliki bentuk akar identik. Proses ini mirip dengan menggabungkan suku-suku sejenis dalam aljabar polinomial.
Substitusi bentuk sederhana ke dalam ekspresi awal akan mengubah masalah yang tampak rumit menjadi masalah kombinasi suku sejenis yang lebih jelas. Ini adalah momen “aha!” di mana struktur sebenarnya dari ekspresi tersebut terungkap.
Substitusi dan Penyederhanaan Bagian Demi Bagian
Mari kita terapkan pada ekspresi kita. Dari tabel sebelumnya, kita punya: √27 = 3√3, √48 = 4√3, dan √12 = 2√
3. Substitusikan nilai-nilai ini:
Pembilang: 2√27 + 6√3 = 2(3√3) + 6√3 = 6√3 + 6√3 = 12√3
Penyebut: 2√48 – √12 = 2(4√3) – 2√3 = 8√3 – 2√3 = 6√3
Perhatikan bagaimana setelah substitusi, semua suku di pembilang dan penyebut mengandung √3. Ini memungkinkan kita untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan dengan mudah, seperti halnya kita mengoperasikan variabel ‘x’. Hasil sementara kita sekarang adalah pecahan (12√3) / (6√3).
Rasionalisasi Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Dalam konvensi matematika, bentuk akhir yang elegan biasanya menghindari adanya bentuk akar di bagian penyebut. Proses untuk menghilangkan akar dari penyebut disebut rasionalisasi. Untuk penyebut yang berupa suku tunggal seperti √3, metode termudah adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk akar yang sama, yaitu √3.
Prinsip ini memanfaatkan sifat dasar bahwa √3 × √3 = 3, yang merupakan bilangan rasional. Dengan mengalikan pecahan dengan 1 (dalam bentuk √3/√3), kita tidak mengubah nilainya, hanya bentuk penulisannya.
Metode dan Perbandingan Hasil, Sederhanakan 2√27+6√3 / 2√48-√12
| Pecahan Awal | Langkah Kunci | Hasil Setelah Rasionalisasi |
|---|---|---|
| 5 / √2 | Kalikan dengan √2/√2 | (5√2) / 2 |
| 3 / (2√5) | Kalikan dengan √5/√5 | (3√5) / (2×5) = (3√5)/10 |
| (12√3) / (6√3) | Sederhanakan langsung (√3/√3=1) | 12/6 = 2 |
Ilustrasi untuk 5/√2: Bayangkan penyebut √3 sebagai sebuah objek yang “tidak rasional”. Dengan mengalikannya dengan dirinya sendiri, ia berubah menjadi bilangan bulat 3, sebuah objek yang “rasional”. Proses ini seperti mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut itu sendiri, meskipun untuk suku tunggal, konjugatnya adalah dirinya sendiri. Hasilnya, penyebut yang sebelumnya irasional menjadi bilangan bulat yang rasional.
Penyelesaian Lengkap dan Verifikasi Hasil
Source: gauthmath.com
Dengan menggabungkan semua langkah di atas, kita dapat menyajikan penyelesaian lengkap untuk soal “Sederhanakan (2√27+6√3) / (2√48-√12)” dalam alur yang terstruktur dan mudah diikuti. Setelah mendapatkan hasil akhir, penting untuk melakukan verifikasi untuk memastikan keakuratan perhitungan.
Verifikasi dapat dilakukan dengan dua pendekatan: menghitung nilai desimal aproksimasi dari ekspresi awal dan membandingkannya dengan nilai desimal dari hasil sederhana kita. Jika nilainya cocok, kita dapat yakin bahwa penyederhanaan telah dilakukan dengan benar.
Prosedur Final Penyederhanaan
- Sederhanakan setiap bentuk akar:
- √27 = √(9×3) = 3√3
- √48 = √(16×3) = 4√3
- √12 = √(4×3) = 2√3
- Substitusi ke dalam ekspresi: (2×(3√3) + 6√3) / (2×(4√3) – 2√3)
- Sederhanakan pembilang dan penyebut:
- Pembilang: 6√3 + 6√3 = 12√3
- Penyebut: 8√3 – 2√3 = 6√3
- Bentuk menjadi pecahan: (12√3) / (6√3)
- Sederhanakan dengan membagi koefisien dan menghilangkan √3/√3 = 1: 12/6 = 2.
Verifikasi Numerik:
Nilai ekspresi awal: 2√27 ≈ 2×5.196 = 10.392; 6√3 ≈ 6×1.732 = 10.392; Pembilang ≈ 20.784. – √48 ≈ 2×6.928 = 13.856; √12 ≈ 3.464; Penyebut ≈ 13.856 – 3.464 = 10.392.Nilai Awal ≈ 20.784 / 10.392 = 2.000 (pembulatan).
Nilai hasil sederhana kita: 2.Kedua nilai tersebut sesuai, mengonfirmasi kebenaran penyederhanaan.
Teknik verifikasi substitusi balik juga valid. Karena hasil akhir kita adalah 2, kita dapat mengalikan penyebut yang telah disederhanakan (6√3) dengan 2, yang menghasilkan 12√3. Ini persis sama dengan pembilang yang telah disederhanakan, sehingga mengonfirmasi bahwa pecahan asli memang setara dengan 2.
Penutupan
Dan demikianlah, labirin yang awalnya tampak begitu rumit telah berhasil ditaklukkan. Dari kerumitan 2√27+6√3 / 2√48-√12, kita tiba pada sebuah kesimpulan yang jernih dan rasional. Perjalanan ini mengingatkan bahwa di balik setiap bentuk yang kompleks, seringkali tersembunyi keindahan dan kesederhanaan yang hanya menunggu untuk ditemukan melalui ketekunan dan pemahaman yang tepat. Matematika, sekali lagi, membuktikan dirinya sebagai bahasa universal yang penuh dengan kejutan yang elegan.
Tanya Jawab Umum
Apa itu bentuk akar sekawan dan mengapa digunakan untuk merasionalkan?
Bentuk akar sekawan adalah ekspresi yang sama tetapi dengan tanda operasi di antara suku-suku berakarnya dibalik (misal, (a+√b) sekawannya adalah (a-√b)). Mengalikan penyebut dengan sekawannya memanfaatkan rumus selisih kuadrat (a+b)(a-b)=a²-b², yang akan menghilangkan tanda akar pada penyebut.
Apakah semua penyebut berbentuk akar harus dirasionalkan?
Dalam konteks penyederhanaan ekspresi aljabar dan matematika murni, ya, merasionalkan penyebut adalah praktik standar untuk menyajikan jawaban dalam bentuk yang paling sederhana dan elegan. Namun, dalam aplikasi sains atau teknik, nilai desimal terkadang lebih dipraktikkan.
Bagaimana jika pada langkah akhir setelah rasionalisasi, pembilang dan penyebut masih memiliki faktor yang sama?
Langkah penyederhanaan belum selesai. Faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut harus dibagi atau disederhanakan lebih lanjut untuk mendapatkan bentuk pecahan yang paling sederhana.
Apakah metode penyederhanaan ini hanya berlaku untuk akar kuadrat?
Tidak, prinsip serupa berlaku untuk akar pangkat lebih tinggi, seperti akar pangkat tiga. Namun, proses mencari faktor yang dapat dikeluarkan dan metode rasionalisasinya bisa menjadi lebih kompleks.
