Rumus Suku ke‑n Barisan Aritmetika -8 -12 -16 -20 dan Aplikasinya

Rumus Suku ke‑n Barisan Aritmetika -8, -12, -16, -20 itu seperti kunci rahasia untuk membuka pola tersembunyi di balik deretan angka yang terlihat acak ini. Kalau kita cuma lihat angkanya, mungkin yang terpikir cuma penurunan yang konsisten. Tapi di balik itu, ada struktur matematika yang rapi dan sebuah rumus elegan yang bisa memprediksi suku ke-100, ke-1000, atau bahkan suku mana pun hanya dalam satu langkah hitung.

Mari kita bedah bersama, dari identifikasi pola dasarnya sampai ke penerapan rumusnya dalam berbagai skenario.

Barisan ini adalah contoh klasik barisan aritmetika turun, di mana setiap suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap yang bernilai negatif, yang kita sebut ‘beda’. Untuk barisan -8, -12, -16, -20, suku pertamanya (a) adalah -8 dan bedanya (b) adalah -4. Dengan dua informasi kunci ini, kita sudah bisa membangun rumus umum Un = a + (n-1)b yang kemudian disesuaikan menjadi alat khusus untuk menguak semua nilai dalam barisan ini, membuktikan bahwa matematika seringkali adalah soal menemukan pola dalam kekonstanan.

Pengenalan dan Konsep Dasar Barisan Aritmetika

Dalam matematika, barisan aritmetika adalah salah satu pola bilangan yang paling elegan dan sering kita temui. Barisan ini terdiri dari serangkaian bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih yang tetap inilah yang disebut sebagai “beda” dan menjadi ciri khas utama. Konsep ini tidak hanya abstrak, tetapi sangat aplikatif dalam menghitung bunga tetap, penyusutan nilai barang, atau bahkan pola duduk di sebuah auditorium.

Mari kita ambil barisan yang diberikan: -8, -12, -16, –
20. Dari sini, kita bisa langsung mengidentifikasi dua komponen penting. Suku pertama, dilambangkan dengan ‘a’, adalah –
8. Sementara itu, beda antar suku bisa kita cari dengan mengurangkan suku kedua dengan suku pertama: -12 – (-8) = -4. Hasil yang sama akan kita dapatkan jika mengurangkan suku ketiga dengan suku kedua, yaitu -16 – (-12) = -4.

Dengan demikian, beda (b) dari barisan ini adalah -4.

Identifikasi Suku dan Beda Barisan

Source: kompas.com

Tabel berikut merinci lima suku pertama dari barisan ini, lengkap dengan nilai beda dan pola perhitungannya. Tabel ini membantu memvisualisasikan bagaimana setiap suku terbentuk dari suku sebelumnya dengan menambahkan beda yang konsisten.

Barisan ini dikategorikan sebagai barisan aritmetika karena memenuhi syarat mutlak: memiliki beda yang konstan. Penambahan berulang sebesar -4 ini menciptakan pola penurunan yang teratur. Setiap langkah ke suku berikutnya, nilainya berkurang 4 satuan. Kekonsistenan inilah yang memungkinkan kita merumuskan cara untuk menemukan suku ke-1000 tanpa harus menuliskan 999 suku sebelumnya.

Penurunan Rumus Suku ke-n (Un)

Kekuatan utama mempelajari barisan aritmetika terletak pada kemampuannya untuk memprediksi. Kita tidak perlu bersusah payah menghitung satu per satu untuk menemukan suku yang jauh. Semua itu dimungkinkan berkat sebuah rumus umum yang diturunkan dari pola dasarnya. Proses penurunannya logis dan mengikuti alur berpikir yang sistematis.

Bayangkan kita mulai dari suku pertama, a. Untuk sampai ke suku kedua (U2), kita tambahkan beda (b) sekali: U2 = a + b. Untuk sampai ke suku ketiga (U3), kita tambahkan beda dua kali dari suku pertama: U3 = a + b + b = a + 2b. Pola ini berlanjut: suku keempat (U4) = a + 3b, dan seterusnya.

Perhatikan bahwa jumlah pengali b selalu satu kurang dari nomor suku (n). Dari pengamatan ini, kita sampai pada rumus universal: Un = a + (n – 1)b.

Penerapan Rumus pada Barisan Contoh

Sekarang, kita terapkan rumus umum tersebut ke barisan kita dengan a = -8 dan b = –
4. Maka, rumus suku ke-n untuk barisan -8, -12, -16, -20 adalah: Un = -8 + (n – 1)
– (-4). Rumus ini bisa kita sederhanakan untuk memudahkan perhitungan.

Un = -8 + (n-1)(-4) = -8 -4n + 4 = -4n – 4

Mari kita uji kebenaran rumus ini. Untuk suku ke-5 (n=5), perhitungan manual dari tabel adalah –
24. Dengan rumus: U5 = -4(5)
-4 = -20 – 4 = –
24. Hasilnya cocok. Untuk suku ke-10 yang tidak ada di tabel: U10 = -4(10)
-4 = -40 – 4 = –
44.

Verifikasi cepat: suku ke-5 adalah -24, suku ke-10 adalah 5 suku setelahnya, masing-masing berkurang 4, jadi -24 + (5
– -4) = -24 -20 = -44. Kedua metode memberikan hasil yang identik, membuktikan keandalan rumus.

Aplikasi dan Perhitungan Praktis

Setelah rumus khusus Un = -4n – 4 kita dapatkan, pintu untuk menyelesaikan berbagai masalah praktis pun terbuka. Kita bisa mencari nilai suku yang sangat jauh, mencari posisi suatu nilai dalam barisan, atau menerjemahkannya ke dalam konteks dunia nyata. Kemampuan ini mengubah barisan dari sekadar deretan angka menjadi alat analisis yang berguna.

Sebagai contoh, berapa nilai suku ke-15 dan suku ke-25? Kita tinggal substitusikan nilai n ke dalam rumus. U15 = -4(15)
-4 = -60 – 4 = -64. U25 = -4(25)
-4 = -100 – 4 = –
104. Perhitungan menjadi sangat singkat.

Pertanyaan sebaliknya juga menarik: pada posisi ke berapa (nilai n) suku bernilai -60? Kita selesaikan persamaan -4n – 4 = –
60. Langkahnya: -4n = -56, sehingga n = 14. Artinya, -60 adalah suku ke-14 dari barisan ini.

Strategi Penyelesaian Soal Cerita

Barisan dengan beda negatif seperti ini sering dimodelkan dalam soal cerita tentang penyusutan atau penurunan. Misalnya, sebuah mesin mengalami penyusutan nilai buku sebesar 4 juta rupiah setiap tahun. Jika harga belinya 8 juta rupiah, nilai buku pada tahun ke-n dapat dihitung dengan rumus yang sama. Kuncinya adalah mengidentifikasi suku pertama (nilai awal) dan beda (penurunan periodik), lalu menerjemahkan pertanyaan “tahun ke-n” menjadi “suku ke-n”.

Tabel berikut merangkum beberapa perhitungan kunci berdasarkan rumus yang telah ada.

Visualisasi dan Pola Barisan

Memahami barisan aritmetika akan lebih lengkap jika kita bisa membayangkan bentuk grafisnya. Bayangkan sebuah bidang koordinat Cartesius, dengan sumbu horizontal (x) mewakili nomor suku (n), dan sumbu vertikal (y) mewakili nilai suku (Un). Untuk barisan kita, kita akan memplot titik-titik seperti (1, -8), (2, -12), (3, -16), (4, -20), dan (5, -24).

Jika semua titik ini dihubungkan, mereka akan membentuk sebuah garis lurus yang sempurna. Garis ini menurun dari kiri atas ke kanan bawah, menggambarkan penurunan nilai yang konsisten setiap kali n bertambah 1. Kemiringan garis ini, dalam konsep aljabar, tepat sama dengan nilai beda barisan, yaitu -4. Ini berarti, setiap kali kita bergerak 1 satuan ke kanan pada sumbu n, nilai pada sumbu Un turun sebesar 4 satuan.

Visualisasi ini memperkuat pemahaman bahwa barisan aritmetika merupakan fungsi linear dengan domain bilangan asli.

Analisis Pola dan Kemiringan Grafik, Rumus Suku ke‑n Barisan Aritmetika -8, -12, -16, -20

Pola pertambahan yang sebenarnya di sini adalah pengurangan sebesar
4. Hubungannya dengan beda (b = -4) sangat langsung: beda yang negatif menghasilkan grafik yang menurun, beda yang positif menghasilkan grafik yang naik. Besarnya kemiringan grafik ditentukan oleh nilai absolut dari beda. Beda -4 yang relatif curam menghasilkan garis yang turun dengan cepat dibandingkan dengan, misalnya, beda -1. Dalam konteks barisan kita, pola ini absolut dan dapat diprediksi secara sempurna, yang merupakan keindahan dari matematika.

Variasi Soal dan Pembahasan

Untuk menguasai penerapan rumus barisan aritmetika, berlatih dengan variasi soal adalah kunci. Soal-soal tidak selalu menanyakan Un atau n secara langsung, tetapi bisa dikemas dalam bentuk yang membutuhkan pemahaman konsep lebih mendalam. Berikut beberapa contoh variasi soal beserta pembahasannya.

Contoh 1 (Dasar): Diketahui suku ke-7 dari suatu barisan aritmetika adalah -32 dan suku pertama adalah –
8. Tentukan beda barisannya. Pembahasan: Gunakan rumus Un = a + (n-1)b. U7 = -8 + (7-1)b = -32. Maka, -8 + 6b = -32 → 6b = -24 → b = -4.

Cocok dengan barisan kita.

Contoh 2 (Menengah): Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan ini. Pembahasan: Pertanyaan ini mengarah pada rumus jumlah suku, Sn = n/2
– (2a + (n-1)b) atau n/2
– (a + Un). Kita tahu a=-8, n=10, b=-4, dan U10 = -44 (dari perhitungan sebelumnya). Maka, S10 = 10/2
– (-8 + (-44)) = 5
– (-52) = -260.

Contoh 3 (Analisis): Jika pola barisan -8, -12, -16, -20, … diteruskan, apakah akan ada suku yang bernilai -100? Jika ya, suku ke berapa? Pembahasan: Ini sama dengan mencari n jika Un = -100. Dari perhitungan di tabel aplikasi, kita sudah dapatkan n = 24.

Karena n bulat positif, maka -100 adalah suku ke-24. Jika hasil n bukan bilangan asli, maka nilai tersebut bukan suku dari barisan.

Kesalahan Umum dan Tips Cepat

Beberapa kesalahan sering terjadi, seperti salah tanda pada beda, lupa bahwa (n-1) dikalikan dengan b, atau keliru mengidentifikasi suku pertama. Untuk menghindarinya, beberapa tips ini bisa membantu.

• Selalu tuliskan barisan bilangan secara jelas. Suku pertama adalah bilangan paling depan, bukan yang terbesar atau terkecil.
• Hitung beda dengan rumus: suku mana pun dikurangi suku sebelumnya. Lakukan dua kali untuk memastikan kekonstanannya.
• Perhatikan tanda beda. Beda negatif berarti barisan menurun, beda positif berarti barisan naik.
• Saat mensubstitusi ke rumus Un = a + (n-1)b, tuliskan dulu nilai a, b, dan n yang diketahui sebelum menghitung.

Sebagai perbandingan singkat, jika beda barisan ini diubah menjadi positif +4 (dengan a tetap -8), maka pola barisan akan berubah total menjadi: -8, -4, 0, 4, 8, … Dampaknya, nilai suku-suku berikutnya akan semakin besar dan pada suatu titik menjadi positif. Ini menunjukkan bagaimana peran beda sangat sentral dalam menentukan karakter dan arah dari sebuah barisan aritmetika.

Ringkasan Penutup

Jadi, setelah mengulik lebih dalam, barisan -8, -12, -16, -20 ini lebih dari sekadar angka yang semakin kecil. Ia adalah sebuah sistem yang terprediksi, sebuah bukti bahwa kekontinuan dan pola adalah inti dari banyak hal. Menguasai rumus suku ke-n barisan aritmetika bukan cuma untuk menjawab soal ujian, tapi juga melatih logika kita dalam melihat keteraturan di dunia yang tampak kompleks.

Dengan rumus Un = -4n – 4 di tangan, kamu sekarang punya kemampuan untuk melompati suku-suku, menebak nilai di posisi jauh, dan menyelesaikan puzzle matematika dengan lebih percaya diri. Ingat, begitu pola dasarnya ketahuan, sisanya tinggal permainan substitusi yang rapi.

FAQ Terperinci: Rumus Suku Ke‑n Barisan Aritmetika -8, -12, -16, -20

Apakah beda barisan aritmetika selalu negatif?

Tidak. Beda (b) bisa positif (barisan naik), negatif (barisan turun), atau bahkan nol (barisan konstan). Pada contoh ini, b = -4, menandakan barisan turun.

Bagaimana jika saya lupa rumus Un = a + (n-1)b? Bisakah menurunkannya lagi?

Bisa. Ingatlah bahwa suku kedua (U2) = a + b, suku ketiga (U3) = a + b + b = a + 2b. Polanya, suku ke-n adalah a ditambah dengan b sebanyak (n-1) kali. Dari situlah rumus Un = a + (n-1)b muncul.

Apakah rumus ini bisa dipakai untuk mencari suku pertama atau beda jika suku lain diketahui?

Sangat bisa. Rumus ini adalah persamaan linear. Jika kamu tahu Un dan n untuk dua suku berbeda, kamu bisa membuat sistem persamaan untuk mencari nilai a dan b yang belum diketahui.

Dalam konteks dunia nyata, barisan turun seperti ini menggambarkan apa?

Bisa menggambarkan banyak hal, seperti penyusutan nilai aset tetap (depresiasi) setiap tahun, penurunan kedalaman sumur bor per jam pengeboran, atau pengurangan stok barang yang terjual dengan jumlah tetap per hari.

Mengapa penting menghafal rumus khusus untuk barisan tertentu seperti Un = -4n – 4?

Kamu tidak perlu menghafalnya. Yang penting adalah memahami cara menurunkannya dari rumus umum. Setelah bisa, kamu dapat dengan cepat membuat rumus khusus untuk barisan apa pun hanya dengan mengetahui a dan b, yang mempercepat perhitungan berulang.