Penyelesaian Persamaan 2/3(x‑1)=1/3(x+2) itu kayak buka kunci pintu, kuncinya cuma satu: logika yang runut. Kali ini, kita lagi berhadapan sama persamaan linear yang isinya pecahan dan tanda kurung, yang bagi sebagian orang bikin deg-degan duluan. Tapi percayalah, di balik tampilannya yang sedikit ‘ribet’ itu, sebenarnya ada alur penyelesaian yang elegan dan bisa dipelajari siapa aja, bahkan buat kamu yang merasa hubungannya sama aljabar lagi renggang.
Inti dari persamaan ini adalah mencari nilai si ‘x’ yang bikin kedua sisi sama-sama setara. Kita akan telusuri jalan keluarnya dengan menghilangkan penyebut pecahan dulu, lalu membongkar kurung, dan akhirnya mengumpulkan semua variabel. Prosesnya nggak cuma asal pindah ruas, tapi lebih ke memahami kenapa langkah-langkah itu dilakukan, biar ke depannya kamu bisa handle soal serupa dengan modal prinsip yang sama, bukan cuma hafalan.
Pengenalan dan Konteks Persamaan Linear: Penyelesaian Persamaan 2/3(x‑1)=1/3(x+2)
Sebelum kita masuk ke dalam inti persoalan, mari kita sepakati dulu dasar-dasarnya. Persamaan linear satu variabel, seperti yang akan kita bahas, adalah sebuah pernyataan matematika yang menyatakan kesetaraan antara dua ekspresi aljabar, dan di dalamnya hanya terdapat satu variabel yang nilainya belum kita ketahui. Biasanya berbentuk ax + b = cx + d. Memahami cara mengutak-atik persamaan ini bukan sekadar untuk lulus ujian, tapi melatih logika sistematis.
Kita belajar mengurai masalah kompleks dengan langkah-langkah terstruktur, sebuah skill yang berguna jauh di luar pelajaran matematika.
Persamaan dengan koefisien pecahan seringkali membuat gentar. Padahal, ia hanya “berwajah” sedikit lebih rumit. Contoh sederhananya, persamaan seperti (1/2)x = 4 atau (2/5)(x+3) = 6. Kunci utamanya adalah membersihkan pecahan tersebut terlebih dahulu agar kita bisa bekerja dengan bilangan bulat yang lebih bersahabat. Persamaan yang kita hadapi, 2/3(x‑1) = 1/3(x+2), menarik justru karena strukturnya yang simetris.
Kedua ruas sama-sama dikalikan dengan pecahan yang penyebutnya sama, yaitu 3. Ini membuka pintu untuk beberapa strategi penyelesaian yang elegan, sekaligus menjadi latihan yang tepat untuk mengasah pemahaman tentang operasi distributif dan penyederhanaan.
Analisis Langsung dan Penyelesaian Persamaan
Sekarang, mari kita selesaikan persamaan ini dengan metode yang paling umum dan ampuh: menghilangkan penyebut. Langkah ini seperti membersihkan meja sebelum mulai bekerja, sehingga segala sesuatunya menjadi lebih rapi dan mudah dikelola.
Langkah Awal: Menghilangkan Penyebut Pecahan
Perhatikan bahwa penyebut pecahan pada kedua ruas adalah angka 3. Kita dapat mengalikan kedua ruas persamaan dengan 3 (Kelipatan Persekutuan Terkecil dari penyebut) untuk menghilangkannya. Operasi ini sah dilakukan asalkan kita lakukan pada kedua ruas secara adil, sehingga kesetaraan tetap terjaga.
Proses Penyederhanaan dan Penggunaan Hukum Distributif
Setelah penyebut hilang, kita akan bekerja dengan persamaan yang lebih sederhana. Di sinilah hukum distributif berperan. Hukum ini memungkinkan kita untuk “membagikan” perkalian ke setiap suku di dalam tanda kurung. Proses detail dari awal hingga mendekati solusi dapat dilihat dalam tabel berikut.
| Langkah Kerja | Operasi yang Digunakan | Hasil di Ruas Kiri | Hasil di Ruas Kanan |
|---|---|---|---|
| Persamaan Awal | – | 2/3 (x – 1) | 1/3 (x + 2) |
| Kalikan kedua ruas dengan 3 | Perkalian kedua ruas | 3
|
3
|
| Terapkan hukum distributif | Distribusi | 2x – 2 | x + 2 |
| Kumpulkan suku sejenis | Kurangi x dan tambah 2 di kedua ruas | 2x – x = x | 2 + 2 = 4 |
Dari tabel, setelah langkah distribusi kita peroleh persamaan 2x – 2 = x + 2. Untuk mengisolasi variabel x, kita pindahkan semua suku yang mengandung x ke ruas kiri dan konstanta ke ruas kanan. Kurangi kedua ruas dengan x, sehingga menjadi x – 2 = 2. Kemudian, tambahkan kedua ruas dengan 2, yang menghasilkan solusi akhir: x = 4.
Verifikasi Solusi dan Makna dari Hasil
Dalam matematika, mendapatkan angka akhir bukanlah akhir cerita. Verifikasi adalah ritual wajib untuk memastikan kita tidak melakukan kesalahan hitung. Caranya mudah, substitusikan nilai x = 4 ke dalam persamaan awal.
Menyelesaikan persamaan 2/3(x‑1)=1/3(x+2) itu seperti mencari titik temu dari dua pandangan yang berbeda. Kita eliminasi penyebut, pindah ruas, dan dapatkan solusi yang jelas. Sama halnya dalam merespons dinamika sosial, kita butuh pendekatan yang logis dan tenang untuk menemukan common ground, seperti yang bisa kamu pelajari dari ulasan tentang Tanggapan terhadap Kelompok Radikal. Nah, kembali ke persamaan tadi, setelah proses itu kita akan sampai pada jawaban pasti, x=4, yang menunjukkan bahwa dengan langkah sistematis, setiap masalah punya penyelesaiannya.
Prosedur Substitusi dan Pengecekan Kesetaraan, Penyelesaian Persamaan 2/3(x‑1)=1/3(x+2)
Mari kita buktikan. Substitusi x dengan 4 pada ruas kiri: 2/3
– (4 – 1) = 2/3
– 3 =
2. Pada ruas kanan: 1/3
– (4 + 2) = 1/3
– 6 = 2. Karena kedua ruas sama-sama menghasilkan nilai 2, maka solusi x = 4 adalah benar. Secara grafis, ini berarti titik (4, 2) — jika persamaan ini dianggap sebagai dua fungsi linear — adalah titik potong antara garis y = 2/3(x-1) dan y = 1/3(x+2).
Di garis bilangan, x = 4 adalah sebuah titik tunggal yang memenuhi persyaratan persamaan.
Verifikasi bukan sekadar formalitas. Ia adalah pengujian akhir yang membedakan antara dugaan dan kepastian dalam matematika. Melewatkan langkah ini sama seperti memasak tanpa mencicipi rasanya terlebih dahulu.
Eksplorasi Metode Penyelesaian Lainnya
Source: gauthmath.com
Nah, kalau kamu udah beres selesaikan persamaan 2/3(x‑1)=1/3(x+2) dan dapet x=4, otak pasti butuh jeda, kan? Sama kayak dunia medis yang punya sistem penanganan khusus, penting banget paham Perbedaan IGD dan UGD serta fungsinya biar nggak bingung saat darurat. Setelah istirahat sejenak dari topik itu, kamu bisa kembali fokus dan cek lagi langkah penyelesaian persamaan tadi dengan pikiran yang lebih segar.
Selain metode standar mengalikan dengan KPK, ada pendekatan lain yang lebih langsung, yaitu mengalikan silang (cross-multiplication). Metode ini terasa intuitif karena mirip dengan menyelesaikan proporsi.
Perbandingan Metode Cross-Multiplication dengan Metode Standar
Jika kita memandang persamaan 2/3(x-1) = 1/3(x+2) sebagai suatu proporsi, kita bisa mengalikan silang pembilang ruas kiri dengan penyebut ruas kanan, dan sebaliknya. Kelebihan metode ini adalah cepat dan tidak perlu memikirkan KPK terlebih dahulu. Namun, kekurangannya adalah kita harus hati-hati dengan tanda kurung; kesalahan distribusi setelah perkalian silang lebih rentan terjadi. Metode standar (mengalikan dengan KPK) sering dianggap lebih aman dan sistematis, terutama untuk pemula, karena langkah penghilangan penyebut membuat angka lebih sederhana.
Alur Logika Metode Alternatif
Bayangkan persamaan itu sebagai dua pecahan yang setara. Logikanya, jika a/b = c/d, maka a
– d = b
– c. Dalam kasus kita, a adalah 2(x-1), b adalah 3, c adalah 1(x+2), dan d adalah
3. Maka perkalian silangnya menjadi: 2(x-1)
– 3 = 1(x+2)
–
3. Langsung terlihat bahwa kedua ruas memiliki faktor 3 yang bisa dibagi, yang akhirnya menyisakan 2(x-1) = 1(x+2).
Hasil ini sama persis dengan yang kita dapatkan setelah langkah menghilangkan penyebut pada metode standar. Dari sini, langkah selanjutnya identik: distribusikan, kumpulkan suku sejenis, dan isolasi variabel x.
Aplikasi dalam Berbagai Variasi Soal
Setelah menguasai konsep inti, kemampuanmu diuji dengan variasi soal yang strukturnya mirip namun dengan lapisan kompleksitas tambahan. Ini melatih fleksibilitas berpikir.
Contoh Variasi Soal dan Strategi Umum
Berikut tiga contoh variasi soal yang bisa kamu temui:
- Koefisien Pecahan Berbeda: 3/4(x + 2) = 2/5(x – 1). Strategi kunci: Kalikan kedua ruas dengan KPK dari 4 dan 5, yaitu 20.
- Tanda Kurung Bertingkat: 1/2[ 2x – (x + 3)/3 ] =
4. Strategi kunci
Sederhanakan bagian dalam kurung siku terlebih dahulu, baru hilangkan penyebut secara bertahap.
- Memuat Dua Variabel (dinyatakan dalam satu): 2/3(a – 1) = 1/3(b + 2) dimana b = 2a. Strategi kunci: Substitusikan persamaan hubungan (b = 2a) ke dalam persamaan utama, sehingga menjadi persamaan satu variabel ‘a’.
Peta Strategi dan Antisipasi Kesalahan
Untuk membantu navigasi, tabel berikut merangkum strategi dan titik kritis dalam menyelesaikan variasi soal.
| Variasi Soal | Strategi Kunci | Titik Potensi Kesalahan | Cara Mengatasinya |
|---|---|---|---|
| Pecahan dengan penyebut berbeda | Mencari KPK penyebut dengan cermat sebelum mengalikan. | Salah menentukan KPK, sehingga pecahan tidak sepenuhnya hilang. | Pastikan perkalian dengan KPK membagi habis setiap penyebut. |
| Struktur kurung bertingkat atau kompleks | Menyederhanakan dari dalam ke luar, layaknya mengupas bawang. | Terburu-buru mendistribusikan sebelum menyederhanakan isi kurung. | Kerjakan operasi di dalam kurung paling dalam sampai menjadi satu suku sederhana. |
| Melibatkan lebih dari satu variabel | Mencari hubungan antar variabel untuk direduksi menjadi satu. | Lupa mensubstitusi hubungan variabel, sehingga persamaan tidak terselesaikan. | Identifikasi dahulu semua hubungan yang diberikan di soal sebelum memulai penyelesaian. |
Penutupan
Jadi, setelah mengikuti semua tahapan tadi, nilai x = 4 bukan cuma sekadar angka akhir. Itu adalah bukti bahwa dengan pendekatan yang sistematis, soal yang awalnya terlihat kompleks jadi bisa diurai. Yang penting itu nggak panik duluan lihat bentuk pecahannya. Ingat aja prinsip dasarnya: sederhanakan, hilangkan gangguan (kayak penyebut), dan isolasi si variabel yang dicari. Kemampuan ini nggak cuma buat ngerjain PR matematika, tapi juga melatih cara berpikir terstruktur buat nyelesein problem sehari-hari yang, jujur aja, seringnya lebih ruwet dari soal ini.
FAQ Umum
Kenapa harus dikali 3 dulu, bukan angka lain?
Angka 3 adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut 3 dan 3. Mengalikan dengan KPK adalah cara paling efisien untuk menghilangkan semua penyebut pecahan sekaligus dalam satu langkah, sehingga persamaan jadi lebih sederhana.
Apakah boleh langsung memindahkan suku yang mengandung x tanpa menghilangkan penyebut terlebih dahulu?
Bisa saja, tetapi akan lebih rumit karena kamu harus berurusan dengan operasi pecahan (penjumlahan/pengurangan pecahan). Menghilangkan penyebut di awal membuat semua koefisien menjadi bilangan bulat, yang secara signifikan mempermudah perhitungan selanjutnya.
Bagaimana jika hasil substitusi verifikasi ruas kiri dan kanan angkanya berbeda?
Itu artinya ada kesalahan dalam proses penyelesaian. Periksa kembali langkah demi langkah, terutama saat penerapan hukum distributif (mengalikan angka ke dalam kurung) dan saat memindahkan suku dari satu ruas ke ruas lain. Pastikan tanda positif/negatif tidak terbalik.
Apakah persamaan ini hanya punya satu solusi?
Ya, sebagai persamaan linear satu variabel, persamaan bentuk ini pada umumnya memiliki tepat satu solusi. Hasil x=4 adalah satu-satunya nilai yang membuat pernyataan 2/3(x‑1)=1/3(x+2) menjadi benar.
