Rumus Suku ke‑n pada Barisan 6, 8, 10, 12, 14… adalah kunci untuk membuka pola tersembunyi di balik deretan angka yang teratur. Memahami rumus ini tidak hanya sekadar menghitung, tetapi juga melatih logika untuk melihat keteraturan dalam dunia yang penuh pola, dari hitungan sederhana hingga perencanaan yang kompleks.
Barisan ini merupakan contoh klasik barisan aritmatika, di mana setiap suku selalu bertambah dengan nilai tetap. Dengan menemukan rumus suku ke-n, kita dapat dengan mudah melompat ke suku mana pun—baik suku ke-10, ke-100, atau bahkan meramalkan kapan suatu nilai tertentu akan tercapai—tanpa harus menuliskan semua sukunya satu per satu.
Pengertian dan Identifikasi Pola Barisan
Okay, jadi kita mulai dari yang basic dulu. Barisan aritmatika itu basically kumpulan angka yang punya selisih tetap antara satu angka ke angka berikutnya. Selisih tetap ini disebut “beda” atau “b”. Kalo selisihnya naik, bedanya positif. Kalo turun, bedanya negatif.
Itu ciri utamanya, jadi kamu bisa tebak angka selanjutnya dengan gampang banget.
Nah, kalo kita liat barisan 6, 8, 10, 12, 14…, selisihnya selalu +2, kan? Dari 6 ke 8, nambah 2. Dari 8 ke 10, nambah 2 lagi. Itu artinya ini adalah barisan aritmatika klasik dengan suku pertama (a) = 6 dan beda (b) = 2. Beda dengan barisan lain yang polanya random atau nggak tetap, kayak barisan geometri yang dikali, atau barisan Fibonacci yang lebih ribet.
Perbandingan Jenis Barisan
Source: kompas.com
Supaya lebih clear, coba kita bandingin dengan contoh lain. Biar nggak bingung, lihat tabel di bawah ini. Tabel ini bakal nunjukin perbedaan utama antara barisan aritmatika dan yang lain.
| Contoh Barisan | Beda/Selisih | Jenis Pola | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 6, 8, 10, 12, 14,… | +2 (konstan) | Aritmatika | Penambahan tetap setiap langkah. |
| 2, 4, 8, 16, 32,… | ×2 (rasio) | Geometri | Pengalian dengan bilangan tetap (rasio). |
| 1, 1, 2, 3, 5, 8,… | Variatif | Fibonacci | Suku berikutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya. |
| 10, 8, 6, 4, 2,… | -2 (konstan) | Aritmatika Turun | Pengurangan tetap, beda negatif. |
Komponen Rumus Suku ke-n (Un)
Nah, ini bagian yang penting banget. Buat cari suku ke berapa pun tanpa harus nulis satu-satu, kita punya senjata rahasia: rumus suku ke-n. Rumus umumnya itu kayak cheat code gitu.
Un = a + (n – 1)b
Mari kita jabarin satu-satu biar nggak serem:
- Un: Ini adalah suku yang pengen kita cari. Misalnya U 10 ya suku ke-10.
- a: Ini adalah suku pertama alias starting point barisan kita. Untuk barisan 6, 8, 10,…, nilai a = 6.
- n: Posisi suku yang ditanya. Mau cari suku ke-berapa? Itu nilai n-nya.
- b: Beda atau selisih tetap. Dari barisan kita, b = 2.
Jadi, kalo kita masukin nilai a dan b kita ke rumus umum, kita dapet rumus khusus buat barisan ini. Gampang banget, tinggal substitusi.
Un = 6 + (n – 1) × 2
Rumus di atas udah siap pakai buat ngitung suku apa aja di barisan 6, 8, 10, 12,… Cuma perlu ganti nilai n-nya doang.
Penerapan Rumus untuk Menghitung Suku Tertentu
Sekarang kita coba praktek. Misalnya, kamu penasaran berapa suku ke-10 (U 10) dari barisan kita. Atau mungkin mau tau kapan angkanya bakal lewat 50. Semua bisa dihitung pake rumus yang udah kita punya.
Menghitung Suku Spesifik dan Batas Nilai, Rumus Suku ke‑n pada Barisan 6, 8, 10, 12, 14…
Mari kita hitung U 10 dan cari suku pertama yang lebih besar dari 50.
- Menghitung U10: Pakai rumus Un = 6 + (n-1)×2. Untuk n=10, jadi U 10 = 6 + (10-1)×2 = 6 + (9)×2 = 6 + 18 = 24. Jadi suku ke-10 adalah 24.
- Mencari suku > 50: Kita selesaikan pertidaksamaan: 6 + (n-1)×2 > 50.
- 6 + 2n – 2 > 50
- 2n + 4 > 50
- 2n > 46
- n > 23
Karena n harus bilangan bulat, maka suku pertama yang lebih dari 50 adalah suku ke-
24. Mari kita cek
U 24 = 6 + (24-1)×2 = 6 + 46 = 52. Bener, kan?
Supaya lebih kebayang progresinya, lihat tabel perhitungan untuk beberapa suku berikut.
| Posisi (n) | Rumus Un = 6+(n-1)×2 | Perhitungan | Hasil (Un) |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 + (1-1)×2 | 6 + 0 | 6 |
| 5 | 6 + (5-1)×2 | 6 + 8 | 14 |
| 10 | 6 + (10-1)×2 | 6 + 18 | 24 |
| 15 | 6 + (15-1)×2 | 6 + 28 | 34 |
Variasi Soal dan Penyelesaiannya
Nggak semua soal dikasih tau suku pertama dan beda. Kadang soalnya dikasih tau suku ke-7 dan minta cari suku ke-20. Atau cuma dikasih dua suku random. Jangan panik, konsepnya tetep sama. Kalo kamu tau dua suku dari barisan aritmatika yang sama, kamu bisa cari bedanya dulu, terus cari suku yang ditanya.
Menentukan Suku Lain dari Dua Suku Diketahui
Misal soal: “Jika suku ke-7 adalah 18, tentukan suku ke-20 dari barisan aritmatika yang dimulai 6, 8, 10,…”. Wait, kita udah tau a=6 dan b=2, jadi langsung aja U 20 = 6+19×2 = 44. Tapi anggap aja kita nggak tau b-nya, cuma tau U 7=18 dan ini barisan aritmatika.
Kita pake logika: U 7 = a + 6b = 18. Dari suku pertama yang diketahui (6, 8, 10) kita bisa simpulkan a=6. Jadi 6 + 6b = 18 → 6b = 12 → b=2. Setelah dapet b, cari U 20 = a + 19b = 6 + 38 = 44. Sama aja hasilnya.
Visualisasi Grafik Barisan
Kalo kita bayangin barisan ini di grafik koordinat, sumbu X itu nomor suku (n), dan sumbu Y itu nilai suku (Un). Jadi kita punya titik-titik: (1,6), (2,8), (3,10), (4,12), dan seterusnya. Kalo semua titik ini dihubungkan, mereka bakal membentuk garis lurus yang naik dengan kemiringan tetap. Kemiringan garis itu sama dengan beda barisan, yaitu 2. Ini nunjukin bahwa hubungan antara posisi suku (n) dan nilainya (Un) adalah linear, alias lurus banget.
Makanya barisan ini disebut linear sequence juga.
Aplikasi dalam Konteks Nyata
Ini nih yang bikin materi ini nggak cuma teori doang. Pola penambahan tetap kayak barisan aritmatika ini literally ada di mana-mana dalam hidup kita, dari nabung uang sampai ngatur kursi.
Contoh Soal Cerita: Penambahan Kursi
Bayangin kamu lagi ngatur kursi buat acara seminar. Di baris paling depan ada 6 kursi. Karena ruangannya melebar, setiap baris di belakangnya ditambah 2 kursi dari baris di depannya. Baris kedua jadi 8 kursi, ketiga 10 kursi, dan seterusnya. Pertanyaannya: kalo ada 15 baris, total ada berapa kursi?
Atau, kalo kita punya 120 kursi, cukup buat berapa baris?
Prosedur penyelesaiannya bisa kita breakdown:
- Memahami Masalah: Identifikasi pola. Penambahan kursi per baris tetap (+2), jadi ini membentuk barisan aritmatika dengan a=6 dan b=2. Suku ke-n (Un) adalah jumlah kursi di baris ke-n.
- Merencanakan Solusi: Untuk jumlah baris tertentu, kita bisa hitung jumlah kursi di baris terakhir pake rumus Un. Untuk hitung total semua kursi di semua baris, kita butuh rumus jumlah deret aritmatika (Sn).
- Melaksanakan Perhitungan: Misal untuk 15 baris, U 15 = 6 + (14×2) = 34 kursi di baris terakhir. Total kursi S 15 = (15/2) × (6 + 34) = 7.5 × 40 = 300 kursi.
- Memeriksa Kembali: Pastikan polanya konsisten dan hasil perhitungan masuk akal.
Poin Penting Pemahaman Rumus Suku ke-n
Kenapa sih kita perlu banget ngerti rumus ini? Nggak cuma buat ngerjain soal ujian, tapi juga buat melatih cara berpikir yang terstruktur.
- Efisiensi: Kamu nggak perlu nulis satu per satu sampai suku ke-1000. Cukup masukkan n=1000 ke rumus, langsung ketemu.
- Prediksi: Bisa memprediksi nilai di posisi mana pun dalam sebuah pola yang teratur, yang berguna banget dalam perencanaan dan estimasi.
- Analisis Pola: Membantu mengidentifikasi dan membuktikan apakah suatu kumpulan data mengikuti pola linear atau tidak.
- Fondasi Konsep Matematika Lanjutan: Konsep barisan dan deret aritmatika ini adalah dasar untuk memahami materi yang lebih kompleks seperti deret tak hingga dan aplikasi kalkulus.
Akhir Kata: Rumus Suku Ke‑n Pada Barisan 6, 8, 10, 12, 14…
Dengan demikian, menguasai rumus suku ke-n barisan aritmatika seperti 6, 8, 10, 12, 14… memberikan kita sebuah alat yang ampuh. Alat ini mengubah deretan angka yang tampak biasa menjadi sebuah peta yang dapat dinavigasi, memungkinkan prediksi dan analisis yang cepat dan akurat dalam berbagai situasi, baik di dalam kelas maupun dalam kehidupan sehari-hari.
FAQ dan Panduan
Apakah rumus ini hanya berlaku untuk barisan yang naik?
Tidak. Rumus Un = a + (n-1)b juga berlaku untuk barisan aritmatika yang turun, di mana beda (b) bernilai negatif, contohnya 20, 17, 14, 11,…
Bagaimana jika suku pertama dan bedanya adalah bilangan desimal atau pecahan?
Rumusnya tetap sama dan dapat diterapkan. Nilai a dan b bisa berupa bilangan bulat, desimal, atau pecahan. Substitusikan saja ke dalam rumus umum.
Apakah mungkin suatu barisan memiliki beda (b) nol?
Ya. Jika beda nol, barisan tersebut disebut barisan konstan, di mana semua sukunya sama. Rumusnya menjadi Un = a, karena penambahan (n-1)*0 hasilnya nol.
Bagaimana cara membedakan barisan aritmatika dengan barisan geometri hanya dari melihat beberapa sukunya?
Periksa selisih antar suku berurutan. Jika selisihnya selalu sama, itu aritmatika. Jika rasio (hasil bagi) antar suku berurutan selalu sama, itu geometri.
