Nilai x yang Memenuhi Persamaan 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6 = 0

Nilai x yang Memenuhi Persamaan 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6 = 0 mungkin terlihat seperti teka-teki angka yang membingungkan pada pandangan pertama. Tapi percayalah, di balik kerumitan pecahan dan tanda kurung itu, tersembunyi logika matematika yang elegan dan sebenarnya sangat bisa diurai. Ini bukan sekadar soal menjawab benar di kertas ulangan, melainkan tentang melatih kerapian berpikir, ketelitian langkah, dan memahami bahwa setiap masalah, sekompleks apa pun, punya jalur penyelesaiannya sendiri.

Persamaan linear satu variabel seperti ini adalah fondasi dari banyak konsep matematika yang lebih tinggi. Dari menghitung budget bulanan, menentukan jarak tempuh, hingga memodelkan fenomena sederhana, prinsipnya sama: mencari titik keseimbangan di mana kedua sisi sama nilainya. Mari kita bedah persamaan ini bersama-sama, mengubah kekhawatiran akan pecahan menjadi kepuasan saat menemukan satu nilai x yang tepat menjadi jawabannya.

Menguak Misteri Persamaan Linear: Dari Bentuk Umum ke Solusi Spesifik

Source: gauthmath.com

Persamaan linear satu variabel, meski terkesan sederhana, adalah fondasi dari banyak pemikiran logis dan kalkulasi praktis. Bentuk umumnya, ax + b = 0, di mana ‘a’ dan ‘b’ adalah konstanta, mewakili hubungan langsung yang dapat memodelkan berbagai situasi. Misalnya, menghitung lama sewa mobil dengan tarif harian tetap plus deposit, atau menentukan jumlah item yang harus dijual untuk mencapai titik impas.

Kemampuan menyelesaikannya berarti kemampuan untuk menemukan nilai pasti yang menyeimbangkan kedua sisi persamaan, sebuah keterampilan yang berguna jauh melampaui ruang kelas.

Pada artikel ini, kita akan mengerahkan seluruh perhatian pada sebuah persamaan yang mungkin terlihat sedikit lebih rumit karena kehadiran pecahan: 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6 = 0. Persamaan ini akan menjadi studi kasus utama kita untuk memahami langkah-langkah sistematis dalam menyelesaikan persamaan linear, mulai dari penyederhanaan, pengelompokan, hingga verifikasi akhir.

Strategi Awal: Menghilangkan Pecahan dengan KPK, Nilai x yang Memenuhi Persamaan 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6 = 0

Langkah paling efektif untuk menangani persamaan linear yang mengandung pecahan adalah mengeliminasinya sejak awal. Caranya dengan mengalikan seluruh ruas persamaan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari semua penyebut yang ada. Dalam persamaan kita, penyebutnya adalah 5 dan 3. KPK dari 5 dan 3 adalah 15. Mengalikan setiap suku dengan 15 akan membersihkan pecahan dan membawa kita ke wilayah bilangan bulat yang lebih mudah dikelola.

Proses ini harus dilakukan secara hati-hati dan merata ke setiap suku, termasuk konstanta. Tabel berikut membandingkan keadaan persamaan sebelum dan sesudah dikalikan 15, serta detail perhitungan per suku.

Setelah perkalian, persamaan kita yang baru adalah: (6x – 3) + (-70 + 10x) + 90 = 0. Perhatikan tanda negatif tetap melekat pada suku kedua selama proses distribusi. Langkah ini telah mengubah wajah persamaan menjadi lebih bersih dan siap untuk tahap pengelompokan.

Mengelompokkan Variabel dan Menemukan Nilai x

Dengan pecahan yang telah hilang, tugas kita sekarang adalah mengumpulkan semua suku yang mengandung variabel ‘x’ di satu sisi dan semua konstanta di sisi lain. Persamaan kita saat ini adalah 6x – 3 -70 + 10x + 90 = 0. Mari kita satukan suku-suku sejenis.

Pertama, kumpulkan suku-suku ‘x’: 6x + 10x = 16x. Kemudian, kumpulkan konstanta: -3 -70 + 90 = 17. Maka persamaan menjadi 16x + 17 = 0. Untuk mengisolasi ‘x’, kita perlu memindahkan konstanta 17 ke ruas kanan.

Aturan dasarnya: suatu suku dapat dipindahkan ke ruas lain persamaan dengan mengubah tanda operasinya menjadi kebalikan. Penjumlahan menjadi pengurangan, perkalian menjadi pembagian, dan sebaliknya.

Dengan menerapkan aturan itu, kita pindahkan +17 ke ruas kanan menjadi -17. Sehingga didapatkan 16x = -17. Langkah terakhir adalah mengisolasi ‘x’ sepenuhnya dengan membagi kedua ruas dengan koefisien di depan ‘x’, yaitu 16.

Maka, solusi yang kita peroleh adalah x = -17/16. Nilai ini merupakan bilangan rasional yang merupakan jawaban eksak dari persamaan awal.

Memastikan Kebenaran: Verifikasi Solusi

Langkah verifikasi bukanlah formalitas, melainkan bagian krusial untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung selama proses penyederhanaan. Kita akan mensubstitusikan nilai x = -17/16 kembali ke dalam persamaan asli: 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6, dan berharap hasilnya benar-benar 0.

Perhitungan substitusi dilakukan per bagian untuk meminimalisir kesalahan. Berikut adalah tabel yang merinci proses tersebut.

Sekarang, gabungkan semua hasil parsial sesuai operasi pada persamaan awal: (-5/8) – (43/8) + (48/8) = (-5 – 43 + 48)/8 = (0)/8 = 0. Hasilnya tepat 0, yang membuktikan bahwa solusi x = -17/16 adalah benar. Verifikasi seperti ini memberikan kepastian dan kepercayaan diri pada jawaban akhir.

Memperluas Pemahaman Melalui Variasi dan Ilustrasi: Nilai X Yang Memenuhi Persamaan 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6 = 0

Setelah menguasai satu bentuk persamaan, kemampuan itu dapat diterapkan pada berbagai variasi soal. Berikut tiga contoh variasi yang mengubah koefisien atau tanda, namun tetap menggunakan prinsip penyelesaian yang sama: menghilangkan pecahan, mengelompokkan, dan menyelesaikan.

• Variasi 1: 3/4(x+2) + 1/2(x-1) = 5. (KPK=4)
• Variasi 2: 2/7(3x-5)
  -1/3(x+4) = -2. (KPK=21)
• Variasi 3: 5 – 1/2(4x+6) = 2/5(10-x). (KPK=10)

Tips cepat untuk soal seperti ini selalu identifikasi KPK penyebut terlebih dahulu. Kalikan seluruh persamaan, termasuk konstanta yang terlihat “berdiri sendiri”, dengan KPK tersebut. Selalu tulis ulang persamaan setelah setiap langkah penyederhanaan untuk menghindari kekacauan.

Secara grafis, persamaan linear satu variabel seperti 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6 = 0 dapat direpresentasikan sebagai sebuah garis lurus pada bidang kartesius, misalnya dalam bentuk y = 1/5(2x‑1) – 2/3(7‑x) + 6. Menyelesaikan persamaan sama dengan mencari nilai x saat y=0. Ini adalah titik di mana garis tersebut memotong sumbu horizontal (sumbu-x). Jadi, solusi x = -17/16 adalah koordinat titik potong garis tersebut dengan sumbu-x, sebuah titik tunggal yang menjadi jawaban dari persamaan kita.

Kesalahan yang Sering Terjadi dan Cara Menghindarinya

Dalam menyelesaikan persamaan berpecahan, beberapa jebakan sering menjerat. Mengenali kesalahan ini adalah cara terbaik untuk mencegahnya terulang.

Kesalahan pertama adalah lupa mengalikan semua suku dengan KPK, terutama konstanta. Misalnya, hanya mengalikan suku yang mengandung pecahan saja.

Contoh Salah: 1/2 x + 3 = 5 -> dikali 2 -> x + 3 = 10.
Contoh Benar: 1/2 x + 3 = 5 -> dikali 2 -> (2*(1/2 x)) + (2*3) = (2*5) -> x + 6 = 10.

Kesalahan kedua adalah kesalahan distribusi tanda negatif saat mengalikan KPK dengan suku yang bertanda negatif atau saat membuka kurung.

Contoh Salah: -2/3 (7-x) dikali 15 -> -10

(7-x) = -70 – 10x (tanda untuk 10x salah).

Contoh Benar: -2/3 (7-x) dikali 15 -> -10

(7-x) = -70 + 10x.

Kesalahan ketiga adalah kesalahan aritmetika dasar dalam penjumlahan atau pengurangan bilangan negatif setelah pengelompokan.

Contoh Salah: 6x + 10x -3 -70 + 90 = 0 -> 16x + 17 = 0? (Salah, karena -3-70+90 = 17, bukan -17). Koreksi: -3-70 = -73; -73+90 = +17. Jadi 16x + 17 = 0.

Kesalahan-kesalahan ini sering terjadi karena terburu-buru atau kurang teliti. Solusinya adalah menulis setiap langkah dengan rapi, memberi tanda kurung yang jelas saat mendistribusikan, dan selalu melakukan verifikasi akhir. Dengan latihan yang terfokus, keakuratan dalam menyelesaikan persamaan linear akan semakin meningkat.

Terakhir

Jadi, begitulah perjalanannya. Dari sebuah persamaan yang tampak ruwet, kita berhasil mengungkap bahwa x = -5 adalah solusi yang valid. Proses verifikasi menjadi bukti akhir yang memuaskan, mengonfirmasi bahwa setiap langkah penyederhanaan dan pengelompokan dilakukan dengan tepat. Menguasai penyelesaian soal seperti ini ibarat memiliki kunci untuk membuka banyak pintu masalah matematika lainnya. Ingat, tantangan terbesar seringkali bukan pada kerumitan soal, tetapi pada konsistensi dan ketelitian kita dalam menerapkan langkah-langkah dasar.

Selamat berlatih, dan semoga setiap persamaan baru yang kamu hadapi justru menambah rasa penasaran, bukan keengganan.

Pertanyaan Populer dan Jawabannya

Apakah KPK 5 dan 3 selalu 15 untuk soal seperti ini?

Ya, karena 5 dan 3 adalah bilangan prima, KPK-nya selalu hasil kali keduanya, yaitu 15. Ini langkah kunci untuk menghilangkan penyebut pecahan.

Bagaimana jika setelah dikali KPK, masih ada tanda kurung?

Tanda kurung harus tetap diselesaikan dengan mendistribusikan perkalian ke setiap suku di dalamnya. Itu adalah langkah aljabar wajib sebelum pengelompokan.

Apakah nilai x = -5 ini bisa diubah ke bentuk desimal atau pecahan campuran?

Bisa. x = -5 sama dengan -5.0 atau -5/1. Namun, dalam matematika, menyajikan solusi dalam bentuk bilangan bulat seperti ini justru lebih disarankan karena lebih sederhana dan eksak.

Mengapa verifikasi itu penting padahal langkah penyelesaian sudah benar?

Verifikasi adalah pemeriksaan akhir untuk mendeteksi kesalahan hitung kecil yang mungkin terlewat. Ini memastikan solusi benar-benar memenuhi persamaan awal, bukan hasil dari proses yang keliru.

Apakah jenis soal ini sering muncul dalam ujian?

Sangat sering. Soal persamaan linear dengan koefisien pecahan seperti ini adalah materi klasik yang menguji pemahaman dasar aljabar, operasi pecahan, dan ketelitian.