Selesaikan Sistem Persamaan 2x−y=3 dan 13x+11y=9 dengan Substitusi

Selesaikan Sistem Persamaan 2x−y=3 dan 13x+11y=9 dengan Substitusi, sebuah tantangan aljabar klasik yang sebenarnya jauh lebih mudah daripada yang terlihat. Banyak yang langsung gentar melihat angka-angka dan variabel yang berjejalan, padahal di balik itu ada logika yang rapi dan metode penyelesaian yang elegan. Mari kita buka lapis demi lapis, seperti mengupas bawang, untuk menemukan nilai x dan y yang tersembunyi di balik tanda sama dengan.

Pada dasarnya, kita berhadapan dengan dua garis lurus dalam bidang koordinat, dan titik temu keduanyalah solusi yang kita cari. Metode substitusi menawarkan pendekatan yang sistematis: kita ambil satu potongan informasi dari persamaan pertama, lalu kita suntikkan ke dalam persamaan kedua. Proses ini mirip menyelesaikan puzzle, di mana setiap langkah aljabar yang tepat akan membawa kita semakin dekat ke gambar utuh yang lengkap dan memuaskan.

Pengantar dan Konsep Dasar Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, atau biasa disingkat SPLDV, adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan dua variabel yang sama, biasanya x dan y. Tujuan utamanya adalah menemukan pasangan nilai (x, y) yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut secara bersamaan. Bentuk umumnya dapat ditulis sebagai ax + by = c dan px + qy = r, di mana a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan konstanta.

Untuk menyelesaikan teka-teki aljabar ini, terdapat beberapa metode yang populer digunakan. Tiga metode utama adalah metode grafik, metode eliminasi, dan metode substitusi. Metode grafik melibatkan penggambaran garis dari setiap persamaan dan mencari titik potongnya. Metode eliminasi bekerja dengan mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan persamaan. Sementara itu, metode substitusi, yang akan kita bahas mendalam, berprinsip pada menggantikan satu variabel dengan ekspresi aljabar dari variabel lainnya.

Perbandingan Metode Substitusi dan Eliminasi

Setiap metode memiliki karakteristik dan kecocokan tersendiri tergantung bentuk persamaan. Berikut adalah tabel yang membandingkan kelebihan dan kekurangan metode substitusi dengan eliminasi untuk memberikan perspektif yang lebih jelas.

Pemahaman dan Persiapan Persamaan untuk Substitusi

Langkah pertama dan paling krusial dalam metode substitusi adalah memilih variabel mana yang akan kita “isolasi” atau nyatakan dalam bentuk variabel lainnya. Pilihan ini menentukan kemudahan perhitungan selanjutnya. Prinsipnya, pilih variabel dengan koefisien paling sederhana, biasanya 1 atau -1, untuk meminimalkan kerja hitung.

Mengisolasi Variabel dari Persamaan 2x – y = 3

Pada sistem kita, persamaan 2x − y = 3 memiliki variabel y dengan koefisien -1. Ini menjadikan y sebagai kandidat ideal untuk diisolasi. Proses mengubah bentuk persamaan ini menjadi y = … atau x = … disebut manipulasi aljabar dasar.

2x − y = 3
Langkah 1: Pindahkan suku 2x ke ruas kanan menjadi -2x.
−y = 3 − 2x
Langkah 2: Kalikan kedua ruas dengan -1 untuk membuat koefisien y positif.
y = -3 + 2x
atau disusun ulang menjadi: y = 2x − 3

Ekspresi y = 2x − 3 inilah yang akan menjadi senjata kita. Ia menyatakan bahwa di mana pun kita melihat simbol y dalam persamaan lain, kita boleh menggantinya dengan (2x − 3). Berikut adalah contoh lain proses isolasi variabel untuk melatih intuisi.

• Contoh 1: Dari 3x + y = 7, isolasi y. Kurangkan 3x dari kedua sisi: y = 7 − 3x.
• Contoh 2: Dari x − 4y = 8, isolasi x. Tambahkan 4y ke kedua sisi: x = 8 + 4y.

Prosedur Penyelesaian Langkah demi Langkah

Setelah mendapatkan ekspresi substitusi y = 2x − 3, kita masuk ke inti penyelesaian. Ekspresi ini akan kita substitusikan ke dalam persamaan kedua yang belum kita sentuh, yaitu 13x + 11y = 9. Tujuannya adalah untuk menghilangkan variabel y sehingga terbentuk persamaan linear dengan satu variabel x saja.

Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan, Selesaikan Sistem Persamaan 2x−y=3 dan 13x+11y=9 dengan Substitusi

Mari kita lakukan substitusi. Setiap kemunculan y pada persamaan 13x + 11y = 9 diganti dengan (2x − 3).

13x + 11(2x − 3) = 9

Sekarang, kita selesaikan persamaan ini langkah demi langkah. Pertama, lakukan distribusi perkalian 11 ke dalam kurung (2x − 3).

13x + (11 × 2x) + (11 × -3) = 9

x + 22x − 33 = 9

Kemudian, gabungkan suku-suku sejenis yang mengandung variabel x.

(13x + 22x) − 33 = 9
– x − 33 = 9

Langkah berikutnya adalah mengisolasi suku yang mengandung x dengan memindahkan konstanta -33 ke ruas kanan.

35x = 9 + 33
– x = 42

Akhirnya, untuk mendapatkan nilai x, bagi kedua ruas persamaan dengan koefisien di depan x, yaitu 35.

x = 42 / 35

Pecahan ini dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan terbesar, yaitu 7.

x = (42 ÷ 7) / (35 ÷ 7) = 6/5

Jadi, nilai dari variabel pertama yang kita temukan adalah x = 6/5 atau 1.2.

Mencari Nilai Variabel Kedua dan Verifikasi Solusi

Setelah nilai x berhasil ditemukan, pekerjaan kita belum selesai. Kita masih harus mencari nilai pasangannya, yaitu y. Caranya sangat langsung: substitusikan nilai x = 6/5 ke dalam salah satu persamaan awal yang paling sederhana. Biasanya, persamaan yang sudah kita ubah bentuk ( y = 2x − 3) adalah pilihan tercepat.

Tabel Proses Pencarian Nilai Variabel

Proses ini dapat dirinci dalam tabel berikut untuk memudahkan pelacakan setiap langkah yang dilakukan.

Dengan demikian, solusi sistem persamaan ini adalah x = 6/5 dan y = -3/5, atau dapat ditulis sebagai pasangan berurut (6/5, -3/5).

Verifikasi Solusi

Verifikasi adalah ritual wajib untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung. Kita masukkan nilai x dan y yang telah kita peroleh ke dalam kedua persamaan awal. Jika keduanya menghasilkan pernyataan yang benar (ruas kiri = ruas kanan), maka solusi kita sah.

Verifikasi ke Persamaan 1 (2x − y = 3):
*(6/5) − (-3/5) = 12/5 + 3/5 = 15/5 = 3. BENAR.

Verifikasi ke Persamaan 2 (13x + 11y = 9):
*(6/5) + 11*(-3/5) = 78/5 − 33/5 = 45/5 = 9. BENAR.

Kedua persamaan terpenuhi, sehingga solusi (6/5, -3/5) telah terbukti benar.

Aplikasi dan Variasi Soal dengan Metode Substitusi: Selesaikan Sistem Persamaan 2x−y=3 Dan 13x+11y=9 Dengan Substitusi

Metode substitusi bukan hanya untuk soal dengan angka-angka tertentu. Ia adalah alat yang ampuh untuk berbagai bentuk SPLDV, terutama ketika satu variabel sudah terisolasi dengan rapi. Mari kita lihat contoh soal lain di mana substitusi adalah pilihan yang efisien.

Contoh Soal Efisien dengan Substitusi

• Contoh A: Selesaikan y = 5x − 2 dan 3x + 2y = 20. Di sini, persamaan pertama sudah memberikan y secara eksplisit. Substitusi langsung ke persamaan kedua sangat cepat.
• Contoh B: Selesaikan x = 10 − 3y dan 4x − 5y = 2. Kali ini, x yang sudah diisolasi. Substitusi x dari persamaan pertama ke persamaan kedua akan langsung membentuk persamaan dalam y.

Ilustrasi Masalah Kontekstual

Bayangkan sebuah skenario di pasar. Seorang pedagang menjual dua jenis paket buah: Paket A dan Paket B. Diketahui selisih harga 2 Paket A dan 1 Paket B adalah 3 ribu rupiah (dimodelkan sebagai 2A − B = 3). Sementara itu, total harga dari 13 Paket A dan 11 Paket B adalah 9 ribu rupiah (13A + 11B = 9). Sistem persamaan kita, dengan x sebagai harga Paket A dan y sebagai harga Paket B, memodelkan masalah ini.

Solusi x = 6/5 dan y = -3/5 mengindikasikan adanya kesalahan dalam asumsi atau data awal karena harga negatif tidak realistis. Ini menunjukkan pentingnya memeriksa kelayakan solusi dalam konteks dunia nyata.

Keterbatasan Metode Substitusi

Meski powerful, substitusi bukan dewa penyelamat universal. Metode ini menjadi kurang praktis ketika tidak ada koefisien 1 atau -1, sehingga proses mengisolasi variabel menghasilkan pecahan yang rumit sejak awal. Misalnya, pada sistem 7x + 8y = 10 dan 5x − 3y = 4, mengisolasi x atau y dari salah satu persamaan akan melibatkan pecahan seperti x = (10 − 8y)/7.

Substitusi ekspresi seperti ini ke persamaan lain akan sangat berantakan dan rawan kesalahan. Dalam kasus seperti itu, metode eliminasi dengan menyamakan koefisien terlebih dahulu seringkali lebih rapi dan efisien.

Latihan dan Pembahasan Terstruktur

Untuk menguasai metode substitusi, latihan adalah kunci. Berikut adalah set latihan bertingkat yang dirancang untuk mengasah kemampuan, mulai dari yang langsung hingga yang membutuhkan sedikit persiapan.

Set Latihan Bertingkat

Source: gauthmath.com

Tingkat Mudah:

1. Selesaikan dengan substitusi: y = 2x + 1 dan x + y = 7.
2. Selesaikan dengan substitusi: x = y − 4 dan 2x + 3y = 17.

Tingkat Sedang:

3. Selesaikan dengan substitusi: 3x − y = 5 dan 2x + 4y =
   10. (Petunjuk: isolasi y dari persamaan pertama).
4. Selesaikan dengan substitusi: 5x + 2y = 8 dan 3x − y =
   7. (Petunjuk: isolasi y dari persamaan kedua).

Pembahasan Soal Latihan

Mari kita bahas soal nomor 3 dari tingkat sedang secara terstruktur.

Soal: Selesaikan sistem 3x − y = 5 dan 2x + 4y = 10 dengan metode substitusi.

• Langkah 1 (Isolasi): Dari persamaan 3x − y = 5, kita isolasi y.
  

  3x − y = 5 → -y = 5 − 3x → y = 3x − 5

• Langkah 2 (Substitusi): Substitusi y = 3x − 5 ke persamaan kedua.
  

  2x + 4(3x − 5) = 10

• Langkah 3 (Sederhanakan): Lakukan distribusi dan gabungkan suku sejenis.
  

  2x + 12x − 20 = 10 → 14x − 20 = 10

• Langkah 4 (Cari x): Selesaikan untuk x.
  

  14x = 10 + 20 → 14x = 30 → x = 30/14 = 15/7

• Langkah 5 (Cari y): Substitusi x = 15/7 ke y = 3x − 5.
  

  y = 3*(15/7) − 5 = 45/7 − 35/7 = 10/7

• Langkah 6 (Verifikasi): Cek ke persamaan awal (opsional tapi dianjurkan).
  

  Pers.1: 3*(15/7) − (10/7) = 45/7 − 10/7 = 35/7 = 5. BENAR.
  Pers.2: 2*(15/7) + 4*(10/7) = 30/7 + 40/7 = 70/7 = 10. BENAR.

Jadi, solusinya adalah (15/7, 10/7).

Tips Menghindari Kesalahan

Beberapa kewaspadaan dapat menyelamatkan dari kesalahan aritmatika yang umum:

• Perhatikan Tanda: Kesalahan tanda (positif/negatif) saat memindahkan suku atau mendistribusikan bilangan negatif adalah biang keladi. Tulis setiap langkah dengan jelas.
• Gunakan Kurung: Selalu gunakan kurung saat melakukan substitusi. Misal, 4*(3x − 5), bukan 4*3x − 5. Ini memastikan seluruh ekspresi dikalikan.
• Verifikasi Akhir: Jangan lewatkan langkah verifikasi. Membutuhkan waktu 30 detik, tetapi dapat mengonfirmasi kebenaran seluruh pekerjaan 10 menit sebelumnya.
• Bekerja dengan Pecahan: Jangan terburu-buru mengubah pecahan menjadi desimal terlalu awal. Biarkan dalam bentuk pecahan untuk menjaga akurasi hingga akhir perhitungan.

Ringkasan Penutup

Jadi, begitulah ceritanya. Dari dua persamaan yang tampak acak, kita berhasil mengurai benang kusut dan menemukan pasangan solusi yang valid. Proses substitusi ini bukan sekadar ritual matematika, tetapi pelatihan logika yang sangat berguna. Ia mengajarkan kita untuk memanfaatkan informasi yang ada secara maksimal, menyusun strategi dari yang termudah, dan selalu melakukan pengecekan ulang. Nilai x dan y yang didapat adalah bukti bahwa dengan langkah-langkah kecil yang konsisten, masalah yang kompleks pun bisa tuntas.

Selamat, Anda baru saja mengunci sebuah konsep matematika yang powerful!

Kumpulan FAQ

Apakah solusi dari sistem persamaan ini selalu berupa bilangan bulat?

Tidak selalu. Solusi bisa berupa bilangan bulat, pecahan, atau desimal, tergantung koefisien dan konstanta dalam persamaan. Pada contoh ini, kita memang mendapatkan pecahan.

Bagaimana jika saya memilih untuk mengisolasi variabel x terlebih dahulu, bukan y?

Boleh saja. Anda akan mendapatkan bentuk x = (y+3)/2. Prosesnya mungkin sedikit melibatkan lebih banyak pecahan saat substitusi, tetapi hasil akhirnya akan tetap sama.

Apakah metode substitusi bisa digunakan untuk sistem persamaan dengan tiga variabel atau lebih?

Bisa, prinsipnya sama: isolasi satu variabel, substitusi ke persamaan lain. Namun, prosesnya menjadi lebih panjang dan berulang karena jumlah variabel dan persamaan yang bertambah.

Apa yang terjadi jika kedua persamaan ternyata menggambarkan garis yang sejajar?

Jika garis sejajar, berarti tidak ada titik potong. Saat diselesaikan dengan substitusi, Anda akan mendapatkan pernyataan yang salah (kontradiksi) seperti 3=0, yang menandakan sistem persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

Mengapa verifikasi solusi itu penting padahal langkah-langkahnya sudah runtut?

Verifikasi adalah langkah kritis untuk mendeteksi kesalahan hitung kecil yang mungkin terjadi selama proses. Ini memastikan bahwa nilai yang ditemukan benar-benar memenuhi
-kedua* persamaan awal, bukan hanya hasil dari manipulasi aljabar.