Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan jari‑jari 7. Kalimat itu mungkin terdengar seperti kode rahasia atau rumus ajaib dari pelajaran matematika yang bikin dahi mengernyit. Tapi percayalah, di balik angka dan koordinat itu ada sebuah cerita tentang simetri yang sempurna, tentang semua titik yang setia menjaga jarak yang sama dari sang pusat. Mari kita buka bersama-sama petunjuk untuk menuliskan cerita geometris itu ke dalam bahasa aljabar yang elegan.
Pada dasarnya, kita sedang akan menjahit bingkai matematis untuk sebuah bentuk yang sangat akrab: lingkaran. Dengan pusat yang sudah ditentukan di titik (2, -5) dan jari-jari sepanjang 7 unit, tugas kita adalah merumuskan aturan main yang akan dipatuhi oleh setiap titik yang menjadi anggota lingkaran ini. Prosesnya lebih sederhana dari yang dibayangkan, hanya membutuhkan pemahaman pada rumus baku dan ketelitian dalam mensubstitusi angka-angka yang ada.
Pengertian dan Konsep Dasar Persamaan Lingkaran
Dalam geometri analitik, lingkaran bukan lagi sekadar gambar bundar. Ia didefinisikan secara presisi sebagai himpunan semua titik pada bidang datar yang memiliki jarak yang sama terhadap satu titik tertentu. Titik tetap itu disebut pusat lingkaran, sementara jarak yang konstan itu adalah jari-jari. Konsep inilah yang memungkinkan kita menjebak keindahan bentuk lingkaran ke dalam belitan rumus aljabar, sehingga kita bisa menganalisisnya dengan lebih keren.
Persamaan lingkaran lahir dari penerapan langsung rumus jarak antara dua titik. Jika pusat lingkaran adalah titik (a, b) dan jari-jarinya adalah r, maka untuk sembarang titik (x, y) yang berada tepat di keliling lingkaran, berlaku hubungan: jarak antara (x, y) dan (a, b) sama dengan r. Dari sinilah kita mendapatkan bentuk baku persamaan lingkaran. Sementara itu, bentuk umumnya adalah hasil dari mengembangkan bentuk baku tersebut.
Bentuk Baku dan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Dua bentuk persamaan ini adalah senjata utama. Bentuk baku memberikan informasi pusat dan jari-jari secara langsung, seperti barcode yang mudah dipindai. Bentuk umum, meski terlihat lebih ramai, adalah bentuk yang sering muncul dalam soal-soal gabungan, misalnya saat mencari titik potong dengan garis. Memahami hubungan keduanya adalah kunci untuk menguasai materi ini.
(x – a)² + (y – b)² = r²
Itulah bentuk bakunya. Variabel (a, b) adalah koordinat pusat lingkaran, dan r adalah panjang jari-jarinya. Kalau kita jabarkan kuadrat tersebut, kita akan mendapatkan bentuk umum: x² + y² + Ax + By + C = 0, di mana A, B, dan C adalah konstanta bilangan real. Perlu dicatat, tidak semua persamaan dengan bentuk mirip seperti itu mewakili lingkaran nyata; syarat tertentu harus dipenuhi.
| Bentuk Persamaan | Contoh | Pusat (a, b) | Jari-jari (r) |
|---|---|---|---|
| Bentuk Baku | (x – 5)² + (y + 3)² = 16 | (5, -3) | 4 |
| Bentuk Umum | x² + y²
|
(5, -3) | 4 |
| Bentuk Baku | x² + (y – 1)² = 7 | (0, 1) | √7 |
| Bentuk Umum | x² + y²
|
(0, 1) | √7 |
Menyusun Persamaan Lingkaran dari Pusat dan Jari-Jari
Source: amazonaws.com
Ini adalah level paling fundamental. Jika kamu sudah memegang kunci berupa koordinat pusat dan panjang jari-jari, menuliskan persamaannya adalah urusan substitusi yang sederhana. Proses ini mirip dengan memasukkan resep yang sudah jelas ke dalam mixer. Mari kita praktekkan langsung dengan data yang diberikan: pusat (2, -5) dan jari-jari 7.
Nah, kalau elo udah bisa nentuin persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan jari‑jari 7, berarti logika matematika elo udah jalan. Konsep perhitungan yang rapi ini juga kunci di fisika, kayak saat ngitung Energi Potensial Benda Harmonik 100 g, Amplitudo 10 cm, Frekuensi 10 Hz pada Simpangan 0,05 m. Sama kayak lingkaran yang punya pusat tetap, gerak harmonik punya titik setimbang. Jadi, setelah ngerti energi potensialnya, balik lagi deh ke soal lingkaran tadi, pastiin elo nggak salah masukin angka ke rumus (x-2)² + (y+5)² = 49.
Langkah-langkah Penulisan Persamaan
Pertama, ingat kembali bentuk baku: (x – a)² + (y – b)² = r². Pusat (a, b) adalah (2, -5). Perhatikan tanda. Karena bentuknya adalah (x – a), maka nilai a=2 kita masukkan menjadi (x – 2). Untuk koordinat b=-5, kita masukkan menjadi (y – (-5)) atau (y + 5).
Jari-jari r=7, sehingga r² = 49. Substitusi semua nilai ini ke dalam rumus.
- Rumus baku: (x – a)² + (y – b)² = r²
- Substitusi pusat (2, -5): (x – 2)² + (y – (-5))² = 7²
- Sederhanakan: (x – 2)² + (y + 5)² = 49
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat (2, -5) dan jari-jari 7 adalah (x – 2)² + (y + 5)² = 49. Selesai. Untuk menguji pemahaman, coba kerjakan beberapa variasi soal berikut.
- Pusat (0, 0) dan jari-jari 5: Persamaannya adalah x² + y² = 25.
- Pusat (-1, 4) dan jari-jari 3: Persamaannya adalah (x + 1)² + (y – 4)² = 9.
- Pusat (6, 0) dan jari-jari √2: Persamaannya adalah (x – 6)² + y² = 2.
Tips Penting: Hati-hati dengan tanda minus pada koordinat pusat. Koordinat pusat (a, b) disubstitusi ke dalam bentuk (x – a) dan (y – b). Jika b bernilai negatif, misalnya -5, maka menjadi (y – (-5)) = (y + 5). Kesalahan tanda adalah hal yang paling sering terjadi. Selalu tuliskan rumus bakunya dulu sebelum substitusi.
Visualisasi dan Interpretasi Geometris
Angka (2, -5) dan 7 bukan sekadar bilangan. Mereka adalah cerita tentang sebuah lokasi dan jangkauan di bidang koordinat. Memvisualisasikannya akan membuat konsep ini hidup dan lebih mudah dipahami. Bayangkan kamu seorang kartografer yang sedang menandai wilayah dengan radius tertentu di sekitar sebuah titik penting.
Posisi Lingkaran pada Bidang Koordinat
Pusat lingkaran berada di titik (2, -5). Itu artinya, dari titik nol (0,0), kita bergerak 2 satuan ke kanan dan 5 satuan ke bawah. Dari titik itu, dengan jari-jari 7 satuan, kita lukiskan semua titik yang berjarak sama. Hasilnya adalah sebuah lingkaran besar yang sebagian besar wilayahnya berada di kuadran IV (kanan bawah), tetapi juga menyentuh kuadran I, III, dan mungkin sumbu-sumbu koordinat.
Lingkaran ini akan memotong sumbu vertikal (sumbu-y) ketika nilai x=0, dan memotong sumbu horizontal (sumbu-x) ketika nilai y=
0. Untuk mengetahui titik potongnya, kita substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan. Misal, potong sumbu-y (x=0): (0-2)² + (y+5)² = 49 -> 4 + (y+5)² = 49 -> (y+5)² = 45. Ini menghasilkan dua titik di sumbu-y karena y+5 = √45 atau y+5 = -√45.
Artinya, lingkaran memotong sumbu-y di dua titik. Hal serupa bisa kita lakukan untuk mencari titik potong dengan sumbu-x.
Titik-titik Ujung Lingkaran
Titik ujung adalah titik paling kiri, kanan, atas, dan bawah pada lingkaran. Titik-titik ini mudah ditemukan jika kita tahu pusat dan jari-jari. Kita cukup menambahkan atau mengurangi jari-jari dari koordinat pusat secara vertikal atau horizontal.
| Posisi | Cara Menentukan | Koordinat Titik |
|---|---|---|
| Titik Terkanan | Pusat ditambah r secara horizontal: (2+7, -5) | (9, -5) |
| Titik Terkiri | Pusat dikurang r secara horizontal: (2-7, -5) | (-5, -5) |
| Titik Teratas | Pusat ditambah r secara vertikal: (2, -5+7) | (2, 2) |
| Titik Terbawah | Pusat dikurang r secara vertikal: (2, -5-7) | (2, -12) |
Transformasi Bentuk Umum ke Bentuk Baku: Tentukan Persamaan Lingkaran Dengan Pusat (2,-5) Dan Jari‑jari 7
Seringkali, persamaan lingkaran diberikan dalam bentuk umum yang berantakan. Tugas kita adalah menguraikannya, menemukan pusat dan jari-jari yang tersembunyi di balik tumpukan suku-suku aljabar. Tekniknya adalah melengkapkan kuadrat sempurna. Ini seperti merapikan kamar yang berantakan; kita kelompokkan barang-barang berdasarkan jenisnya lalu menyusunnya dengan rapi.
Prosedur Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Misalkan kita punya persamaan umum: x² + y²
-4x + 10y + 13 = 0. Langkah pertama, kelompokkan suku-suku x dan y, dan pindahkan konstanta ke ruas kanan. Kemudian, untuk kelompok x dan kelompok y, kita tambahkan suatu bilangan tertentu agar menjadi bentuk kuadrat sempurna (x – a)² dan (y – b)². Bilangan yang ditambahkan ini harus juga ditambahkan ke ruas kanan agar kesetaraan tetap terjaga.
| Langkah Kunci | Proses Aljabar | Hasil |
|---|---|---|
| Pengelompokan | (x²
|
Konstanta dipindah. |
| Menyiapkan Kuadrat | Untuk x²4x, tambah (4/2)² = 4. Untuk y² + 10y, tambah (10/2)² = 25. | Di dalam kelompok, siapkan penambahan. |
| Melengkapi & Menyeimbangkan | (x²
|
Tambahkan angka yang sama ke kedua ruas. |
| Bentuk Akhir | (x – 2)² + (y + 5)² = 16 | Ini adalah bentuk baku. |
Dari bentuk baku (x – 2)² + (y + 5)² = 16, langsung kita baca pusatnya di (2, -5) dan jari-jarinya √16 = 4. Proses ini terlihat panjang, tapi dengan latihan, kamu akan bisa melakukannya dengan sangat cepat.
Aplikasi dan Variasi Soal Terkait
Persamaan lingkaran jarang berdiri sendiri. Ia sering bersinggungan dengan konsep lain, seperti kedudukan titik dan garis. Kemampuan mengidentifikasi posisi sebuah titik terhadap lingkaran, atau menentukan garis yang hanya menyentuh lingkaran di satu titik, adalah aplikasi yang sangat berguna, misalnya dalam pemrograman grafis atau perhitungan geometri teknik.
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran, Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan jari‑jari 7
Diberikan lingkaran dengan pusat (2,-5) dan r=7 (persamaan: (x-2)²+(y+5)²=49). Untuk mengecek apakah titik P(10, -5) berada di dalam, di luar, atau tepat pada lingkaran, kita hitung jarak titik P ke pusat lingkaran, lalu bandingkan dengan jari-jari. Cara cepatnya: substitusi koordinat P ke ruas kiri persamaan, bandingkan hasilnya dengan r² (49).
Jarak kuadrat = (10-2)² + (-5+5)² = 8² + 0² = 64.
Karena 64 > 49, maka jarak titik P ke pusat (> r), sehingga titik P terletak di luar lingkaran. Jika hasilnya sama dengan 49, titik tepat pada lingkaran. Jika kurang dari 49, titik berada di dalam lingkaran.
Menentukan Jari-jari Jika Diketahui Pusat dan Sebuah Titik
Soal ini membalik logika. Misal, diketahui pusat lingkaran (2, -5) dan lingkaran melalui titik (-1, 1). Jari-jari lingkaran tidak lain adalah jarak antara kedua titik tersebut. Jadi, kita hitung saja menggunakan rumus jarak: r = √[( -1 – 2 )² + ( 1 – (-5) )²] = √[(-3)² + (6)²] = √(9+36) = √45 = 3√
5. Persamaan lingkarannya tinggal kita susun: (x – 2)² + (y + 5)² = (3√5)² = 45.
Konsep Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Garis ini memiliki sifat istimewa: ia tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgungnya. Jika diketahui lingkaran (x-2)²+(y+5)²=49 dan titik singgung T(9, -5) yang merupakan titik ujung kanan lingkaran, maka garis singgungnya adalah garis vertikal yang melalui x=9, karena jari-jari ke titik itu adalah garis horizontal. Persamaan garis singgungnya adalah x =
9.
Untuk titik singgung lain, kita gunakan rumus persamaan garis singgung yang terkait dengan gradien.
Penutupan Akhir
Jadi, itulah dia. Persamaan (x – 2)² + (y + 5)² = 49 bukan sekadar susunan huruf dan angka. Itu adalah identitas lengkap dari sebuah lingkaran dengan karakter yang spesifik. Dari sini, kita bisa menjelajah lebih jauh: mencari titik potongnya, menguji posisi suatu titik, atau bahkan menggambar garis yang hanya menyentuhnya sekali. Pemahaman ini adalah kunci pembuka untuk banyak puzzle geometri analitik lainnya.
Coba terapkan langkah yang sama dengan pusat dan jari-jari berbeda, dan lihat bagaimana kamu dengan mudah bisa menciptakan ‘rumah’ untuk berbagai lingkaran di bidang koordinat. Selamat berkreasi!
Ringkasan FAQ
Apakah angka 7 dalam jari-jari harus selalu dikuadratkan menjadi 49 dalam persamaan?
Ya, betul. Dalam bentuk baku persamaan lingkaran, ruas kanan adalah kuadrat dari jari-jari (r²). Jadi, jari-jari 7 akan selalu ditulis sebagai 49 dalam persamaan akhirnya.
Bagaimana jika jari-jarinya bukan bilangan bulat, misalnya √3?
Caranya sama. Kuadrat dari √3 adalah 3. Jadi, persamaan lingkarannya akan berisi angka 3 di ruas kanan. Nilai yang dikuadratkan adalah panjang jari-jarinya, bukan bentuk akarnya.
Bisakah pusat (2, -5) ini berada di kuadran mana pada bidang kartesius?
Tentu. Koordinat x=2 (positif) dan y=-5 (negatif) menempatkan pusat lingkaran ini di Kuadran IV (empat), yaitu daerah di kanan bawah sumbu origin.
Nah, kalau kamu lagi bingung cari persamaan lingkaran yang pusatnya di (2, -5) dan jari-jari 7, rumus (x-a)²+(y-b)²=r² itu jawabannya. Iseng-iseng, kalau stuck, mampir aja ke Tolong bantu saya kak buat diskusi seru. Intinya, untuk soal tadi, tinggal masukin angkanya: (x-2)²+(y+5)²=49, dan voila, lingkaranmu sudah terdefinisi dengan sempurna.
Apakah lingkaran ini pasti memotong sumbu-X atau sumbu-Y?
Belum tentu. Untuk mengetahuinya, kita bisa substitusi nilai y=0 untuk mencari potong dengan sumbu-X, dan x=0 untuk potong dengan sumbu-Y. Hasilnya tergantung pada jarak pusat ke sumbu tersebut dibandingkan dengan jari-jari (7).
Bagaimana cara cepat mengetahui titik paling kiri dan paling kanan pada lingkaran ini?
Titik paling kanan dan kiri didapat dari koordinat pusat (2, -5) dengan menambah atau mengurangi jari-jari (7) pada nilai x-nya. Jadi, titik paling kanan di (9, -5) dan paling kiri di (-5, -5).
