Menentukan Pusat Lingkaran x²+y²+2px+6y+4=0 dengan Jari‑jari 3 terdengar seperti teka-teki aljabar yang kaku, bukan? Tapi sebenarnya, ini adalah petualangan kecil yang cukup memikat di dunia koordinat. Kita punya persamaan dengan karakter misterius bernama ‘p’, sementara jari-jarinya sudah bocor: 3. Tugas kita adalah mengungkap identitas sang pusat lingkaran yang bersembunyi di balik bentuk umum persamaan tersebut.
Dengan membandingkan bentuk baku dan bentuk umum, lalu melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna, kita akan membongkar rahasia koefisien-koefisien tersebut. Parameter ‘p’ menjadi kunci utama yang menentukan pergeseran pusat lingkaran secara horizontal di sepanjang sumbu-X, yang akhirnya bisa menghasilkan dua kemungkinan lingkaran berbeda dari satu persamaan yang sama.
Memahami Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Sebelum kita menyelami persamaan yang ada, mari kita sepakati dulu bahasa yang digunakan. Dalam geometri analitik, lingkaran dapat dinyatakan dalam dua bentuk utama yang saling terkait. Bentuk pertama adalah bentuk baku, yang langsung menunjukkan informasi penting tentang lingkaran tersebut.
Bentuk baku persamaan lingkaran ditulis sebagai (x – a)² + (y – b)² = r². Di sini, titik (a, b) adalah koordinat pusat lingkaran, dan r adalah panjang jari-jarinya. Ini seperti kartu identitas lengkap sebuah lingkaran: kita langsung tahu di mana posisinya dan seberapa besar ukurannya. Bentuk kedua adalah bentuk umum, yang sering muncul dalam soal, yaitu x² + y² + Ax + By + C = 0.
Bentuk ini lebih “mentah” dan menyembunyikan informasi pusat serta jari-jari di balik koefisien A, B, dan C. Keahlian kita adalah mengubah dari bentuk umum ke bentuk baku melalui teknik melengkapkan kuadrat sempurna.
Perbandingan Bentuk Baku dan Bentuk Umum, Menentukan Pusat Lingkaran x²+y²+2px+6y+4=0 dengan Jari‑jari 3
Proses mengubah bentuk umum ke baku intinya adalah memanipulasi aljabar untuk mengembalikan suku-suku x dan y ke dalam bentuk kuadrat sempurna, seperti (x – a)². Dari proses ini, kita bisa menurunkan rumus cepat: pusat lingkaran berada di (-½A, -½B) dan jari-jari r = √[(½A)² + (½B)²
-C]. Tabel berikut memberikan gambaran visual tentang perbandingan ini melalui beberapa contoh.
| Bentuk Baku | Bentuk Umum | Pusat (a, b) | Jari-jari (r) |
|---|---|---|---|
| (x – 2)² + (y + 1)² = 9 | x² + y²
|
(2, -1) | 3 |
| (x + 3)² + y² = 16 | x² + y² + 6x – 7 = 0 | (-3, 0) | 4 |
| x² + (y – 5)² = 5 | x² + y² – 10y + 20 = 0 | (0, 5) | √5 |
Mengidentifikasi Komponen dari Persamaan yang Diberikan
Sekarang, mari kita fokus pada persoalan kita: x² + y² + 2px + 6y + 4 =
0. Persamaan ini sudah dalam bentuk umum, tetapi dengan sedikit keunikan: terdapat parameter ‘p’ yang belum diketahui nilainya. Tugas pertama kita adalah memetakan komponen-komponennya dengan teliti.
Dari bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0, kita dapat melakukan identifikasi langsung. Koefisien dari suku x adalah A, yang dalam kasus ini adalah 2p. Koefisien dari suku y adalah B, yaitu 6. Sementara konstanta C adalah 4. Parameter ‘p’ ini adalah kuncinya; ia menentukan nilai A dan secara langsung akan memengaruhi posisi pusat lingkaran di sepanjang sumbu-X.
Peran Parameter pada Posisi Pusat
Mengacu pada rumus pusat (-½A, -½B), kita bisa melihat pengaruh ‘p’. Koordinat pusat pada sumbu-Y sudah tetap, yaitu -½
– 6 = -3. Namun, koordinat pada sumbu-X bergantung sepenuhnya pada ‘p’, yaitu -½
– (2p) = -p. Artinya, pusat lingkaran kita selalu berada pada garis horizontal y = -3, tetapi bergerak ke kiri atau kanan seiring perubahan nilai p. Jika p positif, maka -p negatif, pusat bergeser ke kiri.
Jika p negatif, pusat bergeser ke kanan. Inilah keindahan parameter: ia memberikan keluarga lingkaran dengan jari-jari yang mungkin sama, tetapi pusat yang berjalan di sepanjang sebuah garis.
Menurunkan Rumus Pusat dan Jari-Jari dari Bentuk Umum
Daripada hanya menghafal rumus, memahami asal-usulnya akan membuat kita lebih kebal terhadap kesalahan. Proses intinya adalah melengkapkan kuadrat sempurna. Mari kita lakukan pada persamaan umum x² + y² + Ax + By + C = 0.
Pertama, kita pindahkan konstanta C ke ruas kanan: x² + y² + Ax + By = -C. Kemudian, untuk suku-suku x dan y, kita lengkapi kuadratnya. Ambil suku x: x² + Ax. Untuk melengkapkan kuadrat, kita tambahkan (½A)². Karena kita menambahkan di ruas kiri, kita juga harus menambahkan (½A)² di ruas kanan.
Lakukan hal yang sama untuk y: y² + By, kita tambahkan (½B)² di kedua ruas. Setelah itu, ruas kiri akan menjadi (x + ½A)² + (y + ½B)², dan ruas kanan menjadi (½A)² + (½B)²
-C. Bandingkan dengan bentuk baku (x – a)² + (y – b)² = r², maka kita peroleh a = -½A, b = -½B, dan r² = (½A)² + (½B)²
-C.
Poin Kritis dalam Melengkapkan Kuadrat
Perhatikan tanda dengan saksama: Bentuk kuadrat sempurna selalu (x – a)². Jika dari proses kita dapat (x + ½A)², maka itu sama dengan (x – (-½A))², sehingga a = -½A, bukan ½A.
Jangan lupa menyeimbangkan persamaan: Setiap bilangan yang ditambahkan untuk melengkapi kuadrat di ruas kiri, harus juga ditambahkan ke ruas kanan.
Pastikan koefisien x² dan y² adalah 1: Jika bukan 1, bagilah seluruh persamaan dengan koefisien tersebut terlebih dahulu sebelum memulai proses.
Menerapkan Informasi Jari-Jari untuk Menentukan Nilai Parameter
Kita telah memiliki semua alat yang diperlukan. Dari persamaan x² + y² + 2px + 6y + 4 = 0, kita identifikasi A = 2p, B = 6, C = 4. Informasi kunci yang diberikan adalah jari-jari r = 3. Kita akan gunakan rumus jari-jari yang telah diturunkan untuk membuka nilai p.
Rumus jari-jari adalah r = √[(½A)² + (½B)²
-C]. Substitusikan nilai yang kita ketahui: 3 = √[(½
– 2p)² + (½
– 6)²
-4]. Mari kita uraikan langkah perhitungannya secara sistematis.
- Langkah 1: Sederhanakan bagian dalam akar. (½
– 2p)² = (p)² = p². (½
– 6)² = (3)² = 9. - Langkah 2: Persamaan menjadi 3 = √[p² + 9 – 4] => 3 = √[p² + 5].
- Langkah 3: Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar: 3² = p² + 5 => 9 = p² + 5.
- Langkah 4: Selesaikan untuk p²: p² = 9 – 5 = 4.
- Langkah 5: Akarkan: p = ±2.
Jadi, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai parameter: p = 2 atau p = -2. Setiap nilai akan menghasilkan lingkaran dengan pusat yang berbeda, meskipun jari-jarinya sama.
Dua Kemungkinan Lingkaran dari Dua Nilai p
| Nilai p | Persamaan Lengkap | Pusat (-½A, -½B) | Jari-jari (r) |
|---|---|---|---|
| p = 2 | x² + y² + 4x + 6y + 4 = 0 | (-2, -3) | 3 |
| p = -2 | x² + y²
|
(2, -3) | 3 |
Visualisasi dan Interpretasi Geometris dari Hasil
Dengan dua nilai p yang valid, kita sebenarnya memiliki dua lingkaran yang berbeda. Meski keduanya berbagi jari-jari yang sama sepanjang 3 satuan, mereka menempati lokasi yang bersifat cermin di bidang koordinat.
Untuk p = 2, pusat lingkaran berada di titik (-2, -3). Bayangkan sebuah titik di kuadran III, 2 satuan ke kiri dari sumbu-Y dan 3 satuan ke bawah dari sumbu-X. Dari titik ini, sebuah lingkaran dengan radius 3 digambarkan. Untuk p = -2, pusatnya bergeser ke (2, -3). Ini adalah bayangan cermin dari pusat pertama terhadap sumbu-Y.
Lingkarannya terletak di kuadran IV, dengan posisi simetris secara horizontal. Perubahan nilai p dari 2 ke -2 menggeser pusat lingkaran sejauh 4 satuan secara horizontal (dari x = -2 ke x = 2), sementara posisi vertikalnya tetap di y = -3.
Deskripsi Geometris Dua Lingkaran
Source: z-dn.net
Kedua lingkaran ini seperti saudara kembar yang dipisahkan oleh sumbu-Y. Mereka memiliki ukuran yang persis sama. Jika kita menggambarnya, kedua lingkaran akan bersinggungan secara vertikal? Tidak, karena jarak antara kedua pusatnya adalah 4 satuan (dari -2 ke 2), sedangkan jumlah jari-jari mereka adalah 6 satuan (3+3). Karena jarak pusat (4) lebih kecil dari jumlah jari-jari (6), kedua lingkaran ini sebenarnya berpotongan atau saling tumpang tindih sebagian, bukan bersinggungan.
Daerah perpotongan ini adalah bukti visual bahwa meski parameternya berbeda, keluarga persamaan ini menghasilkan lingkaran-lingkaran yang masih “berhubungan”.
Contoh Soal dan Penyelesaian Terstruktur
Untuk menguatkan pemahaman, mari kita berlatih dengan dua skenario yang berbeda. Pendekatan penyelesaiannya bisa menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna secara penuh, atau menggunakan rumus langsung yang telah kita dapatkan. Keduanya valid, pilih yang paling nyaman.
Contoh Soal 1: Parameter pada Suku y
Diketahui persamaan lingkaran x² + y²
-8x + 2qy + 12 = 0 memiliki jari-jari √10. Tentukan nilai q yang memenuhi dan koordinat pusat lingkaran.
- Identifikasi: A = -8, B = 2q, C = 12, r = √10.
- Gunakan Rumus Jari-jari: r² = (½A)² + (½B)²
-C. - Substitusi: (√10)² = (½
– -8)² + (½
– 2q)²
-12 => 10 = (-4)² + (q)²
-12. - Hitung: 10 = 16 + q²
-12 => 10 = q² + 4. - Selesaikan: q² = 6 => q = √6 atau q = -√6.
- Cari Pusat: Pusat = (-½A, -½B) = (4, -q).
- Jika q = √6, pusatnya (4, -√6).
- Jika q = -√6, pusatnya (4, √6).
Contoh Soal 2: Dua Parameter dan Titik yang Dilalui
Lingkaran x² + y² + mx + ny – 12 = 0 berpusat di titik (2, -1). Tentukan nilai m dan n, serta panjang jari-jarinya.
- Informasi Pusat: Dari pusat (2, -1), kita tahu -½A = 2 dan -½B = -1.
- Cari A dan B (yaitu m dan n):
- -½A = 2 => A = -4. Jadi, m = -4.
- -½B = -1 => B = 2. Jadi, n = 2.
- Persamaan Lengkap: x² + y²
4x + 2y – 12 = 0.
- Cari Jari-jari: Gunakan C = -12.
- r = √[(½A)² + (½B)²
-C] = √[(-2)² + (1)²
-(-12)] = √[4 + 1 + 12] = √17.
- r = √[(½A)² + (½B)²
- Verifikasi dengan Melengkapkan Kuadrat: Kelompokkan suku: (x²4x) + (y² + 2y) =
-
12. Lengkapi kuadrat
(x²
- 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = 12 + 4 +
1. Hasilnya
(x – 2)² + (y + 1)² = 17. Terlihat pusat (2, -1) dan r = √17, sesuai.
-
Ringkasan Penutup
Jadi, dari satu persamaan x²+y²+2px+6y+4=0 dengan r=3, kita berhasil menguak dua kemungkinan dunia: pusat di (2, -3) saat p=-4, atau pusat di (-2, -3) saat p=4. Analisis ini bukan sekadar hitung-hitungan, tetapi demonstrasi elegan bagaimana parameter kecil dapat menggeser seluruh geometri sebuah bentuk. Pemahaman ini membuka pintu untuk menganalisis keluarga lingkaran lainnya, membuktikan bahwa di balik simbol-simbol aljabar yang tampak abstrak, selalu tersembunyi pola dan cerita visual yang menanti untuk diplot.
FAQ Terpadu: Menentukan Pusat Lingkaran X²+y²+2px+6y+4=0 Dengan Jari‑jari 3
Apakah nilai ‘p’ selalu menghasilkan pusat lingkaran yang simetris terhadap sumbu-Y seperti dalam soal ini?
Tidak selalu. Simetri yang terjadi (yaitu pusat di (2,-3) dan (-2,-3)) adalah konsekuensi spesifik dari konstanta dalam persamaan ini. Jika suku konstan atau koefisien y berubah, pola simetris ini bisa saja tidak terjadi.
Bagaimana jika jari-jari yang diberikan bukan 3, melainkan bilangan lain?
Prosedurnya tetap sama. Nilai jari-jari baru akan mengubah persamaan akhir saat menyamakan r². Hasilnya, nilai parameter ‘p’ yang memenuhi akan berbeda, yang kemudian mengubah koordinat pusat lingkaran yang mungkin.
Apakah mungkin tidak ada nilai ‘p’ yang memenuhi untuk jari-jari tertentu?
Sangat mungkin. Jika setelah menyusun persamaan r² = (-½A)² + (-½B)²
-C, ruas kanan menghasilkan bilangan negatif (saat dihitung dengan simbol ‘p’), maka tidak ada nilai real untuk ‘p’ yang memenuhi, karena jari-jari kuadrat (r²) tidak mungkin negatif.
Mengapa harus melengkapkan kuadrat sempurna? Apa tidak bisa langsung pakai rumus pusat (-½A, -½B)?
Bisa langsung pakai rumus, itu justru cara tercepat. Proses melengkapkan kuadrat ditunjukkan untuk memahami asal-usul rumus tersebut. Dalam soal ini, setelah dapat pusat dalam bentuk (-p, -3), kita gunakan informasi jari-jari untuk mencari nilai ‘p’.
