Rumus suku ke‑n serta selisih suku ke‑3 dan ke‑5 adalah kunci utama untuk membuka pola tersembunyi dalam deret aritmatika. Topik ini seringkali muncul sebagai fondasi dalam menyelesaikan soal-soal matematika, mulai dari tingkat sekolah hingga ujian masuk perguruan tinggi. Pemahaman yang mendalam tentang kedua konsep ini tidak hanya memudahkan perhitungan, tetapi juga melatih logika berpikir terstruktur dalam menganalisis suatu barisan bilangan.
Deret aritmatika, dengan karakteristik penambahan nilai yang tetap atau beda (b), menyimpan hubungan matematis yang elegan antar sukunya. Melalui artikel ini, kita akan menelusuri bagaimana rumus suku ke-n (Un) diturunkan, kemudian mengungkap rahasia mengapa selisih antara suku kelima dan suku ketiga selalu menghasilkan nilai yang konstan, yaitu dua kali beda deret tersebut. Penjelasan akan disertai contoh konkret dan tabel perbandingan untuk mempermudah pemahaman.
Dalam matematika, rumus suku ke‑n barisan aritmatika, seperti U n = a + (n-1)b, memungkinkan kita menghitung selisih suku ke‑3 dan ke‑5 dengan presisi. Prinsip keteraturan ini mengingatkan pada fenomena fisika, di mana Mengapa suara permukaan bumi mudah terdengar juga dapat dijelaskan melalui pola rambat gelombang yang teratur di medium padat. Kembali ke konsep awal, pemahaman akan pola dan selisih ini menjadi fondasi untuk menganalisis berbagai deret angka secara sistematis dan akurat.
Konsep Dasar Deret Aritmatika: Rumus Suku Ke‑n Serta Selisih Suku Ke‑3 Dan Ke‑5
Deret aritmatika, atau sering disebut barisan aritmatika, merupakan salah satu konsep matematika yang elegan sekaligus sangat praktis. Ia menggambarkan sebuah barisan bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Kestabilan selisih inilah yang menjadi jantung dari deret aritmatika, membentuk pola linier yang mudah diprediksi. Pemahaman mendasar tentang komponen dan polanya adalah kunci untuk menguasai seluruh perhitungan yang lebih kompleks.
Setiap deret aritmatika dibangun dari dua pilar utama: suku pertama dan beda. Suku pertama, biasanya dilambangkan dengan huruf a, adalah bilangan yang menjadi titik awal barisan. Sementara beda, dilambangkan dengan huruf b, adalah bilangan tetap yang ditambahkan ke suatu suku untuk mendapatkan suku berikutnya. Jika beda positif, barisan akan naik; jika beda negatif, barisan akan turun. Pola bilangan dapat langsung terlihat ketika kita menuliskan beberapa suku pertama.
Misalnya, dari suku pertama 5 dan beda 3, kita akan mendapatkan barisan: 5, 8, 11, 14, 17, dan seterusnya.
Identifikasi Pola dan Contoh Deret
Membedakan deret aritmatika dengan barisan lain memerlukan pemeriksaan terhadap konsistensi beda antar suku. Proses ini melibatkan pengurangan suatu suku dengan suku sebelumnya. Berikut tabel perbandingan untuk memperjelas identifikasi tersebut.
| Barisan Bilangan | Beda (b) | Jenis Deret | Alasan |
|---|---|---|---|
| 2, 5, 8, 11, 14 | 3 (konstan) | Aritmatika | Selisih setiap suku berurutan selalu 3 (5-2=3, 8-5=3, dst). |
| 10, 7, 4, 1, -2 | -3 (konstan) | Aritmatika | Selisih setiap suku berurutan selalu -3 (7-10=-3, 4-7=-3, dst). |
| 1, 4, 9, 16, 25 | 3, 5, 7, 9 (tidak konstan) | Bukan Aritmatika | Selisih antar suku berubah-ubah, mengikuti pola bilangan kuadrat. |
| 3, 6, 12, 24, 48 | 3, 6, 12, 24 (tidak konstan) | Bukan Aritmatika | Selisihnya tidak tetap, barisan ini merupakan deret geometri dengan rasio 2. |
Penurunan dan Penerapan Rumus Suku ke-n
Setelah memahami pola, langkah logis berikutnya adalah merumuskan cara mencari suku ke berapa pun tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya. Rumus suku ke- n (U n) dalam deret aritmatika lahir dari observasi pola berulang. Jika suku pertama adalah a, maka suku kedua adalah a + b, suku ketiga adalah a + 2b, suku keempat adalah a + 3b, dan seterusnya. Dari sini, terlihat bahwa koefisien b selalu satu kurang dari nomor suku ( n).
Rumus umumnya adalah U n = a + (n – 1)b. Rumus ini menjadi alat paling ampuh untuk mengeksplorasi deret aritmatika. Penerapannya bervariasi, mulai dari soal langsung hingga soal cerita yang membutuhkan interpretasi.
Dalam deret aritmetika, rumus suku ke-n (Un = a + (n-1)b) dan selisih suisku ke-3 dan ke-5 yang konstan, menegaskan pola keteraturan. Konsep keteraturan ini juga vital dalam administrasi, seperti pada Faktur: Pengertian dan Fungsinya , yang menjadi bukti transaksi sistematis. Pemahaman kedua konsep ini, baik pola bilangan maupun dokumen, sama-sama mengasah ketelitian dan logika berpikir terstruktur.
Contoh Soal Berbeda Tingkat Kesulitan
Berikut adalah tiga contoh penerapan rumus U n dengan tingkat kerumitan yang meningkat, menunjukkan fleksibilitas rumus ini dalam berbagai skenario.
- Tingkat Dasar: Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama 10 dan beda
4. Tentukan suku ke-15 (U 15). Penyelesaian: U 15 = 10 + (15-1)×4 = 10 + 56 = 66. - Tingkat Menengah: Suku ke-7 suatu barisan aritmatika adalah 33, dan suku ke-14 adalah
68. Tentukan suku pertama dan bedanya. Penyelesaian: Dibutuhkan sistem persamaan dari rumus U 7 = a + 6b = 33 dan U 14 = a + 13b = 68. Dengan mengurangkan kedua persamaan, didapat 7b = 35, sehingga b=5 dan a=33 – 6×5 = 3. - Tingkat Lanjut (Soal Cerita): Sebuah perusahaan menabung untuk investasi. Pada bulan pertama menabung Rp5.000.000,00 dan setiap bulan berikutnya menabung Rp500.000,00 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapakah besar tabungan pada bulan ke-24? Penyelesaian: Ini adalah deret aritmatika dengan a = 5.000.000 dan b = 500.000. U 24 = 5.000.000 + (24-1)×500.000 = 5.000.000 + 11.500.000 = Rp16.500.000,00.
Tips Identifikasi Cepat: Dalam soal cerita, suku pertama ( a) selalu merujuk pada kondisi awal, periode pertama, atau nilai paling depan. Beda ( b) selalu merujuk pada perubahan tetap antar periode, bisa berupa penambahan, pengurangan, kenaikan, atau penurunan yang konsisten. Kuncinya adalah mencari kata “setiap” yang diikuti oleh perubahan bilangan.
Prosedur Menyusun Rumus dari Dua Suku
Ketika diketahui dua suku tertentu, misalnya U p dan U q, kita dapat menyusun rumus U n secara sistematis. Berikut langkah-langkahnya:
- Tuliskan dua persamaan berdasarkan informasi: Up = a + (p-1)b dan U q = a + (q-1)b.
- Eliminasi variabel a dengan mengurangkan kedua persamaan. Hasilnya adalah persamaan dalam variabel b saja: U p
- U q = [(p-1)
- (q-1)]b.
- Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai beda ( b).
- Substitusikan nilai b ke dalam salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai suku pertama ( a).
- Setelah a dan b diketahui, tuliskan rumus umum U n = a + (n-1)b.
Analisis Selisih Antar Suku
Konsep selisih dalam deret aritmatika tidak hanya terbatas pada beda antar suku berurutan. Terdapat hubungan matematis yang kuat dan tetap untuk selisih antara dua suku dengan posisi berapa pun. Hubungan ini muncul karena sifat linier dari rumus U n. Memahami hubungan ini memungkinkan kita menganalisis deret dengan lebih cepat dan efisien, seringkali tanpa perlu mencari nilai a dan b terlebih dahulu.
Secara umum, selisih antara suku ke- k dan suku ke- m (dengan k > m) dapat dinyatakan sebagai U k
-U m = (k – m)b. Rumus ini menunjukkan bahwa selisih dua suku hanya bergantung pada selisih indeksnya dan nilai beda deret.
Selisih Suku ke-5 dan Suku ke-3
Mengapa selisih suku ke-5 (U 5) dan suku ke-3 (U 3) selalu sama dengan 2b? Penjelasannya langsung dari rumus umum. U 5 = a + 4b dan U 3 = a + 2b. Jika kita mengurangkannya: U 5
-U 3 = (a + 4b)
-(a + 2b) = 2b. Variabel a saling menghilang, menyisakan perkalian beda dengan selisih indeks (5-3=2).
Memahami rumus suku ke‑n barisan aritmatika, termasuk cara menghitung selisih suku ke‑3 dan ke‑5, memerlukan logika matematika yang terstruktur. Kemampuan analisis serupa juga diterapkan dalam soal persentase, seperti saat kita mengevaluasi 30% dari 80 sama dengan berapa dari 200. Kembali ke topik awal, prinsip dasar penghitungan selisih suku tersebut sejatinya bertumpu pada pemahaman akan beda barisan yang konstan, sebuah konsep fundamental dalam deret bilangan.
Fenomena ini berlaku universal untuk semua deret aritmatika, terlepas dari nilai suku pertamanya.
Perhitungan demonstratif: Misal suatu deret memiliki a=7 dan b=3. Maka U 3 = 7 + 2×3 = 13 dan U 5 = 7 + 4×3 = 19. Selisihnya 19 – 13 = 6, yang memang sama dengan 2b = 2×3 = 6.
Variasi Contoh Penghitungan Selisih
Tabel berikut menunjukkan konsistensi hubungan U 5
-U 3 = 2b melalui berbagai kombinasi nilai suku pertama ( a) dan beda ( b).
| Suku Pertama (a) | Beda (b) | Nilai U3 | Nilai U5 | U5 – U3 | 2b |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 5 + (2)2 = 9 | 5 + (4)2 = 13 | 4 | 4 |
| -3 | 5 | -3 + (2)5 = 7 | -3 + (4)5 = 17 | 10 | 10 |
| 0 | -4 | 0 + (2)(-4) = -8 | 0 + (4)(-4) = -16 | -8 | -8 |
| 12 | -1.5 | 12 + (2)(-1.5) = 9 | 12 + (4)(-1.5) = 6 | -3 | -3 |
Studi Kasus Terintegrasi
Untuk melihat keterkaitan antara pencarian rumus suku ke- n dan analisis selisih suku, mari kita kaji sebuah studi kasus yang lebih kompleks. Soal cerita seperti ini sering muncul dalam berbagai ujian dan aplikasi praktis, menguji kemampuan pemahaman konseptual dan keterampilan teknis secara bersamaan.
Studi Kasus: Dalam sebuah lomba marathon virtual, seorang pelari menargetkan peningkatan jarak lari harian. Pada hari ke-3, ia berlari sejauh 15 km. Pada hari ke-7, ia berlari sejauh 27 km. Jika pola peningkatannya membentuk deret aritmatika, tentukan: a) Jarak lari pada hari pertama (target awal). b) Selisih jarak lari antara hari ke-10 dan hari ke-6.
Dua Metode Penyelesaian
Kasus ini dapat diselesaikan dengan dua pendekatan yang valid, masing-masing memiliki keunggulan tersendiri.
- Metode Sistem Persamaan (Mencari a dan b):
- Diketahui U3 = 15 → a + 2b = 15.
- Diketahui U 7 = 27 → a + 6b = 27.
- Kurangi persamaan (2) dengan (1): 4b = 12 → b = 3.
- Substitusi b=3 ke persamaan (1): a + 2×3 = 15 → a = 9 km (jarak hari pertama).
- Untuk selisih U 10
-U 6, gunakan rumus selisih umum: (10-6)b = 4b = 4×3 = 12 km.
- Metode Rumus Langsung (Memanfaatkan Selisih):
- Langsung hitung beda dari informasi yang ada: U7
-U 3 = (7-3)b → 27 – 15 = 4b → 12 = 4b → b = 3. - Cari a menggunakan b=3 dan U 3=15: a = U 3
-2b = 15 – 6 = 9 km. - Hitung selisih U 10
-U 6 = (10-6)b = 4×3 = 12 km. Langkah ini sama dengan metode pertama.
- Langsung hitung beda dari informasi yang ada: U7
Kesalahan Umum dalam Penyelesaian
Beberapa kesalahan sering terjadi saat mengerjakan soal terintegrasi seperti studi kasus di atas. Pertama, kesalahan dalam mengindeks rumus, misalnya menulis U 3 = a + 3b, yang seharusnya a + 2b. Kedua, langsung mengasumsikan bahwa selisih jarak yang ditanyakan (U 10
-U 6) sama dengan selisih informasi yang diberikan (U 7
-U 3), tanpa memperhitungkan perbedaan indeks. Ketiga, lupa menyatakan satuan (km) dalam jawaban akhir, yang mengurangi kelengkapan jawaban.
Visualisasi Narasi Masalah, Rumus suku ke‑n serta selisih suku ke‑3 dan ke‑5
Bayangkan sebuah garis bilangan horizontal yang mewakili hari. Di atas hari ke-3, terdapat tiang dengan tinggi 15 satuan. Di atas hari ke-7, terdapat tiang setinggi 27 satuan. Kedua tiang ini dihubungkan oleh sebuah tali lurus yang miring, menggambarkan peningkatan yang konsisten. Tinggi tiang di hari pertama dapat ditemukan dengan memperpanjang garis lurus tersebut ke belakang.
Jarak vertikal antara titik di hari ke-10 dan hari ke-6 pada tali tersebut dapat diukur langsung, yang ternyata sama dengan empat kali kemiringan (beda) tali itu. Narasi ini membantu memvisualisasikan deret aritmatika sebagai sebuah garis lurus dalam koordinat (indeks, nilai suku).
Variasi Soal dan Aplikasi
Penguasaan deret aritmatika menjadi lengkap ketika kita mampu mengolah berbagai bentuk soal dan melihat relevansinya di dunia nyata. Soal bisa dibalik, di mana yang diketahui justru selisih antar suku. Sementara itu, aplikasinya menjangkau bidang keuangan, olahraga, produksi, dan banyak aspek kehidupan dengan pola pertambahan atau pengurangan yang tetap.
Soal dengan Informasi Selisih Dua Suku
Sebagai contoh variasi: Diketahui dalam suatu deret aritmatika, selisih suku ke-5 dan suku ke-3 adalah
14. Suku ke-8 deret tersebut adalah
41. Tentukan rumus suku ke- n. Penyelesaiannya dimulai dari informasi selisih: U 5
-U 3 = 2b = 14, sehingga b = 7. Selanjutnya, gunakan U 8 = 41 → a + 7×7 = 41 → a + 49 = 41 → a = -8.
Jadi, rumus suku ke- n adalah U n = -8 + (n-1)×7 atau U n = 7n – 15.
Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari
Deret aritmatika bukan hanya abstraksi matematika. Ia hadir dalam perencanaan keuangan seperti menabung dengan setoran tetap, menghitung total produksi barang jika kapasitasnya meningkat secara konstan setiap bulan, atau menentukan total biaya sewa dengan kenaikan tahunan yang pasti. Dalam olahraga, ia dapat memodelkan peningkatan beban latihan. Dalam arsitektur, bisa menghitung jumlah bata pada tiap lapisan piramid jika berkurang secara teratur. Intinya, setiap fenomena dengan perubahan nilai yang linear dapat didekati dengan konsep ini.
Latihan Soal Mandiri
Berikut tiga soal untuk melatih pemahaman tentang pencarian rumus U n dan analisis selisih.
- Diketahui suku ke-2 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 11 dan 27. Hitunglah nilai dari U9 – U 4.
- Seorang pedagang meningkatkan penjualan paket data. Pada minggu ke-4 terjual 120 paket dan pada minggu ke-10 terjual 156 paket. Jika peningkatannya aritmatika, berapa selisih penjualan antara minggu ke-15 dan minggu ke-5?
- Dalam deret aritmatika, diketahui U 12U 8 = 20 dan U 5 = 17. Tentukan suku pertama (a) dan suku ke-20 (U 20).
Rumus dan Hubungan Kunci:
1. Rumus Suku ke-n: U n = a + (n – 1)b
2. Beda: b = U n
-U n-1
3. Selisih Dua Suku: U k
-U m = (k – m)b
4. Hubungan Khusus: U 5
-U 3 = 2b
Inti dari semua hubungan ini adalah sifat linear deret aritmatika, di mana setiap suku bergantung secara proporsional pada suku pertama dan kelipatan beda.
Ringkasan Penutup
Dengan demikian, menguasai rumus suku ke-n dan analisis selisih antar suku, khususnya U5 dan U3, memberikan kita pisau bedah yang tajam untuk mengurai berbagai masalah deret aritmatika. Konsep ini jauh lebih dari sekadar hafalan rumus; ia adalah tentang memahami hubungan simetris dan pola pertumbuhan yang konsisten. Mulailah dengan mengidentifikasi suku pertama dan beda, maka seluruh rahasia deret akan terbuka, membuktikan bahwa matematika adalah bahasa yang penuh keindahan dan kepastian.
Pertanyaan yang Sering Muncul
Apakah rumus selisih U5 – U3 = 2b hanya berlaku untuk deret aritmatika naik?
Tidak, rumus tersebut berlaku universal untuk semua deret aritmatika, baik yang naik (b positif) maupun turun (b negatif). Jika b negatif, maka selisihnya akan bernilai negatif, yang tetap konsisten dengan rumus 2b.
Bagaimana jika yang diketahui adalah selisih suku ke-10 dan ke-6, bisakah kita langsung mencari beda (b)?
Ya, bisa. Prinsipnya sama: selisih suku ke-p dan ke-q adalah (p-q) dikali b. Jadi, U10 – U6 = (10-6)b = 4b. Jika nilai selisihnya diketahui, bagilah dengan 4 untuk mendapatkan nilai b.
Dalam soal cerita, bagaimana membedakan mana yang merupakan suku pertama (a) dan mana yang menjadi beda (b)?
Suku pertama (a) selalu merujuk pada nilai awal, kondisi di periode pertama, atau posisi paling awal. Beda (b) adalah perubahan tetap dari satu suku ke suku berikutnya, sering disebut sebagai “tambahan tetap”, “penyusutan tetap”, atau “selisih tetap” antar elemen yang berurutan.
Apakah mungkin sebuah barisan memiliki rumus suku ke-n, tetapi bukan deret aritmatika?
Sangat mungkin. Banyak jenis barisan lain seperti geometri, Fibonacci, atau barisan kuadrat yang juga memiliki rumus suku ke-n. Ciri khas aritmatika adalah selisih dua suku berurutan selalu sama (konstan), dan ini yang harus dicek untuk memastikannya.
