Volume Benda Putar Dibatasi y=9−x² dan y=x+7 Diputar 360° Mengelilingi Sumbu X bukan sekadar angka mati di atas kertas, melainkan sebuah narasi ruang yang tercipta dari tarian dua fungsi matematika. Bayangkan sebuah parabola yang melengkung anggun beradu dengan garis lurus yang tegas, menciptikan sebuah area yang ketika diputar, melahirkan bentuk tiga dimensi yang menakjubkan. Proses menemukan volumenya adalah sebuah petualangan intelektual yang menggabungkan keindahan aljabar, ketelitian kalkulus, dan imajinasi geometri.
Perhitungan ini dimulai dengan menemukan titik temu antara kurva kuadrat y = 9 – x² dan garis linear y = x + 7, yang menjadi batas integral. Dengan metode cincin (washer method), area di antara kedua grafik tersebut diputar mengelilingi sumbu X, menghasilkan sebuah benda padat yang menyerupai sebuah cincin atau donat yang dimampatkan. Langkah-langkah penyelesaiannya, dari menyusun integral hingga evaluasi akhir, menunjukkan bagaimana matematika secara elegan mengkuantifikasi ruang yang kompleks.
Pendahuluan dan Konteks Geometri
Membayangkan volume sebuah benda tiga dimensi yang dihasilkan dari perputaran daerah bidang datar adalah salah satu aplikasi kalkulus integral yang paling elegan. Dalam soal ini, kita akan mengolah daerah yang dibatasi oleh parabola y = 9 - x² dan garis lurus y = x + 7. Ketika daerah ini diputar 360 derajat mengelilingi sumbu X, ia akan membentuk sebuah benda padat yang bentuknya mirip seperti sebuah “mangkuk” atau “cawan” yang bagian dalamnya berlubang, mengikuti bentuk garis lurus yang turut berputar.
Parabola y = 9 - x² merupakan kurva yang terbuka ke bawah dengan puncak (vertex) di titik (0, 9). Sementara itu, garis y = x + 7 memiliki kemiringan positif dan memotong sumbu Y di titik (0, 7). Untuk mengetahui batas daerah yang akan diputar, kita harus mencari titik potong antara kedua grafik tersebut. Titik potong ini nantinya akan menjadi batas bawah dan batas atas integral kita.
Penentuan Batas Integrasi
Batas integrasi ditentukan dengan menyamakan kedua persamaan: 9 - x² = x + 7. Persamaan ini kemudian kita susun ulang menjadi persamaan kuadrat: -x² atau
-x + 2 = 0 x² + x - 2 = 0. Faktorisasi persamaan kuadrat ini menghasilkan (x + 2)(x - 1) = 0. Dengan demikian, kita peroleh dua titik potong pada x = -2 dan x = 1. Inilah selang integrasi kita, dari x = -2 hingga x = 1.
Pada selang ini, setelah kita uji, kurva parabola berada di atas garis lurus.
Metode dan Pendekatan Perhitungan Volume
Untuk menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu X, metode yang paling intuitif adalah metode cakram/cincin (disk/washer method). Metode ini bekerja dengan mengiris benda putar menjadi lempengan-lempengan tipis yang tegak lurus terhadap sumbu putar (sumbu X), kemudian menjumlahkan volume semua lempengan tersebut melalui proses integrasi.
Rumus umumnya adalah V = π ∫ [R(x)², diintegralkan dari
-r(x)²] dx a ke b. R(x) adalah jari-jari luar dan r(x) adalah jari-jari dalam dari lempengan berbentuk cincin. Jika tidak ada lubang (benda padat), maka r(x) = 0 dan rumus berubah menjadi metode cakram padat.
Pemilihan Metode Washer dan Perbandingan Metode
Source: studyxapp.com
Pada soal ini, kita memilih metode washer (cincin) karena daerah yang diputar dibatasi oleh dua kurva, dan sumbu putar (sumbu X) bukan merupakan salah satu batasnya. Saat diputar, garis y = x + 7 yang berada di bawah akan membentuk suatu permukaan dalam (lubang), sementara parabola di atas akan membentuk permukaan luar benda. Irisan tegak lurus sumbu X akan berbentuk sebuah cincin, dimana jari-jari luarnya adalah jarak dari sumbu X ke parabola ( R(x) = 9 - x²), dan jari-jari dalamnya adalah jarak dari sumbu X ke garis ( r(x) = x + 7).
| Metode | Bentuk Irisan | Sumbu Putar | Kondisi Daerah |
|---|---|---|---|
| Cakram Padat (Disk) | Lingkaran penuh | Sejajar dengan irisan | Batas daerah menyentuh sumbu putar (r=0 di satu sisi). |
| Cincin (Washer) | Cincin/lingkaran berlubang | Sejajar dengan irisan | Daerah berada di antara dua kurva, dan sumbu putar tidak menjadi batas. |
| Kulit Tabung (Shell) | Selongsong tabung | Tegak lurus irisan | Irisan sejajar dengan sumbu putar; sering digunakan untuk putaran mengelilingi sumbu Y. |
Penyusunan dan Penyelesaian Integral Volume
Dengan batas integrasi x = -2 hingga x = 1, jari-jari luar R(x) = 9 - x², dan jari-jari dalam r(x) = x + 7, integral volume disusun sebagai berikut:
V = π ∫-21 [(9 – x²)²
(x + 7)²] dx
Langkah kunci sebelum mengintegralkan adalah menyederhanakan ekspresi di dalam integral secara teliti. Kesalahan aljabar pada tahap ini adalah hal yang paling umum terjadi.
Penyederhanaan Ekspresi Aljabar
(9 – x²)²
- (x + 7)² = (81 – 18x² + x⁴)
- (x² + 14x + 49)
= 81 – 18x² + x⁴
- x²
- 14x – 49
= x⁴
Perhitungan volume benda putar yang dibatasi kurva y=9−x² dan garis y=x+7 saat diputar mengelilingi sumbu X memerlukan ketelitian dalam menentukan batas integrasi dan selisih fungsi kuadrat, mirip dengan presisi yang dibutuhkan dalam Penggunaan Tanda Baca pada Kalimat Membawa Alat Tulis untuk menghindari ambiguitas makna. Kedua disiplin ini, meski berbeda ranah, sama-sama menuntut penerapan aturan yang tepat agar hasilnya akurat dan dapat dipertanggungjawabkan, sebagaimana terlihat pada solusi akhir volume benda putar tersebut.
- 19x²
- 14x + 32
Dengan demikian, integral kita menjadi lebih bersih: V = π ∫-21 (x⁴ .
-19x²
-14x + 32) dx
Proses Integrasi dan Perhitungan Akhir
Sekarang kita lakukan integrasi suku demi suku menggunakan aturan pangkat:
∫ (x⁴
- 19x²
- 14x + 32) dx = (1/5)x⁵
- (19/3)x³
- 7x² + 32x + C
Kemudian, kita evaluasi hasil integral ini dari batas -2 hingga 1:
F(1) = (1/5)(1)⁵
- (19/3)(1)³
- 7(1)² + 32(1) = 1/5 – 19/3 – 7 + 32
F(-2) = (1/5)(-2)⁵
- (19/3)(-2)³
- 7(-2)² + 32(-2) = (1/5)(-32)
- (19/3)(-8)
- 7(4)
- 64 = -32/5 + 152/3 – 28 – 64
Setelah melakukan perhitungan aritmetika dengan penyebut yang sama (15), kita akan mendapatkan selisih F(1). Oleh karena itu, volume benda putarnya adalah:
-F(-2) = 117
V = π
117 = 117π satuan volume.
Visualisasi dan Interpretasi Hasil: Volume Benda Putar Dibatasi Y=9−x² Dan Y=x+7 Diputar 360° Mengelilingi Sumbu X
Benda putar yang dihasilkan memiliki bentuk yang unik. Bayangkan sebuah permukaan luar yang halus dan melengkung seperti parabola, membentuk badan utama benda. Di dalamnya, terdapat sebuah rongga berbentuk kerucut miring, yang dinding dalamnya dibentuk oleh perputaran garis lurus. Secara kasar, benda ini dapat digambarkan seperti sebuah “mangkuk keramik modern” yang dinding dalamnya tidak simetris melainkan miring, atau seperti bagian dari sebuah rotor atau baling-baling yang memiliki hollow interior.
Dimensi benda dapat diperkirakan: panjangnya sepanjang sumbu X adalah 3 satuan (dari x=-2 ke x=1). Jari-jari maksimum bagian luar terjadi di x=0, yaitu sebesar 9 satuan. Rongga dalamnya pada titik yang sama memiliki jari-jari 7 satuan.
Verifikasi dan Implikasi Praktis
Sebagai langkah verifikasi, kita dapat memastikan bahwa pada seluruh selang [-2, 1], nilai R(x)² selalu positif. Ini penting karena volume harus positif. Jika hasilnya negatif, berarti kita mungkin terbalik menempatkan fungsi sebagai jari-jari luar dan dalam. Bentuk benda seperti ini, dengan permukaan dalam dan luar yang berbeda, sering ditemui dalam teknik mesin, seperti pada hollow shaft (poros berlubang) yang diberi profil khusus untuk mengoptimalkan distribusi material dan kekuatan, atau dalam desain wadah reaksi kimia tertentu.
-r(x)²
Variasi Soal dan Penguatan Pemahaman
Konsep volume benda putar sangat fleksibel. Dengan mengubah sumbu putar atau fungsi pembatas, kita dapat menghasilkan beragam bentuk dan tantangan perhitungan baru. Memahami variasi ini membantu menguasai konsep secara lebih komprehensif.
Eksplorasi Variasi Soal
- Putaran mengelilingi sumbu Y. Daerah yang sama, tetapi diputar terhadap sumbu Y, akan memerlukan metode yang berbeda, seringkali metode kulit tabung (shell method), karena irisan sejajar dengan sumbu putar.
- Putaran mengelilingi garis horizontal lain, misalnya y = 10 atau y = -3. Ini akan mengubah rumus jari-jari, karena jarak diukur dari garis putar, bukan dari sumbu X.
- Putaran mengelilingi garis vertikal, seperti x = 2 atau x = -1. Ini biasanya diselesaikan dengan metode kulit tabung jika diputar terhadap garis vertikal.
- Mengganti salah satu fungsi batas, misalnya garis dengan kurva lain, atau memotong dengan sumbu koordinat untuk membentuk daerah yang berbeda.
Soal Latihan dan Panduan Singkat, Volume Benda Putar Dibatasi y=9−x² dan y=x+7 Diputar 360° Mengelilingi Sumbu X
Sebagai latihan, coba hitung volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = √x, garis y = 2, dan sumbu Y, untuk daerah di kuadran pertama, ketika diputar mengelilingi garis y = 2.
Panduan: Daerahnya berbentuk seperti segitiga melengkung di bawah garis y=2. Karena diputar mengelilingi y=2, gunakan metode washer dengan sumbu putar horizontal. Jari-jari luar konstan? Perhatikan bahwa batas atas daerah adalah garis y=2 yang juga merupakan sumbu putar, sehingga jari-jari dalam untuk bagian tertentu mungkin nol. Identifikasi batas integrasi (dari y=0 ke y=2 atau dari x=0 ke x=4).
Gambarlah sketsanya terlebih dahulu untuk menentukan R(y) dan r(y) dengan tepat.
Kesalahan Umum dan Pencegahannya
Beberapa jebakan sering menghadang dalam menyelesaikan soal serupa. Pertama, kesalahan menentukan batas integrasi karena keliru dalam menyelesaikan persamaan titik potong. Selalu uji titik potong yang ditemukan dengan mensubstitusikannya kembali ke persamaan awal. Kedua, terbalik dalam menetapkan fungsi mana sebagai jari-jari luar dan dalam. Sketsa grafik yang akurat adalah solusi terbaik untuk menghindari ini.
Ketiga, kesalahan aljabar dalam mengkuadratkan dan menyederhanakan R(x)². Kerjakan langkah ini secara terpisah dan hati-hati. Keempat, lupa mengalikan dengan π dalam rumus akhir. Dan terakhir, kesalahan dalam evaluasi integral tentu, terutama pada tanda negatif. Gunakan kurung dengan baik dan periksa kembali perhitungan aritmetika.
-r(x)²
Ulasan Penutup
Dengan demikian, perjalanan menghitung volume benda putar ini telah mencapai finis. Nilai volume yang diperoleh bukanlah akhir, melainkan sebuah bukti nyata dari kekuatan metode integral dalam merepresentasikan realitas bentuk. Proses ini mengajarkan bahwa di balik rumus dan hitungan, terdapat logika yang kokoh dan visualisasi yang kaya. Pemahaman mendalam terhadap soal seperti ini menjadi fondasi penting untuk mengatasi variasi masalah yang lebih kompleks di masa depan, sekaligus mengasah kemampuan analitis dalam memandang dunia melalui lensa matematika.
Panduan Tanya Jawab
Mengapa harus menggunakan metode washer/cincin dan bukan metode cakram padat?
Perhitungan volume benda putar yang dibatasi kurva y=9−x² dan garis y=x+7 saat diputar 360° mengelilingi sumbu X memerlukan analisis titik potong dan integral yang cermat. Logika analitis serupa juga diterapkan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari, seperti Menentukan Jumlah Peserta Lomba Lari Berdasarkan Posisi Toni , di mana data posisi digunakan untuk mengungkap informasi tersembunyi. Dengan demikian, pendekatan matematis yang solid, baik dalam kalkulus integral maupun problem-solving kontekstual, selalu mengedepankan ketepatan dan penalaran logis untuk mencapai solusi yang definitif.
Karena daerah yang diputar memiliki “lubang” di tengahnya. Saat diputar mengelilingi sumbu X, garis y = x+7 yang berada di bawah kurva y=9-x² pada selang integrasi akan membentuk rongga, sehingga penampang benda berbentuk cincin, bukan cakram penuh.
Bagaimana jika urutan fungsi dalam integran terbalik, yaitu (x+7)²
-(9-x²)²?
Hasilnya akan negatif, karena volume harus dihitung dari jari-jari luar dikurangi jari-jari dalam. Fungsi yang bernilai lebih besar (y=9-x²) harus menjadi batas luar (R) dan dikuadratkan terlebih dahulu, lalu dikurangi kuadrat fungsi yang lebih kecil (r = x+7). Integran harus non-negatif.
Apakah bentuk benda putar ini memiliki nama dalam geometri ruang?
Tidak ada nama khusus yang baku. Bentuknya dapat dideskripsikan sebagai sebuah benda putar dengan penampang melingkar berongga, mirip dengan sebuah “cincin toroidal” yang dimampatkan atau sebuah kapak yang berlubang di tengahnya.
Bagaimana cara cepat memeriksa apakah batas integrasi (titik potong) yang ditemukan sudah benar?
Perhitungan volume benda putar yang dibatasi kurva y=9−x² dan garis y=x+7 saat diputar 360° mengelilingi sumbu X memerlukan analisis batas integrasi dan konsep ruang yang presisi. Dalam skala yang lebih luas, pemahaman akan ruang dan batas ini paralel dengan pentingnya sebuah bangsa memiliki Mengapa Bangsa Perlu Wawasan Nasional dan Dampaknya sebagai kerangka acuan untuk membangun persatuan dan identitas.
Dengan demikian, sama seperti keakuratan dalam menentukan volume benda putar tersebut, ketepatan dalam merumuskan wawasan nasional akan menentukan soliditas dan arah pembangunan bangsa ke depan.
Substitusikan nilai x dari titik potong yang didapat ke kedua fungsi. Jika hasil y-nya sama, maka titik potong tersebut valid. Selain itu, plot sederhana atau pemeriksaan nilai fungsi di antara titik potong dapat memastikan posisi relatif kurva dan garis.
