Hasil Perkalian (a‑7b)(4a‑2b) seringkali jadi penghalang kecil yang bikin deg-degan saat pertama ketemu. Tapi jangan khawatir, sebenarnya misteri di balik soal aljabar ini cuma butuh ketelatenan mengurai benang, mirip banget dengan menyusun strategi dalam permainan atau meracik resep. Konsep dasarnya sederhana, hanya soal mendistribusikan setiap suku dengan tepat dan jangan sampai ada yang terlewat.
Operasi perkalian suku dua seperti ini adalah fondasi penting dalam matematika yang akan sering ditemui, mulai dari menyelesaikan persamaan kuadrat hingga penerapan dalam model ekonomi dan fisika. Memahami prosesnya langkah demi langkah bukan sekadar untuk menjawab soal, melainkan melatih logika sistematis dan ketelitian yang berguna jauh di luar kelas.
Pengantar dan Konsep Dasar Perkalian Aljabar
Source: slidesharecdn.com
Perkalian bentuk aljabar, khususnya perkalian suku dua, adalah fondasi yang krusial dalam matematika. Memahami operasi ini bukan sekadar untuk menyelesaikan soal, tetapi juga membuka jalan untuk mempelajari pemfaktoran, penyelesaian persamaan, dan analisis fungsi. Pada intinya, perkalian aljabar adalah perluasan logis dari perkalian aritmatika, di mana kita menerapkan hukum distributif atau sifat penyebaran.
Hukum distributif menyatakan bahwa untuk setiap bilangan atau variabel a, b, dan c, berlaku a(b + c) = ab + ac. Prinsip inilah yang kita gunakan ketika mengalikan dua suku dua. Sebelum melangkah ke contoh yang lebih kompleks, mari kita lihat contoh sederhana: mengalikan (x + 3)(x + 2). Kita menyebarkan setiap suku dari binomial pertama ke setiap suku di binomial kedua: (x
– x) + (x
– 2) + (3
– x) + (3
– 2), yang hasilnya x² + 5x + 6 setelah menyederhanakan suku sejenis.
Perbandingan Perkalian Aritmatika dan Aljabar
Meski prinsip dasarnya sama, terdapat perbedaan mendasar dalam notasi dan objek yang dihitung. Perkalian aritmatika berurusan dengan bilangan konkret, sementara aljabar melibatkan variabel yang mewakili nilai yang belum diketahui. Tabel berikut mengilustrasikan persamaan dan perbedaannya.
Perkalian aljabar (a‑7b)(4a‑2b) menghasilkan 4a² – 30ab + 14b². Proses ekspansi ini mirip dengan menganalisis suatu sistem, seperti ketika kita membahas Berat Bobi di Planet X dengan Jari‑jari 2R dan Massa 10× Bumi yang memerlukan pemahaman mendalam tentang konstanta dan variabel. Dengan logika yang sama, menyederhanakan ekspresi aljabar tadi membutuhkan ketelitian langkah demi langkah untuk mencapai hasil yang akurat.
| Aspek | Perkalian Aritmatika | Perkalian Aljabar |
|---|---|---|
| Objek | Bilangan tetap (konstanta) | Variabel dan konstanta |
| Prinsip Dasar | Hukum distributif (contoh: 5 x (10+2) = 50+10) | Hukum distributif (contoh: a(b+c) = ab+ac) |
| Hasil | Nilai tunggal | Ekspresi aljabar (biasanya polinomial) |
| Tujuan | Mendapatkan nilai numerik | Menyederhanakan bentuk atau menemukan hubungan antar variabel |
Analisis Langkah Demi Langkah Perkalian (a‑7b)(4a‑2b)
Mari kita terapkan hukum distributif secara sistematis pada perkalian (a‑7b)(4a‑2b). Proses ini sering dijabarkan dengan metode FOIL (First, Outer, Inner, Last) yang pada dasarnya adalah panduan untuk memastikan tidak ada suku yang terlewat dalam penyebaran.
Proses Kalkulasi dan Penyederhanaan
Kita akan mengalikan setiap suku dalam binomial pertama dengan setiap suku dalam binomial kedua.
- First (Pertama): a × 4a = 4a²
- Outer (Luar): a × (-2b) = -2ab
- Inner (Dalam): (-7b) × 4a = -28ab
- Last (Terakhir): (-7b) × (-2b) = +14b²
Setelah semua suku dikalikan, kita gabungkan menjadi satu ekspresi: 4a²
-2ab – 28ab + 14b². Langkah kunci berikutnya adalah menggabungkan suku-suku sejenis, yaitu suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat yang sama. Dalam hal ini, -2ab dan -28ab adalah suku sejenis.
Menggabungkannya: -2ab – 28ab = -30ab. Dengan demikian, hasil akhir perkalian yang telah disederhanakan adalah 4a²
-30ab + 14b².
Proses perkalian suku dua selalu menghasilkan bentuk trinomial atau lebih sederhana, dengan langkah kritis terletak pada penggabungan suku sejenis secara akurat setelah semua suku disebarkan.
Poin Penting untuk Menghindari Kesalahan
Berdasarkan pengamatan, beberapa kesalahan sering terjadi. Pertama, kesalahan tanda, terutama saat mengalikan suku negatif. Kedua, lupa mengalikan semua suku (biasanya suku terakhir). Ketiga, kesalahan dalam menggabungkan suku sejenis, misalnya mencoba menggabungkan 4a² dengan -30ab karena keduanya berbeda variabelnya.
Visualisasi dan Penjelasan Proses
Perkalian (a‑7b)(4a‑2b) dapat divisualisasikan sebagai luas dari sebuah persegi panjang yang panjang sisi-sisinya adalah (a‑7b) dan (4a‑2b). Bayangkan sebuah persegi panjang yang dibagi menjadi empat area lebih kecil. Area pertama mewakili a dikali 4a (luas = 4a²), area kedua a dikali -2b, area ketiga -7b dikali 4a, dan area keempat -7b dikali -2b. Jumlah total keempat area kecil ini adalah luas total persegi panjang, yang ekuivalen dengan hasil perkalian kita.
Tabel Tahapan Perkalian
Tabel berikut memetakan setiap tahap proses dengan lebih terstruktur, termasuk ekspresi dan keterangan untuk memudahkan pelacakan.
| Langkah | Proses | Ekspresi | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1. Distribusi Awal | Kalikan a dengan (4a-2b) | 4a²
|
Suku pertama disebar |
| 2. Distribusi Lanjut | Kalikan -7b dengan (4a-2b) | -28ab + 14b² | Suku kedua disebar, perhatikan tanda |
| 3. Penggabungan | Jumlahkan semua hasil | 4a²
|
Ekspresi sebelum disederhanakan |
| 4. Penyederhanaan | Gabungkan suku sejenis (-2ab dan -28ab) | 4a²
|
Hasil akhir bentuk paling sederhana |
Analogi dalam Kehidupan Sehari-hari
Prinsip serupa diterapkan saat menghitung total biaya proyek. Misalnya, jika biaya tenaga kerja adalah “a” rupiah per jam dikurangi diskon “7b” rupiah, dan waktu pengerjaan adalah “4a” jam dikurangi penghematan “2b” jam. Untuk menghitung total biaya, Anda secara tidak langsung mengalikan dua faktor yang masing-masing memiliki dua komponen, mirip dengan perkalian suku dua, untuk mendapatkan total akhir yang memperhitungkan semua interaksi antara tarif, diskon, waktu, dan penghematan.
Variasi Soal dan Penerapan Lanjutan
Pemahaman terhadap satu bentuk perkalian menjadi lebih kokoh ketika kita melihat variasi dan penerapannya. Pola (a‑7b)(4a‑2b) memiliki koefisien dan konstanta yang spesifik, namun strukturnya sebagai perkalian dua binomial linear adalah umum.
Variasi Soal dengan Struktur Mirip
Berikut tiga variasi soal yang menguji penerapan konsep yang sama dengan angka dan tanda yang berbeda:
- (x – 5y)(3x – 4y) = 3x² -19xy + 20y²
- (2p + 3q)(5p – q) = 10p² +13pq – 3q²
- (m – 6n)(-2m + n) = -2m² +13mn – 6n²
Konteks Pemfaktoran dan Perbandingan Bentuk Lain
Hasil dari (a‑7b)(4a‑2b), yaitu 4a²
-30ab + 14b², dapat muncul dalam konteks pemfaktoran. Jika diberikan trinomial 4a²
-30ab + 14b², tugas kita adalah memfaktorkannya kembali menjadi (a‑7b)(4a‑2b). Ini adalah proses kebalikan dari perkalian. Jika dibandingkan dengan bentuk kuadrat sempurna seperti (a+b)² = a² + 2ab + b², hasil perkalian kita memiliki suku ab yang negatif dan koefisien yang tidak sama, menunjukkan bahwa ia bukanlah kuadrat sempurna melainkan hasil kali dari dua binomial yang berbeda.
Aplikasi dalam Bidang Lain
Konsep perkalian suku dua ini bukan hanya abstraksi matematika. Dalam fisika, rumus usaha (W = F.s) jika gaya dan perpindahan memiliki komponen dalam arah yang sama dan berlawanan dapat melibatkan perkalian serupa. Dalam ekonomi, menghitung total pendapatan (Price x Quantity) dimana baik harga maupun kuantitas merupakan fungsi linear dari variabel tertentu (seperti pajak atau subsidi) akan menghasilkan bentuk polinomial yang berasal dari perkalian dua ekspresi linear.
Latihan dan Evaluasi Pemahaman: Hasil Perkalian (a‑7b)(4a‑2b)
Untuk menguasai materi, latihan bertingkat sangat diperlukan. Mulailah dari soal yang mirip dengan contoh, lalu lanjutkan ke soal dengan kompleksitas lebih tinggi yang melibatkan lebih dari dua variabel atau koefisien yang lebih rumit.
Serangkaian Latihan Soal, Hasil Perkalian (a‑7b)(4a‑2b)
- Sederhanakan perkalian berikut: (c + 2d)(3c – d)
- Tentukan hasil dari: (5x – y)(x + 4y)
- Jika P = 2r – 3s dan Q = r + 5s, nyatakan hasil P x Q dalam bentuk paling sederhana.
- Perkalian berikut yang hasilnya adalah 6m²7mn – 20n² adalah… a) (2m-5n)(3m+4n) b) (3m-4n)(2m+5n) c) (6m-5n)(m+4n)
Kunci Jawaban dan Penyelesaian Singkat
- (c + 2d)(3c – d) = 3c²
cd + 6cd – 2d² = 3c² + 5cd – 2d²
- (5x – y)(x + 4y) = 5x² +20xy – xy – 4y² = 5x² +19xy – 4y²
- P x Q = (2r-3s)(r+5s) = 2r² +10rs -3rs -15s² = 2r² +7rs -15s²
- Jawaban: a) (2m-5n)(3m+4n) = 6m² +8mn -15mn -20n² = 6m² -7mn -20n²
Strategi Cek Kebenaran Hasil
Untuk memeriksa hasil, substitusikan nilai sederhana untuk variabel. Misal, pada soal (a‑7b)(4a‑2b), coba a=1 dan b=1. Maka (1-7)(4-2) = (-6)(2) = -12. Hasil akhir kita 4a²
-30ab + 14b² menjadi 4(1) -30(1)(1) +14(1) = 4 -30 +14 = -12. Jika cocok, kemungkinan besar perhitungan kita benar.
Analisis Kesalahan Umum dan Perbaikan
| Kesalahan Umum | Penyebab | Cara Memperbaiki |
|---|---|---|
| Hasil akhir masih mengandung suku sejenis yang belum digabung (misal: 4a² -2ab -28ab). | Terburu-buru atau lupa langkah penyederhanaan. | Selalu periksa kembali ekspresi akhir dan lingkari suku-suku dengan variabel & pangkat yang identik. |
| Tanda salah pada suku terakhir, misalnya +14b² menjadi -14b². | Kurang hati-hati mengalikan tanda: (-) × (-) = (+). | Tuliskan tanda operasi dengan jelas di setiap langkah dan ingat hukum perkalian tanda. |
| Hanya mengalikan suku pertama (First) dan terakhir (Last), mengabaikan Outer dan Inner. | Pemahaman metode FOIL yang tidak lengkap. | Gunakan akronim FOIL sebagai checklist: F, O, I, L. Pastikan keempatnya dikerjakan. |
Simpulan Akhir
Jadi, setelah mengikuti seluruh proses, terlihat bahwa hasil akhir dari (a‑7b)(4a‑2b) adalah 4a²
-30ab + 14b². Poin utamanya bukanlah menghafal hasil tersebut, tetapi menguasai metode distributif yang menjadi senjata ampuh untuk berbagai bentuk aljabar lainnya. Ibaratnya, sekali paham cara memancing, kita bisa menangkap ikan jenis apa pun di danau yang berbeda. Selalu luangkan waktu untuk memeriksa kembali suku-suku sejenis, karena di situlah kesalahan paling sering bersembunyi.
FAQ Terperinci
Apakah hasil perkalian (a‑7b)(4a‑2b) bisa langsung dihafalkan?
Tidak disarankan. Meski hasilnya tetap, lebih penting memahami prosesnya agar bisa menyelesaikan variasi soal lain dengan pola serupa.
Menyelesaikan perkalian aljabar seperti (a‑7b)(4a‑2b) yang hasilnya 4a² – 30ab + 14b² itu melatih ketelitian sistematis, skill yang juga vital saat menganalisis rangkaian listrik, misalnya saat kamu perlu Hitung arus i pada rangkaian dengan R1=3Ω, R2=6Ω, R3=9Ω, V1=6V, V2=12V. Prinsip terstruktur dalam fisika itu serupa dengan langkah ekspansi dalam aljabar, di mana setiap suku harus diperhitungkan dengan cermat untuk mencapai solusi yang akurat dan elegan.
Metode mana yang lebih baik, distributif biasa atau FOIL?
Kedua metode pada dasarnya sama. FOIL hanyalah cara sistematis untuk memastikan tidak ada suku yang terlewat dalam perkalian dua binomial. Pilih yang paling nyaman dan mudah diingat.
Bagaimana jika tanda di dalam kurung berubah, misalnya (a+7b)(4a+2b)?
Prosesnya tetap sama, hanya perhitungan tanda pada suku tengah yang akan berubah. Hasilnya akan menjadi 4a² + 30ab + 14b².
Apakah hasil perkalian ini bisa difaktorkan kembali menjadi bentuk (a‑7b)(4a‑2b)?
Ya, hasil perkalian 4a²
-30ab + 14b² memang berasal dari pemfaktoran bentuk tersebut. Proses perkalian dan pemfaktoran adalah operasi kebalikan.
Di bidang lain selain matematika, di mana konsep ini diterapkan?
Konsep serupa muncul dalam fisika (misalnya menghitung luas atau resultan gaya), ekonomi (perkalian rumus pendapatan dengan variabel), dan pemrograman untuk mengembangkan algoritma tertentu.
