C(n+1, n‑1) = 28, nilai n yang memenuhi persamaan ini ternyata bisa kita temukan dengan pendekatan yang cukup elegan, lho. Soal kombinatorial seperti ini seringkali tampak menakutkan, padahal di balik notasi yang terlihat rumit tersimpan pola simetris yang bisa disederhanakan menjadi persamaan kuadrat biasa. Mari kita buka-bukaan saja, ini sebenarnya soal menerjemahkan bahasa kombinatorial ke dalam bahasa aljabar yang lebih akrab di telinga.
Inti dari persoalan ini adalah memahami makna dari simbol C(n+1, n-1), yang tak lain adalah banyaknya cara memilih (n-1) elemen dari total (n+1) elemen. Dengan sifat simetri kombinasi, kita bisa mengubahnya menjadi C(n+1, 2). Dari sini, perjalanan mencari nilai n yang valid menjadi sebuah petualangan matematika yang singkat namun memuaskan, di mana kita akan berakhir dengan dua kandidat solusi yang harus kita uji kelayakannya.
Memahami Persamaan Kombinasi C(n+1, n-1) = 28: C(n+1, n‑1) = 28, Nilai N
Kita punya teka-teki angka yang menarik: C(n+1, n-1) = 28. Sebelum buru-buru mencari nilai n, mari kita pahami dulu apa sebenarnya yang sedang kita hadapi. Notasi C(n, k) atau sering dibaca “n choose k” adalah konsep dasar dalam kombinatorial yang menghitung banyaknya cara memilih k unsur dari n unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutan. Jadi, C(n+1, n-1) artinya kita sedang menghitung berapa banyak cara memilih (n-1) orang dari total (n+1) orang, atau (n-1) bola dari (n+1) bola.
Keindahan dalam kombinasi terletak pada sifat simetrisnya. Memilih (n-1) item dari (n+1) item itu sama saja dengan memilih item mana yang akan kita
-tinggalkan*. Jumlah item yang tidak terpilih adalah (n+1)
-(n-1) =
2. Oleh karena itu, memilih (n-1) item identik dengan memilih 2 item untuk ditinggalkan. Hubungan ini dinyatakan dalam rumus: C(n+1, n-1) = C(n+1, 2).
Penyederhanaan Menjadi Persamaan Kuadrat
Dengan sifat simetris tadi, persamaan kita yang awalnya terlihat sedikit aneh, C(n+1, n-1) = 28, langsung berubah menjadi bentuk yang lebih ramah: C(n+1, 2) = 28. Kita tahu rumus umum untuk C(a, 2) adalah a! / (2!
– (a-2)!) yang setara dengan (a
– (a-1)) /
2. Substitusikan a = n+1, maka kita peroleh:
((n+1) – n) / 2 = 28
Kalikan kedua ruas dengan 2, dan kita sampai pada persamaan kuadrat klasik: n² + n – 56 = 0. Dari sini, perjalanan mencari n menjadi jauh lebih terang.
Eksplorasi Nilai melalui Tabel
Sebagai bentuk verifikasi dan untuk melihat pola, mari kita lihat beberapa nilai n yang mungkin dan hitung hasil C(n+1, n-1)-nya. Tabel berikut menunjukkan proses coba-coba yang sistematis.
| Nilai n Dicoba | n+1 | n-1 | Nilai C(n+1, n-1) | Kesesuaian dengan 28? |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 7 | 5 | 21 | Tidak (terlalu kecil) |
| 7 | 8 | 6 | 28 | Ya, cocok! |
| 8 | 9 | 7 | 36 | Tidak (terlalu besar) |
| 5 | 6 | 4 | 15 | Tidak |
Tabel dengan jelas menunjukkan bahwa hanya n = 7 yang memberikan hasil tepat 28. Polanya juga terlihat bahwa nilai kombinasi ini meningkat seiring bertambahnya n.
Menyelesaikan Persamaan untuk Mencari Nilai n
Setelah menyederhanakan persamaan menjadi n² + n – 56 = 0, kita masuk ke tahap penyelesaian aljabar. Persamaan kuadrat ini dapat difaktorkan dengan mencari dua bilangan yang hasil kalinya -56 dan jumlahnya +1. Kedua bilangan itu adalah +8 dan -7.
Dengan demikian, pemfaktorannya menjadi (n + 8)(n – 7) =
0. Ini memberikan dua akar penyelesaian: n = -8 dan n =
7. Namun, kita tidak bisa begitu saja menerima kedua nilai ini. Dalam konteks kombinasi, parameter n dan k harus memenuhi aturan: bilangan bulat non-negatif, dan k tidak boleh lebih besar dari n. Untuk C(n+1, n-1), syarat n-1 ≥ 0 (yang berarti n ≥ 1) dan n-1 ≤ n+1 (selalu terpenuhi).
Akar n = -8 jelas melanggar syarat n ≥ 1, sehingga harus kita tolak.
Dua Metode Menuju Solusi
Source: gauthmath.com
Pertama, metode penyederhanaan rumus seperti yang telah diuraikan adalah yang paling elegan. Kedua, metode trial & error sistematis bisa dilakukan dengan memanfaatkan sifat simetris. Kita tahu C(n+1, 2) = 28, yang berarti (n+1)
– n = 56. Kita tinggal mencari dua bilangan berurutan yang hasil kalinya 56, yaitu 7 dan 8. Jadi, n+1 = 8, yang berarti n = 7.
Langkah kritis solusi: 1) Gunakan sifat simetri C(n+1, n-1) = C(n+1, 2). 2) Terapkan rumus C(a,2) = a(a-1)/
- 3) Substitusi dan dapatkan persamaan n(n+1)=
- 4) Temukan bilangan bulat berurutan 7 dan
8. 5) Verifikasi syarat kombinatorial
n=7 adalah bilangan bulat ≥ 1.
Dengan kedua metode, kita konsisten sampai pada satu jawaban final yang valid, yaitu n = 7.
Aplikasi dan Contoh Soal Serupa
Konsep penyelesaian C(n, k) = suatu konstanta ini sangat berguna dalam berbagai pemodelan. Misalnya, jika diketahui banyak cara membentuk tim dengan kriteria tertentu adalah 45, kita bisa mundur untuk mencari jumlah anggota kandidat awalnya. Mari kita latih dengan beberapa variasi soal.
| Contoh Soal | Konsep Kunci | Langkah Penyelesaian Singkat | Hasil Akhir (n) |
|---|---|---|---|
| C(n, n-2) = 15 | Simetri: C(n, n-2) = C(n, 2) | n(n-1)/2 = 15 → n²
|
n = 6 |
| C(n+2, 3) = 35 | Gunakan rumus C(a,3) = a(a-1)(a-2)/6 | (n+2)(n+1)n = 210 → Coba faktor: 7*6*5=210 | n = 5 |
| C(n-1, 2) = 21 | Langsung ke rumus C(a,2) | (n-1)(n-2)=42 → n² -3n -40=0 → (n-8)(n+5)=0 | n = 8 |
Interpretasi dalam Konteks Nyata, C(n+1, n‑1) = 28, nilai n
Solusi n = 7 dari persamaan awal kita bisa dibayangkan dalam sebuah skenario: “Ada sekelompok kandidat. Jika kita membentuk tim yang beranggotakan semua orang kecuali dua orang, terdapat 28 cara berbeda untuk membentuk tim tersebut.” Pernyataan ini setara dengan “Ada 28 cara memilih dua orang yang
-tidak* ikut tim.” Dari sini, kita bisa mundur: C(?, 2) = 28.
Ternyata, jumlah kandidat seluruhnya (n+1) adalah 8 orang, sehingga n (sebuah nilai dalam persamaan) adalah 7.
Representasi visual dari proses memilih 2 orang dari 8 untuk ditinggalkan dapat digambarkan dengan diagram pohon yang bercabang. Akar diagram adalah himpunan 8 orang. Cabang pertama mewakili pilihan orang pertama yang ditinggalkan (8 pilihan). Setiap cabang itu kemudian bercabang lagi untuk memilih orang kedua yang ditinggalkan dari sisa 7 orang. Namun, karena urutan tidak penting (memilih A lalu B sama dengan memilih B lalu A), kita membagi total cabang akhir (8*7=56) dengan 2, dan mendapatkan 28 pasangan unik yang terlihat sebagai daun-daah akhir di diagram yang telah disederhanakan.
Penjelasan Visual dan Representasi Data
Nilai kombinasi seperti C(n+1, n-1) memiliki rumah yang indah dalam Segitiga Pascal. Pada Segitiga Pascal, baris ke-m (dimulai dari 0) merepresentasikan koefisien untuk C(m, k). Dalam kasus kita, karena bentuknya C(n+1, sesuatu), kita melihat baris ke-(n+1). Entri untuk k = n-1 terletak simetris di dekat pinggir kanan. Sifat simetri C(n+1, n-1) = C(n+1, 2) terlihat jelas: entri pada posisi ke-(n-1) dari kiri sama persis dengan entri pada posisi ke-2 dari kiri (atau ke-2 dari kanan) pada baris yang sama.
Pola numerik dari C(n+1, n-1) untuk n berurutan sebenarnya adalah pola dari bilangan segitiga:
- n=2: C(3,1)=3
- n=3: C(4,2)=6
- n=4: C(5,3)=10
- n=5: C(6,4)=15
- n=6: C(7,5)=21
- n=7: C(8,6)=28
- n=8: C(9,7)=36
Pola ini mengikuti rumus n(n+1)/2, yang jika diplot pada grafik kartesius dengan n sebagai sumbu-X dan nilai C sebagai sumbu-Y, akan membentuk sebuah parabola yang membuka ke atas. Kurva ini menggambarkan pertumbuhan kuadratik; penambahan nilai n memberikan peningkatan nilai kombinasi yang semakin besar.
Visualisasi ruang sampel dari C(8, 2) = 28 yang setara dengan persamaan kita adalah kumpulan semua pasangan tidak terurut dari himpunan 1,2,3,4,5,6,7,8. Bayangkan 8 titik (mewakili orang/objek) tersebar di sebuah lingkaran. Setiap garis yang menghubungkan dua titik mewakili satu cara memilih pasangan tersebut. Jumlah total garis yang dapat ditarik tanpa tumpang tindih (hanya menghubungkan dua titik) tepat adalah 28, yang merupakan visualisasi grafis yang langsung dari solusi kombinasi tersebut.
Pembahasan Kesalahan Umum dan Verifikasi Jawaban
Dalam menyelesaikan persamaan kombinatorial, beberapa jebakan sering mengintai. Pertama, lupa menerapkan sifat simetri, sehingga siswa mencoba menghitung (n+1)! / ((n-1)!
– 2!) yang lebih rumit dan rawan kesalahan faktorial. Kedua, mengabaikan syarat domain untuk n dan k, sehingga menerima solusi negatif seperti n = -8. Ketiga, kesalahan dalam memfaktorkan persamaan kuadrat atau kesalahan aritmatika sederhana saat mengalikan dan menjumlahkan.
Prosedur Verifikasi yang Solid
Setelah mendapatkan calon solusi, verifikasi dua lapis wajib dilakukan. Lapis pertama: substitusi nilai n ke dalam persamaan awal dan hitung apakah hasilnya
28. Untuk n=7: C(8,6) = C(8,2) = (8*7)/2 =
28. Cocok. Lapis kedua, yang tak kalah penting: periksa syarat kombinatorial.
Apakah n bilangan bulat? Ya, 7. Apakah (n-1) ≥ 0? 6 ≥ 0, ya. Apakah (n-1) ≤ (n+1)?
6 ≤ 8, ya. Semua syarat terpenuhi.
Jadi, kalau C(n+1, n‑1) = 28, nilai n yang memenuhi adalah 7. Gimana cara tau? Sederhana banget, hitung kombinasi itu sampe ketemu. Nah, urusan hitung-hitungan ini kadang bikin pusing, mirip kayak aturan diet ketat untuk yang punya masalah di empedu. Penting banget nih buat paham Larangan Minyak dan Lemak bagi Penderita Gangguan Empedu biar kesehatan terjaga.
Oke, balik lagi ke soal tadi, setelah dihitung, jawaban pasti untuk n adalah 7.
| Calon Solusi (n) | Memenuhi n²+n-56=0? | Memenuhi Syarat Kombinatorial? | Status Akhir |
|---|---|---|---|
| -8 | Ya ((-8)² + (-8) -56 = 0) | Tidak (n negatif) | Ditolak |
| 7 | Ya (49+7-56=0) | Ya | Diterima |
Perbandingan di atas menunjukkan betapa kritisnya pemeriksaan syarat dasar. Solusi yang secara aljabar benar belum tentu bermakna dalam konteks soal. Dalam masalah kombinatorial, selalu ada kemungkinan solusi ganda dari persamaan kuadrat, dan tugas kita adalah menyaringnya dengan cermat menggunakan logika konteks permasalahan.
Penutupan
Jadi, setelah mengurai semua langkah, nilai n yang sah untuk persamaan C(n+1, n‑1) = 28 adalah 7. Proses ini mengajarkan kita bahwa banyak soal kombinatorial yang keras kepala bisa dilunakkan dengan memahami sifat dasarnya. Jangan lupa untuk selalu memverifikasi syarat-syarat dasar, seperti memastikan n adalah bilangan bulat non-negatif, karena dunia kombinasi sangat tegas dengan aturan mainnya. Selamat, kamu baru saja membongkar sebuah teka-teki numerik yang rapi!
Panduan Pertanyaan dan Jawaban
Apa arti sebenarnya dari notasi C(n+1, n-1) dalam soal ini?
Notasi C(n+1, n-1) mewakili jumlah kombinasi, yaitu banyaknya cara yang berbeda untuk memilih (n-1) objek dari suatu himpunan yang berisi (n+1) objek, tanpa memperhatikan urutan pemilihannya.
Mengapa C(n+1, n-1) bisa disamakan dengan C(n+1, 2)?
Ini memanfaatkan sifat simetri kombinasi: C(n, k) = C(n, n-k). Jadi, C(n+1, n-1) sama dengan C(n+1, (n+1)
-(n-1)) yang hasilnya adalah C(n+1, 2).
Apakah ada nilai n selain 7 yang memenuhi persamaan?
Secara aljabar, akan ditemukan juga n = -9. Namun, nilai ini tidak valid dalam konteks kombinasi karena n harus bilangan bulat non-negatif (tidak boleh negatif).
Nah, kalau kamu lagi pusing cari nilai n dari persamaan C(n+1, n‑1) = 28, tenang aja. Proses berpikirnya mirip kayak kamu Hitung total buah setelah pembelian dan konsumsi , di mana kamu harus mengelola dan menyederhanakan apa yang ada. Setelah itu, balik lagi ke soal kombinatorik tadi, pasti ketemu kalau teliti, dan jawabannya n = 7 itu bakal bikin kamu lega.
Bagaimana cara cepat memverifikasi bahwa n=7 adalah jawaban yang benar?
Substitusi n=7 ke dalam bentuk sederhana: C(7+1, 2) = C(8,2) = (8*7)/(2*1) = 56/2 = 28. Hasilnya cocok dengan persamaan awal.
Di kehidupan nyata, contoh apa yang bisa diwakili oleh persamaan C(n+1, n-1)?
Misalnya, jika ada (n+1) orang dalam satu kelompok, maka C(n+1, n-1) dapat mewakili banyaknya cara membentuk sebuah tim yang mengeluarkan 2 orang (karena tim yang terpilih adalah (n-1) orang, berarti yang tidak terpilih adalah 2 orang).
