Tentukan himpunan penyelesaian 1/3 y² = 12/25 bukan sekadar soal hitung-hitungan belaka, melainkan sebuah perwakilan kecil dari bagaimana struktur kekuasaan matematika yang tampak absolut dapat ditantang dan diurai. Persamaan ini berdiri di hadapan kita bagai sebuah dekrit, sebuah pernyataan mutlak yang harus dipatuhi, menuntut kita untuk membongkar lapisan koefisien dan konstanta untuk menemukan kebenaran yang tersembunyi di baliknya. Proses penyelesaiannya adalah sebuah tindakan kritis, sebuah upaya membebaskan variabel dari belenggu numerik yang membatasinya.
Persamaan tersebut menghadirkan pertarungan antara rasionalitas pecahan dan prinsip kesetaraan. Di sini, kita tidak hanya mencari sebuah angka, tetapi himpunan lengkap dari semua kemungkinan yang memenuhi syarat, mengakui bahwa kebenaran seringkali tidak tunggal. Menyelesaikannya berarti melakukan isolasi, operasi balik, dan akhirnya ekstraksi akar—sebuah langkah yang secara inherent akan melahirkan dualitas solusi, mencerminkan kompleksitas dari setiap masalah yang tampak sederhana di permukaan.
Pemahaman Dasar Persamaan
Oke, kita mulai bahas soal ini, (1/3)y² = 12/25. Bentuknya kelihatan agak ribet ya karena ada pecahan, tapi sebenernya prinsipnya sama kaya persamaan biasa. Langkah pertama yang pasti kita lakuin adalah bikin si variabel yang kita cari, dalam hal ini y², berdiri sendiri di satu sisi persamaan. Jadi kita harus ilangin dulu tuh angka 1/3 yang nempel sama y².
Operasi aljabar yang bakal kita pake mostly perkalian dan pembagian untuk ngelepasin koefisien, terus nanti di akhir kita pake operasi akar kuadrat. Yang penting diinget, karena ini persamaan kuadrat (ada y²), hasil akhirnya biasanya bukan cuma satu angka. Konsep himpunan penyelesaian itu cuma cara keren buat nulis semua jawaban yang bener dari persamaan itu. Jadi kalo ada dua nilai y yang kalo dikuadratin dan dimasukin ke persamaan awal hasilnya bener, ya dua-duanya kita tulis sebagai solusi.
Langkah Awal dan Konsep Solusi, Tentukan himpunan penyelesaian 1/3 y² = 12/25
Pertama-tama, kita fokus bikin y² sendirian. Anggep aja y² itu barang yang lagi dikasih pembatas. Pembatasnya adalah dikali 1/3. Cara ngelepasin pembatas perkalian ya dengan melakukan operasi kebalikannya, yaitu pembagian. Tapi karena pembaginya berbentuk pecahan 1/3, mending kita kalikan kedua sisi persamaan dengan kebalikan pecahannya, yaitu 3.
Ini cara paling efisien. Setelah itu, kita akan dapetin nilai y² dalam bentuk yang lebih bersih. Nah, dari situ baru kita cari y-nya dengan narik akar kuadrat. Ingat, akar kuadrat selalu punya dua kemungkinan: yang positif dan yang negatif.
Prosedur Penyelesaian Langkah demi Langkah
Source: gauthmath.com
Sekarang kita eksekusi hitungannya pelan-pelan biar jelas. Dari persamaan awal, kita akan manipulasi langkah demi langkah sampai ketemu nilai y yang memenuhi. Prosesnya bakal melibatkan operasi pada pecahan, yang mungkin perlu disederhanakan. Buat memudahkan, di bawah ini ada tabel yang ngejabarin tiap langkah yang kita lakuin, alasan kenapa kita lakuin itu, dan hasil sementara di tiap tahap.
| Langkah | Operasi yang Dilakukan | Hasil Sementara | Penjelasan Singkat |
|---|---|---|---|
| 1. Persamaan Awal | – | (1/3)y² = 12/25 | Soal yang diberikan. |
| 2. Isolasi y² | Kalikan kedua sisi dengan 3 | y² = (12/25) – 3 | Mengalikan dengan kebalikan dari 1/3 untuk menghilangkan koefisien y². |
| 3. Hitung y² | Kalikan pecahan: (12*3)/25 | y² = 36/25 | Perkalian bilangan bulat dengan pecahan. |
| 4. Ambil Akar Kuadrat | Akar kuadrat dari kedua sisi | y = ±√(36/25) | Mengambil akar untuk mendapatkan y. Tanda ± menunjukkan dua solusi. |
| 5. Sederhanakan Akar | √36 = 6 dan √25 = 5 | y = ± 6/5 | Menyederhanakan akar kuadrat dari pecahan. |
Analisis Hasil dan Representasi Himpunan
Nah, dari perhitungan tadi kita dapet y = 6/5 dan y = -6/5. Kenapa bisa dua? Ini karena sifat kuadrat. Coba bayangin, (6/5)² hasilnya 36/25. (-6/5)² hasilnya juga 36/25 kan?
Karena negatif kali negatif jadi positif. Jadi, kedua angka itu sama-sama memenuhi persamaan awal. Inilah sebabnya persamaan kuadrat sering punya dua jawaban.
Notasi Himpunan Penyelesaian
Himpunan penyelesaiannya kita tulis dengan mengumpulkan semua nilai y yang valid ke dalam kurung kurawal. Biasanya ditulis dalam bentuk pecahan yang sudah disederhanakan, karena itu bentuk paling eksak. Tapi kita juga bisa kasih tahu bentuk desimalnya buat gambaran. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: 6/5, -6/5 . Dalam bentuk desimal, ini setara dengan 1.2, -1.2 .
Penulisan pakai kurung kurawal dan dipisah koma ini adalah cara standar dalam matematika untuk menyatakan sebuah himpunan.
Verifikasi Solusi dan Aplikasi
Gimana sih caranya ngecek biar yakin jawaban kita bener? Gampang, kita coba aja masukin balik nilai y yang kita dapet ke persamaan awal. Misal nih, untuk y = 6/5. Kita hitung: (1/3). Sederhanakan
- (6/5)² = (1/3)
- (36/25) = 36/75 36/75 dengan dibagi 3, dapet 12/25.
Persis kaya ruas kanan! Coba yang negatif, pasti hasilnya sama. Verifikasi kayak gini penting banget buat menghindari kesalahan hitung.
Persamaan bentuk kayak gini bisa muncul di banyak situasi nyata yang sederhana. Misalnya, dalam menghitung sisi suatu bidang berbentuk persegi jika diketahui hubungan tertentu antara luas dan suatu konstanta. Atau dalam fisika, ketika menghitung kecepatan atau jarak dimana hubungannya berbentuk kuadrat dan ada faktor skala tertentu (seperti pecahan 1/3 tadi).
Tips Hindari Kesalahan: Pas berurusan dengan pecahan, fokus satu per satu. Pastikan perkalian/pembagian pecahan sudah benar sebelum lanjut ke langkah akar. Jangan lupa tanda
±saat mengambil akar kuadrat, itu sumber kesalahan yang paling sering. Selalu sederhanakan pecahan sampai bentuk paling sederhana biar angkanya lebih bersih dan mudah diverifikasi.
Eksplorasi Bentuk Persamaan Serupa
Biar pemahaman kita makin dalem, coba kita ubah-ubah dikit soalnya. Kita ganti angka-angkanya, tapi struktur dasarnya tetap (a)y² = b, dimana a dan b adalah bilangan rasional (bisa pecahan). Dengan melihat variasi ini, kita bisa liat polanya dan bagaimana perubahan angka mempengaruhi hasil akhir himpunan penyelesaiannya.
| Variasi Persamaan | Langkah Kunci Penyelesaian | Himpunan Penyelesaian | Karakteristik Hasil |
|---|---|---|---|
| (1/4)x² = 9/16 | Kalikan dengan 4, jadi x² = 36/16 = 9/
4. Akar kuadrat x = ±3/2. |
3/2, -3/2 | Hasil tetap berupa bilangan rasional (pecahan biasa). |
| (2/5)m² = 8 | Kalikan dengan 5/2, jadi m² =
20. Akar kuadrat m = ±√20 = ±2√5. |
2√5, -2√5 | Hasilnya bilangan irasional (masih ada tanda akar). |
| (3/7)k² = 0 | Kalikan dengan 7/3, jadi k² =
0. Akar kuadrat k = 0. |
0 | Hanya memiliki satu solusi (akar ganda), karena akar dari nol adalah nol saja. |
Dari eksplorasi ini keliatan ya, meski strukturnya mirip, himpunan penyelesaiannya bisa berupa pecahan biasa, bilangan akar, atau bahkan cuma satu angka. Itu semua tergantung dari nilai konstanta di ruas kanan setelah kita mengisolasi variabel kuadratnya. Intinya, proses dasarnya tetap sama: isolasi, akar kuadrat, dan jangan lupa tanda plus-minus.
Simpulan Akhir
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari 1/3 y² = 12/25 telah mengungkap lebih dari sekadar pasangan bilangan. Ia mengajarkan sebuah pelajaran politik tentang pemerintahan angka: bahwa otoritas sebuah persamaan dapat dibongkar melalui prosedur yang sistematis, bahwa setiap bentuk koersif memiliki lawan balik (inverse), dan bahwa dari satu pernyataan tunggal dapat muncul dua solusi yang sah setara. Ini adalah pengingat bahwa dalam matematika seperti dalam kehidupan, jawaban akhir sering kali bersifat plural, dan mengakui keberagaman solusi itu sendiri adalah bentuk final dari verifikasi yang paling kritis.
FAQ dan Panduan: Tentukan Himpunan Penyelesaian 1/3 Y² = 12/25
Apakah solusi dari persamaan ini selalu berbentuk bilangan rasional?
Tidak selalu. Dalam kasus ini hasilnya rasional (6/5 dan -6/5) karena 36/25 adalah kuadrat sempurna dari bilangan rasional. Jika konstanta diubah, solusi bisa menjadi bilangan irasional.
Mengapa harus mengambil akar kuadrat positif dan negatif?
Karena kuadrat dari bilangan positif maupun negatif akan menghasilkan nilai yang sama. Jika y² = a, maka y bisa bernilai +√a atau -√a untuk memenuhi persamaan awal.
Bisakah himpunan penyelesaiannya kosong?
Untuk persamaan berbentuk (koefisien)
– y² = (konstanta positif), himpunan penyelesaian tidak akan kosong. Akan kosong jika bentuknya seperti y² = bilangan negatif dalam sistem bilangan real.
Apa perbedaan mendasar antara ‘penyelesaian’ dan ‘himpunan penyelesaian’?
‘Penyelesaian’ merujuk pada setiap nilai tunggal yang memenuhi persamaan (misal 6/5). ‘Himpunan penyelesaian’ adalah kumpulan lengkap semua penyelesaian tersebut, direpresentasikan dalam notasi himpunan.
