Tentukan koefisien suku x²y² pada binomial berikut seringkali menjadi pertanyaan mendasar yang menguji pemahaman tentang ekspansi aljabar. Soal ini bukan sekadar hitung-hitungan biasa, melainkan gerbang untuk memahami pola dan keindahan matematika yang tersembunyi di balik teorema binomial. Dengan menguasainya, kita bisa membongkar rahasia koefisien dalam berbagai bentuk persamaan, dari yang sederhana hingga yang paling rumit sekalipun.
Konsep ini berakar pada Teorema Binomial, sebuah alat ampuh untuk menguraikan bentuk (a + b)^n menjadi penjumlahan suku-suku. Setiap suku dalam ekspansi tersebut memiliki pola tertentu, di mana pangkat dari variabel-variabelnya saling terkait dan koefisiennya dapat ditemukan melalui kombinasi atau segitiga Pascal. Mencari koefisien spesifik seperti x²y² berarti kita sedang berburu suku di mana variabel x berpangkat 2 dan variabel y juga berpangkat 2, lalu menghitung bilangan pengalinya dengan cermat.
Pengantar Konsep Binomial dan Suku
Dalam dunia aljabar, ekspansi binomial merupakan proses menguraikan bentuk pangkat dari penjumlahan dua suku, seperti (a + b)^n, menjadi bentuk penjumlahan suku-suku yang lebih sederhana. Proses ini bukan sekadar perkalian berulang yang memakan waktu, melainkan memiliki pola yang rapi dan dapat diprediksi. Pola inilah yang menjadi inti dari Teorema Binomial, sebuah alat yang sangat ampuh untuk menangani perpangkatan bentuk binomial tanpa harus melakukan perkalian manual yang bertele-tele.
Setiap hasil ekspansi terdiri dari serangkaian suku. Suku umum atau suku ke-k dalam ekspansi ini memiliki bentuk yang spesifik. Suku ini merupakan kombinasi dari koefisien binomial, variabel pertama yang dipangkatkan, dan variabel kedua yang juga dipangkatkan. Pemahaman terhadap struktur suku umum ini adalah kunci untuk menemukan suku tertentu, misalnya suku yang mengandung bagian variabel x²y², tanpa harus menguraikan seluruh ekspansi.
Struktur Suku dalam Ekspansi Binomial
Suku-suku dalam ekspansi binomial tersusun secara sistematis. Setiap suku merupakan hasil perkalian antara sebuah koefisien numerik (yang berasal dari kombinasi) dan variabel-variabel yang dipangkatkan. Pangkat pada variabel-variabel tersebut saling berkaitan; jumlah pangkat dari semua variabel dalam satu suku selalu sama dengan pangkat n dari binomial aslinya. Untuk memperjelas hubungan antara bentuk suku, koefisien, dan bagian variabelnya, perhatikan tabel berikut.
| Contoh Suku | Koefisien | Variabel & Pangkat |
|---|---|---|
| 2x³y | 2 | x³ dan y¹ |
| -5x²y² | -5 | x² dan y² |
| 10xy⁴ | 10 | x¹ dan y⁴ |
| y⁵ | 1 | x⁰ dan y⁵ |
Memahami Teorema Binomial
Teorema Binomial memberikan rumus pasti untuk ekspansi (a + b)^n. Rumus ini menyatakan bahwa hasil ekspansi merupakan penjumlahan dari suku-suku yang berbentuk kombinasi, dengan pangkat a menurun dan pangkat b meningkat secara berurutan. Dengan teorema ini, kita dapat langsung menuliskan suku tertentu atau bahkan seluruh ekspansi hanya dengan mengetahui nilai n.
(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + … + C(n,k)a^(n-k) b^k + … + C(n,n)a^0 b^n
Dalam rumus tersebut, C(n,k) atau sering ditulis sebagai nC k atau (n choose k), merupakan koefisien binomial yang nilainya sama dengan n! / (k! (n-k)!). Suku ke-(k+1) dalam ekspansi, yang disebut suku umum, dirumuskan sebagai T k+1 = C(n,k)
– a^(n-k)
– b^k. Indeks k ini dimulai dari 0. Jadi, untuk menemukan suku di mana pangkat b adalah k, kita langsung menggunakan rumus suku umum tersebut.
Penerapan Rumus Suku Umum
Mari kita terapkan konsep ini untuk menemukan suku yang mengandung x²y² dalam ekspansi (x + y)^4. Di sini, a = x, b = y, dan n = 4. Kita menginginkan suku dengan bagian variabel x²y², yang berarti pangkat b (yaitu y) adalah 2, sehingga k = 2. Pangkat a (x) otomatis akan menjadi n – k = 4 – 2 = 2, yang sesuai dengan keinginan kita.
Selanjutnya, kita substitusikan ke rumus suku umum.
Tk+1 = C(n, k)
- a^(n-k)
- b^k
T 3 = C(4, 2)
- x^(4-2)
- y^2
T 3 = (4!/(2!2!))
- x²
- y²
T 3 = 6
- x²
- y²
Dengan demikian, suku yang dimaksud adalah 6x²y² dan koefisiennya adalah 6. Proses ini jauh lebih efisien daripada mengalikan (x+y) sebanyak empat kali.
Menentukan Koefisien Spesifik x²y²
Pencarian koefisien suku x²y² menjadi sedikit lebih menantang ketika bentuk binomialnya lebih kompleks, misalnya melibatkan koefisien atau pangkat pada variabel di dalam tanda kurung. Prinsipnya tetap sama: identifikasi peran a, b, dan n, lalu samakan pangkat yang diinginkan dengan bentuk umum a^(n-k)
– b^k. Perbedaannya terletak pada perhitungan akhir karena koefisien dari a dan b akan ikut dipangkatkan dan dikalikan.
Beberapa hal kritis yang harus diperiksa secara berurutan adalah:
- Identifikasi nilai n dari pangkat binomial.
- Tentukan apa yang berperan sebagai a dan b dalam ekspresi.
- Samakan pangkat dari bagian variabel yang diinginkan (x² dan y²) dengan bentuk umum a^(n-k)
– b^k untuk menemukan nilai k. - Pastikan nilai k yang ditemukan adalah bilangan bulat non-negatif dan tidak lebih besar dari n.
- Hitung koefisien binomial C(n, k).
- Kalikan hasilnya dengan koefisien dari a dan b yang telah dipangkatkan sesuai nilai k.
Prosedur ini dapat diaplikasikan pada berbagai bentuk binomial. Tabel berikut menunjukkan perbandingan perhitungan untuk beberapa kasus.
| Bentuk Binomial | n | Perhitungan Koefisien Binomial & Variabel | Koefisien Akhir x²y² |
|---|---|---|---|
| (x + y)^4 | 4 | C(4,2)
|
6 |
| (2x – 3y)^4 | 4 | C(4,2)
|
216 |
| (x² + y)^3 | 3 | C(3,2)
1. Catatan a=x², jadi a^(n-k) = (x²)^(3-2)= x² |
3 |
| (x + y³)^5 | 5 | Tidak ada suku x²y². Syarat: a^(n-k)=x² → n-k=2, dan b^k=(y³)^k=y^(3k)=y² → 3k=2 (bukan bilangan bulat). | 0 |
Variasi Soal dan Penyelesaian: Tentukan Koefisien Suku X²y² Pada Binomial Berikut
Untuk menguasai teknik ini, latihan dengan variasi soal sangat diperlukan. Mulai dari bentuk sederhana hingga yang memerlukan analisis lebih mendalam mengenai pemilihan a dan b. Berikut adalah tiga contoh masalah dengan tingkat kerumitan berbeda beserta penyelesaian lengkapnya.
Contoh Sederhana: Koefisien dalam (x+y)^5
Soal: Tentukan koefisien suku x²y³ pada ekspansi (x+y)^5.
Penyelesaian: Dari soal, n=5, a=x, b=y. Suku yang dimiliki bentuk x²y³. Dalam suku umum, bagian variabelnya adalah a^(5-k) b^k = x^(5-k) y^k. Disamakan: x^(5-k) y^k = x² y³. Diperoleh 5-k=2 → k=3, dan k=3 (konsisten).
Koefisien suku adalah C(5,3) = 5!/(3!2!) = 10. Jadi, koefisiennya adalah 10.
Contoh Menengah: Koefisien dalam (2x – y)^6, Tentukan koefisien suku x²y² pada binomial berikut
Source: kompas.com
Soal: Tentukan koefisien suku x²y⁴ pada ekspansi (2x – y)^6.
Menentukan koefisien suku x²y² dalam ekspansi binomial memerlukan ketelitian analitis yang serupa dengan pendekatan untuk Hitung massa molekul relatif gas X pada suhu dan tekanan tertentu , di mana presisi data mutlak diperlukan. Keduanya adalah fondasi dalam pemahaman konseptual sains eksak. Oleh karena itu, setelah memahami prinsip perhitungan gas tersebut, penerapan rumus kombinasi dalam teorema binomial menjadi lebih terarah untuk menemukan jawaban akhir yang akurat.
Penyelesaian: Di sini, n=6, a=2x, b=-y. Bagian variabel suku umum: (2x)^(6-k)
– (-y)^k = 2^(6-k) x^(6-k)
– (-1)^k y^k. Kita cari suku dengan x²y⁴, berarti: pangkat x: 6-k = 2 → k=
4. Pangkat y: k = 4 (sesuai). Substitusi k=4: Koefisien dari suku tersebut adalah C(6,4)
– 2^(6-4)
– (-1)^4 = C(6,2)
– 2²
– 1.C(6,2)=15, 2²=4. Maka koefisien akhir = 15
– 4
– 1 = 60.
Contoh Kompleks: Koefisien dalam (x² + 3y)^5
Soal: Carilah koefisien suku yang memuat x⁴y² dalam ekspansi (x² + 3y)^5.
Penyelesaian: Perhatikan, a = x², b = 3y, n=
5. Suku umum: C(5,k)
– (x²)^(5-k)
– (3y)^k = C(5,k)
– x^(10-2k)
– 3^k
– y^k. Kita ingin suku dengan x⁴y². Bandingkan pangkat y: k harus sama dengan
2. Sekarang periksa pangkat x: 10 – 2k = 10 – 2(2) =
6.Ini menghasilkan x⁶, bukan x⁴. Jadi, tidak ada suku x⁴y². Soal mungkin keliru, atau yang dimaksud adalah suku x⁴y³? Mari kita cek untuk x⁴: 10-2k=4 → 2k=6 → k=3. Maka suku yang ada adalah x⁴y³ dengan koefisien C(5,3)*3³ = 10
– 27 = 270.Kesalahan umum adalah langsung menyamakan k dengan pangkat y tanpa memeriksa konsistensi pangkat x.
Aplikasi dan Ilustrasi Konsep
Koefisien binomial yang menjadi inti perhitungan ini memiliki representasi geometris yang elegan dalam Segitiga Pascal. Setiap baris ke-n pada segitiga tersebut berisi deretan angka yang merepresentasikan nilai C(n,0), C(n,1), …, C(n,n). Jika kita mencari koefisien untuk (x+y)^4, kita cukup melihat baris ke-4 (dengan indeks baris biasanya dimulai dari 0): 1, 4, 6, 4, 1. Angka 6 yang berada di posisi ketiga (atau indeks 2 dari kiri) itulah koefisien untuk suku x²y², persis seperti hasil perhitungan kita sebelumnya.
Pola segitiga ini bukan hanya keindahan matematika, tetapi juga fondasi dalam teori probabilitas, khususnya pada distribusi binomial.
Mencari koefisien suku x²y² dalam ekspansi binomial memerlukan ketelitian sistematis, mirip dengan cara kita menganalisis pola kompleks dalam tubuh. Proses perhitungan yang presisi ini mengingatkan pada mekanisme Perubahan Fisiologis Darah Saat Laju Pernapasan Meningkat (30→60) , di mana setiap variabel—seperti kadar oksigen dan karbon dioksida—bergeser secara terukur. Kembali ke aljabar, penentuan koefisien tersebut akhirnya mengandalkan rumus kombinasi yang tepat dari pangkat yang diberikan.
Dalam statistika, distribusi binomial menggambarkan probabilitas keberhasilan sebanyak k kali dalam n percobaan independen. Rumus probabilitasnya, P(X=k) = C(n,k)
– p^k
– (1-p)^(n-k), secara struktur identik dengan suku umum ekspansi binomial (p + q)^n dengan q=1-p. Dengan demikian, memahami ekspansi binomial berarti juga memahami dasar dari salah satu distribusi probabilitas yang paling fundamental.
Latihan Mandiri
Untuk menguji pemahaman, coba selesaikan dua soal berikut. Disarankan untuk menyusun langkah pengerjaan secara sistematis dalam sebuah tabel kecil yang berisi kolom untuk identifikasi n, a, b, penentuan k, perhitungan koefisien binomial, dan perhitungan koefisien akhir.
- Tentukan koefisien suku x²y⁶ pada ekspansi (x + 2y²)^5.
- Tentukan koefisien suku yang mengandung a³b³ pada ekspansi (2a – b²)^6.
Analisis soal pertama memerlukan kehati-hatian karena b bukan lagi y sederhana, melainkan 2y². Sedangkan soal kedua menguji kemampuan untuk menangani pangkat pada variabel b yang lebih dari satu. Selamat berlatih.
Ringkasan Akhir
Dengan demikian, menentukan koefisien suku x²y² telah membawa kita pada eksplorasi mendalam tentang presisi aljabar. Proses yang sistematis, mulai dari mengidentifikasi pangkat, menentukan nilai n dan k, hingga menerapkan rumus koefisien binomial, menunjukkan bahwa matematika adalah bahasa yang terstruktur dan elegan. Penguasaan terhadap konsep ini tidak hanya menyelesaikan satu soal, tetapi juga membekali kita dengan kerangka berpikir untuk menganalisis pola-pola yang lebih kompleks dalam berbagai aplikasi ilmiah.
Menentukan koefisien suku x²y² dalam ekspansi binomial, seperti (x+y)⁴, memerlukan ketelitian sistematis—mirip dengan strategi komunikasi yang cermat. Hal ini terlihat dalam situasi sehari-hari, contohnya saat Mawar asks Putri for advice on contacting husband via telegram , di mana setiap kata dipilih dengan presisi. Kembali ke matematika, koefisien tersebut dapat ditemukan dengan rumus kombinasi, menghasilkan nilai yang pasti dan tak terbantahkan.
FAQ Umum
Apakah cara mencari koefisien x²y² sama untuk binomial seperti (x – y)^n?
Prinsipnya sama, tetapi tanda negatif pada variabel y akan memengaruhi tanda koefisien akhir. Jika bentuknya (x – y)^n, tulis sebagai (x + (-y))^n. Koefisien binomialnya tetap, namun suku (-y)^k akan memberikan faktor (-1)^k yang menentukan tanda positif atau negatif pada hasil akhir.
Bagaimana jika soalnya mencari koefisien suku x²y² pada (x² + y³)^5? Apakah masih mungkin?
Tidak mungkin. Pada (x² + y³)^5, setiap suku akan berbentuk C(5, k)
– (x²)^(5-k)
– (y³)^k = C(5, k)
– x^(10-2k)
– y^(3k). Untuk mendapatkan x², diperlukan 10 – 2k = 2, sehingga k=4. Substitusi ke pangkat y menghasilkan 3k = 12, bukan 2. Jadi, suku x²y² tidak muncul dalam ekspansi ini karena pangkatnya bukan kelipatan yang sesuai.
Mana yang lebih praktis, menggunakan segitiga Pascal atau rumus kombinasi C(n, k)?
Untuk nilai n yang kecil (misal n ≤ 7), segitiga Pascal sangat cepat dan visual. Namun, untuk n yang besar, rumus kombinasi C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) jauh lebih efisien dan akurat karena tidak perlu membangun seluruh segitiga.
