Tentukan Pusat dan Jari‑Jari Lingkaran a serta b, terdengar seperti misi rahasia dalam pelajaran matematika, bukan? Tapi tenang, misi ini sebenarnya lebih mudah daripada mencari remote TV yang hilang. Kita akan membongkar semua kode rahasia yang tersembunyi di balik huruf dan angka dalam persamaan lingkaran, mengubah yang terlihat rumit menjadi peta harta karun yang mudah dibaca.
Pada dasarnya, setiap lingkaran punya alamat dan ukuran, yang kita sebut pusat (h,k) dan jari-jari (r). Artikel ini akan jadi panduan utama untuk menguaknya, mulai dari bentuk persamaan yang paling bersahabat hingga yang suka menyamar. Kita akan jelajahi cara membaca langsung dari bentuk baku, teknik sulap “melengkapi kuadrat sempurna” untuk bentuk umum, sampai mengenali ciri-ciri persamaan yang sebenarnya bukan lingkaran.
Siapkan pensil dan kertas, karena perjalanan memahami lingkaran ini akan lebih seru dari yang dibayangkan.
Pengertian Dasar Persamaan Lingkaran
Sebelum kita menyelam lebih dalam ke dalam cara menentukan pusat dan jari-jari, ada baiknya kita sepakati dulu bahasa yang digunakan. Dalam matematika, lingkaran adalah kumpulan semua titik yang berjarak sama dari satu titik tertentu. Titik tetap itu kita sebut pusat lingkaran, dan jarak yang sama itu adalah jari-jari. Persamaan matematisnya adalah cara kita menerjemahkan definisi geometris ini ke dalam bahasa aljabar yang bisa kita olah.
Bentuk paling sederhana dan intuitif adalah persamaan baku. Bayangkan sebuah lingkaran dengan pusat di titik (h, k) dan jari-jari sepanjang r. Berdasarkan definisi, jarak antara titik pusat (h, k) dengan sembarang titik (x, y) pada lingkaran haruslah r. Dengan rumus jarak, kita peroleh bentuk dasarnya: (x – h)² + (y – k)² = r². Di sini, h dan k adalah koordinat pusat, sementara r adalah panjang jari-jari.
Nilai r selalu positif.
Sementara itu, dalam banyak soal, persamaan lingkaran muncul dalam bentuk yang lebih “berantakan”, yaitu x² + y² + Ax + By + C = 0. Ini disebut bentuk umum. Koefisien A, B, dan konstanta C ini menyimpan informasi rahasia tentang pusat dan jari-jari. Untuk mengungkapnya, kita perlu melakukan sedikit siasat aljabar yang disebut melengkapi kuadrat sempurna. Ada juga bentuk parametrik, yang menggambarkan koordinat x dan y menggunakan sudut sebagai variabel bantu, sangat berguna dalam aplikasi fisika dan teknik.
Berikut perbandingan ketiga bentuk persamaan lingkaran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas.
| Nama Bentuk | Persamaan | Keterangan Variabel | Kelebihan |
|---|---|---|---|
| Baku (Standar) | (x – h)² + (y – k)² = r² | (h, k) = pusat, r = jari-jari | Pusat dan jari-jari langsung terlihat. |
| Umum (Eksplisit) | x² + y² + Ax + By + C = 0 | A, B, C adalah konstanta bilangan real. | Bentuk yang sering muncul dari hasil operasi aljabar. |
| Parametrik | x = h + r cos θ, y = k + r sin θ | θ (theta) adalah parameter sudut (0 ≤ θ < 2π). | Mudah untuk menggambar titik per titik dan memodelkan gerakan melingkar. |
Menentukan Pusat dan Jari-Jari dari Bentuk Baku
Ini adalah bagian yang paling menyenangkan. Jika kamu sudah diberikan persamaan dalam bentuk baku, tugasmu hampir selesai. Prosesnya lebih mirip membaca pola daripada menghitung. Tantangannya seringkali hanya pada tanda minus dan plus di dalam kurung.
Prinsipnya sederhana: pusat lingkaran adalah kebalikan dari angka yang mengiringi x dan y di dalam kurung, sedangkan jari-jari adalah akar kuadrat dari bilangan di sebelah kanan tanda sama dengan. Perhatikan baik-baik, bentuknya harus persis (x – h)² + (y – k)² = r². Jika tandanya plus, seperti (x + 4)², itu artinya kita menulis (x – (-4))², sehingga h = -4.
Prosedur Singkat: 1. Identifikasi nilai h dan k dari bentuk (x – h)² dan (y – k)². Ingat, tanda di depan h dan k di dalam kurung adalah kebalikan dari yang terlihat. 2. Nilai r² adalah bilangan di ruas kanan. Jari-jari r adalah akar kuadrat dari bilangan tersebut (ambil nilai positif).
Mari kita uji pemahaman dengan beberapa contoh yang tingkat kerumitannya bertahap.
Contoh Soal dan Penyelesaian Bentuk Baku
Berikut adalah tiga contoh soal yang menunjukkan bagaimana aturan sederhana itu diterapkan, bahkan pada persamaan yang terlihat sedikit berbeda.
- Contoh 1 (Dasar): Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x – 5)² + (y + 2)² = 9.
- Dari (x – 5)², kita dapat h = 5.
- Dari (y + 2)², kita tulis sebagai (y – (-2))², sehingga k = -2.
- Bilangan di ruas kanan adalah 9, yang merupakan r². Jadi, r = √9 = 3.
- Hasil: Pusat (5, -2), Jari-jari = 3.
- Contoh 2 (Koefisien 1): Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x + 1)² + (y – 3)² = 16.
- (x + 1)² sama dengan (x – (-1))², jadi h = -1.
- Dari (y – 3)², jelas k = 3.
- r² = 16, maka r = √16 = 4.
- Hasil: Pusat (-1, 3), Jari-jari = 4.
- Contoh 3 (Bentuk Setara): Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + (y – 4)² = 7.
- Perhatikan x² bisa ditulis sebagai (x – 0)². Jadi, h = 0.
- Dari (y – 4)², kita dapat k = 4.
- r² = 7, sehingga jari-jari r = √7.
- Hasil: Pusat (0, 4), Jari-jari = √7.
Mengubah Persamaan Umum ke Bentuk Baku
Kehidupan tidak selalu memberi kita persamaan dalam bentuk yang rapi. Seringkali, kita bertemu dengan bentuk umum: x² + y² + Ax + By + C = 0. Di sinilah keterampilan aljabar kita diuji. Teknik intinya adalah melengkapi kuadrat sempurna. Teknik ini intinya memanipulasi suku-suku yang mengandung x dan y agar bisa difaktorkan menjadi bentuk kuadrat sempurna seperti (x – h)².
Langkah-langkahnya sistematis. Pertama, pastikan koefisien x² dan y² sudah 1. Kemudian, kumpulkan suku-suku yang mengandung x, suku-suku yang mengandung y, dan pindahkan konstanta C ke ruas kanan. Lalu, untuk kelompok x dan y secara terpisah, kita tambahkan suatu bilangan spesifik agar menjadi kuadrat sempurna. Bilangan itu adalah kuadrat dari setengah koefisien x atau y.
Ingat, apa yang ditambahkan di ruas kiri, harus juga ditambahkan di ruas kanan.
Proses Melengkapi Kuadrat Sempurna
Mari kita ikuti proses ini dengan contoh konkret: Ubah persamaan x² + y²
-6x + 4y – 3 = 0 ke bentuk baku, lalu tentukan pusat dan jari-jarinya.
- Pisahkan dan Siapkan: Kelompokkan suku x dan y: (x²6x) + (y² + 4y) = 3. Kita pindahkan -3 ke kanan menjadi +3.
- Lengkapi Kuadrat untuk x: Koefisien x adalah -Setengahnya adalah -3, kuadratnya adalah
-
9. Tambahkan 9 di dalam kelompok x. Secara matematis
(x²
- 6x + 9).
-
- Lengkapi Kuadrat untuk y: Koefisien y adalah Setengahnya adalah 2, kuadratnya adalah
4. Tambahkan 4 di dalam kelompok y
Nah, kalau lagi pusing menentukan pusat dan jari-jari lingkaran a serta b dari persamaan yang ruwet, jangan langsung nyerah. Ada trik rahasia yang bisa bikin kamu paham dalam sekejap, dan semua itu dijelaskan dengan gamblang di Cara Membantu No 19-20. Setelah baca itu, kamu bakal lebih percaya diri buat nyelesein soal-soal serupa dan akhirnya bisa nentuin titik pusat sama panjang jari-jari lingkaran itu dengan tepat.
(y² + 4y + 4).
- Jaga Keseimbangan: Karena kita menambahkan 9 dan 4 di ruas kiri, kita HARUS menambahkan 9 dan 4 juga di ruas kanan. Persamaannya menjadi: (x²
6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 3 + 9 + 4.
- Faktorkan: Sekarang setiap kelompok adalah kuadrat sempurna: (x – 3)² + (y + 2)² = 16.
- Bacakan Hasil: Dari bentuk baku ini, langsung kita baca: pusat di (3, -2) dan jari-jari r = √16 = 4.
Tabel berikut merangkum transformasi yang terjadi pada contoh di atas.
| Langkah | Bentuk Persamaan | Kelompok x | Kelompok y | Ruas Kanan |
|---|---|---|---|---|
| Awal (Umum) | x² + y²
|
x² – 6x | y² + 4y | 3 |
| Setelah Ditambah Bilangan | (x²
|
x² – 6x + 9 | y² + 4y + 4 | 3 + 9 + 4 |
| Akhir (Baku) | (x – 3)² + (y + 2)² = 16 | (x – 3)² | (y + 2)² | 16 (r²) |
Analisis Kondisi Khusus dan Contoh Penerapan
Tidak semua persamaan yang mirip x² + y² + Ax + By + C = 0 akan menghasilkan lingkaran yang valid. Ada kondisi yang harus dipenuhi, dan memahami ini akan mencegah kita mencari pusat dan jari-jari dari sesuatu yang sebenarnya bukan lingkaran. Selain itu, posisi lingkaran di bidang koordinat juga bisa kita prediksi dari nilai pusat dan jari-jarinya.
Pertama, soal koefisien. Jika koefisien x² dan y² sama tetapi bukan 1, misalnya 2x² + 2y² + … = 0, kita bisa mulai dengan membagi seluruh persamaan dengan koefisien tersebut untuk menormalkannya menjadi 1. Jika koefisiennya berbeda, misalnya 3x² + 2y², maka itu bukan persamaan lingkaran, melainkan elips.
Ciri Persamaan Bukan Lingkaran
Setelah kita berhasil mengubah bentuk umum ke bentuk baku, kita akan mendapatkan (x – h)² + (y – k)² = suatu nilai. Nilai di ruas kanan ini krusial. Karena ruas kiri adalah jumlah dua kuadrat yang selalu bernilai positif atau nol, maka ruas kanan harus juga positif atau nol.
- Jika hasilnya bilangan positif (misalnya, = 25), maka kita punya lingkaran nyata dengan jari-jari √25 = 5.
- Jika hasilnya nol (misalnya, = 0), maka lingkaran merosot menjadi sebuah titik tunggal, yaitu titik pusat (h, k) itu sendiri. Jari-jarinya 0.
- Jika hasilnya bilangan negatif (misalnya, = -10), maka tidak ada titik (x, y) di bidang kartesius yang memenuhi persamaan. Kuadrat real tidak mungkin bernilai negatif. Ini disebut lingkaran imajiner.
Posisi Lingkaran terhadap Sumbu Koordinat
Dengan mengetahui pusat (h, k) dan jari-jari r, kita bisa mendeskripsikan posisi lingkaran tanpa harus menggambarnya secara detail. Misalnya, jika pusatnya di (0,0), itu adalah lingkaran yang konsentris (sepusat) dengan titik asal. Jika h = 0, pusat berada di sumbu-Y, sehingga lingkaran simetris terhadap sumbu-Y. Jika k = 0, pusat di sumbu-X. Jika r sama dengan nilai absolut h, lingkaran akan menyinggung sumbu-Y.
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran a serta b itu seperti memahami pola gerak yang tersembunyi. Gerak tak melulu soal berpindah tempat, seperti halnya tumbuhan yang punya caranya sendiri untuk bergerak. Penasaran apa saja Kriteria Tumbuhan Dikatakan Bergerak ? Nah, setelah tahu kriteria itu, kita jadi lebih apresiatif terhadap kompleksitas alam. Kembali ke lingkaran, memahami titik pusat dan jarak tetapnya memberi kita fondasi untuk menganalisis bentuk dan persamaan matematika lainnya dengan lebih percaya diri.
Sebaliknya, jika r sama dengan nilai absolut k, lingkaran menyinggung sumbu-X. Bayangkan sebuah lingkaran dengan pusat (3, -4) dan r = 4. Karena |h| = 3 dan r = 4, maka lingkaran memotong sumbu-Y. Karena |k| = 4 dan r = 4, lingkaran tepat menyinggung sumbu-X di titik (3, 0).
Latihan Soal Terpadu dan Pembahasan
Source: peta-hd.com
Sekarang, waktunya mengonsolidasikan semua yang telah dipelajari. Tiga soal di bawah ini sengaja dirancang dalam bentuk yang berbeda-beda, mulai dari yang langsung hingga yang perlu sedikit strategi. Cobalah kerjakan sendiri sebelum melihat pembahasannya.
Soal Latihan Gabungan, Tentukan Pusat dan Jari‑Jari Lingkaran a serta b
- Soal 1 (Campuran): Diberikan persamaan lingkaran 2x² + 2y²12x + 8y + 18 = 0. Tentukan pusat dan jari-jarinya.
- Soal 2 (Bentuk Lain): Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan x² + y² = 10x – 6y – 2.
- Soal 3 (Analisis): Selidiki apakah persamaan x² + y²4x + 6y + 15 = 0 merepresentasikan sebuah lingkaran. Jika ya, tentukan pusat dan jari-jarinya. Jika tidak, jelaskan alasannya.
Pembahasan Lengkap
Mari kita bahas satu per satu dengan trik yang efisien.
- Pembahasan Soal 1:
- Langkah pertama, koefisien x² dan y² adalah
2. Bagi seluruh persamaan dengan 2: x² + y²
-6x + 4y + 9 = 0. - Kelompokkan: (x²
-6x) + (y² + 4y) = -9. - Lengkapi kuadrat: Untuk x: (-6/2)² =
9. Untuk y: (4/2)² = 4. - Tambahkan ke kedua ruas: (x²
-6x + 9) + (y² + 4y + 4) = -9 + 9 + 4. - Faktorkan: (x – 3)² + (y + 2)² = 4.
- Hasil akhir:
Pusat: (3, -2)
Jari-jari: r = √4 = 2
Grafik singkat: Lingkaran dengan pusat di (3, -2), memotong sumbu-Y dan berada di bawah sumbu-X.
- Langkah pertama, koefisien x² dan y² adalah
- Pembahasan Soal 2:
- Persamaan ini tidak dalam bentuk baku atau umum standar. Langkah pertama adalah menyusunnya ke bentuk umum dengan memindahkan semua suku ke satu ruas: x² + y²
-10x + 6y + 2 = 0. - Sekarang kita punya bentuk umum: x² + y²
-10x + 6y + 2 =
0. Pindahkan konstanta: (x²
-10x) + (y² + 6y) = -2. - Lengkapi kuadrat: Untuk x: (-10/2)² =
25. Untuk y: (6/2)² = 9. - Tambahkan: (x²
-10x + 25) + (y² + 6y + 9) = -2 + 25 + 9. - Faktorkan: (x – 5)² + (y + 3)² = 32.
- Hasil akhir:
Pusat: (5, -3)
Jari-jari: r = √32 = 4√2 ≈ 5.66
Grafik singkat: Lingkaran dengan pusat di (5, -3), jari-jari cukup besar sehingga memotong keempat kuadran di sekitar pusatnya.
- Persamaan ini tidak dalam bentuk baku atau umum standar. Langkah pertama adalah menyusunnya ke bentuk umum dengan memindahkan semua suku ke satu ruas: x² + y²
- Pembahasan Soal 3:
- Kita langsung proses dengan melengkapi kuadrat: (x²
-4x) + (y² + 6y) = -15. - Lengkapi: Untuk x: (-4/2)² =
4. Untuk y: (6/2)² = 9. - Tambahkan: (x²
-4x + 4) + (y² + 6y + 9) = -15 + 4 + 9. - Faktorkan: (x – 2)² + (y + 3)² = -2.
- Di sini kita menemukan masalah. Ruas kanan bernilai -2 (negatif). Jumlah dua kuadrat tidak mungkin negatif.
- Hasil akhir:
Bukan representasi lingkaran nyata.
Alasan: Setelah dibawa ke bentuk baku, ruas kanan persamaan bernilai negatif (r² = -2). Tidak ada titik di bidang kartesius yang memenuhi persamaan tersebut. Persamaan ini merepresentasikan sebuah lingkaran imajiner.
- Kita langsung proses dengan melengkapi kuadrat: (x²
Kesimpulan
Jadi, begitulah ceritanya. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran itu bukan lagi teka-teki yang bikin pusing, melainkan semacam permainan decoding yang memuaskan. Setelah melalui tahap mengenali pola, menyempurnakan kuadrat, dan menganalisis syarat, kamu sekarang punya kunci untuk membuka koordinat dan ukuran dari setiap lingkaran yang ditemui. Ingat, intinya ada pada ketelitian dan memahami alur kerjanya. Coba praktikkan langsung pada soal-soal latihan, karena di situlah semua teori yang sudah dipelajari akan benar-benar hidup dan melekat.
Selamat berhitung, dan semoga setiap lingkaran yang kamu temui selalu memiliki jari-jari yang jelas dan pusat yang pasti!
FAQ Terkini: Tentukan Pusat Dan Jari‑Jari Lingkaran A Serta B
Bagaimana jika dalam persamaan umum, koefisien x² dan y² tidak sama dengan 1?
Langkah pertama adalah membagi seluruh persamaan dengan koefisien tersebut agar menjadi 1, baru kemudian melanjutkan dengan metode melengkapi kuadrat sempurna seperti biasa.
Apa yang terjadi jika setelah melengkapi kuadrat sempurna, nilai r² yang didapatkan adalah bilangan negatif?
Jika r² bernilai negatif, maka persamaan tersebut tidak merepresentasikan lingkaran nyata dalam geometri. Tidak ada titik yang memenuhi persamaan tersebut untuk membentuk lingkaran di bidang koordinat.
Apakah mungkin sebuah persamaan lingkaran hanya memiliki pusat di salah satu sumbu, misalnya di sumbu X saja?
Sangat mungkin. Itu terjadi ketika salah satu koordinat pusatnya bernilai nol. Contoh, pusat (5, 0) berarti lingkaran berpusat pada sumbu X, tepatnya di titik x=5.
Adakah cara cepat mengecek apakah suatu persamaan berbentuk umum adalah lingkaran tanpa menghitung lengkap?
Ada indikator awalnya: koefisien x² dan y² harus sama (setelah dinormalisasi), dan setelah melalui proses melengkapi kuadrat, hasilnya harus memenuhi syarat r² > 0. Jika tidak, itu bukan lingkaran.
