Menghitung Banyak Susunan 10 Lukisan dengan 4 Lukisan Selalu Berdampingan itu seperti menyelesaikan teka-teki ruang galeri yang elegan. Bayangkan Anda seorang kurator yang ingin memamerkan sepuluh mahakarya, namun empat di antaranya adalah sebuah seri yang harus dipajang berurutan agar ceritanya utuh. Di sinilah matematika kombinatorial hadir bukan sebagai deretan angka yang menakutkan, melainkan sebagai alat logis yang memandu kita menemukan setiap kemungkinan tata letak yang memenuhi aturan tersebut.
Pada dasarnya, soal ini mengajak kita untuk berpikir kreatif dengan menerapkan konsep pengelompokan atau “blok”. Empat lukisan yang harus berdampingan itu kita anggap sebagai satu unit besar yang tak terpisahkan. Dengan pendekatan ini, masalah yang awalnya melibatkan sepuluh objek individual berubah menjadi permainan menyusun tujuh unit: satu blok berisi empat lukisan dan enam lukisan lainnya yang berdiri sendiri. Proses ini mengungkap keindahan matematika dalam menyederhanakan kompleksitas.
Pengantar Konsep Penyusunan dengan Syarat Berdampingan
Dalam matematika kombinatorial, penyusunan objek berbeda urutannya dikenal sebagai permutasi. Konsep ini adalah tulang punggung untuk menghitung berbagai kemungkinan susunan, dari hal sederhana seperti menyusun buku di rak hingga penjadwalan yang kompleks. Bayangkan Anda memiliki lima buku berbeda dan ingin menatanya di rak. Setiap urutan yang berbeda—misalnya, buku sejarah di paling kiri versus paling kanan—dihitung sebagai susunan unik. Itulah esensi permutasi: memperhatikan urutan.
Namun, dunia nyata sering kali punya aturan. Tidak semua susunan bebas dilakukan. Misalnya, Anda memiliki satu set ensiklopedia lima jilid yang harus berurutan dari 1 sampai 5, atau tiga novel karya penulis yang sama yang ingin Anda letakkan bersebelahan. Di sinilah konsep penyusunan dengan kendala, khususnya syarat “harus berdampingan”, muncul. Pendekatannya berubah dari mengatur semua objek secara individual menjadi memperlakukan kelompok yang terikat sebagai satu unit besar, yang kemudian diatur bersama unit-unit lainnya.
Perbandingan Jenis-jenis Permutasi
Memahami perbedaan mendasar antara berbagai jenis permutasi membantu dalam memilih metode penyelesaian yang tepat. Berikut adalah tabel yang merangkum karakteristik utamanya.
| Jenis Permutasi | Konsep Dasar | Rumus Umum (n objek) | Contoh Analogi |
|---|---|---|---|
| Permutasi Biasa | Menyusun semua objek berbeda tanpa syarat. | n! (n faktorial) | Menyusun 5 orang untuk foto berjajar bebas. |
| Permutasi dengan Pengulangan | Menyusun objek di mana beberapa objek identik/sama. | n! / (p!
|
Menyusun huruf-huruf dari kata “MAMA” (ada M dan A yang berulang). |
| Permutasi dengan Kelompok Terikat | Menyusun objek dengan syarat sekelompok objek tertentu harus bersatu. | (Jumlah Unit)!
|
Menyusun 7 buku dimana 3 buku tertentu harus selalu berdampingan. |
Memahami Soal: 10 Lukisan dengan 4 Lukisan Selalu Berdampingan: Menghitung Banyak Susunan 10 Lukisan Dengan 4 Lukisan Selalu Berdampingan
Mari kita fokus pada soal inti: kita memiliki 10 lukisan berbeda yang akan digantung sejajar di dinding. Syaratnya, ada 4 lukisan tertentu yang harus selalu berada berdampingan, tanpa diselingi lukisan lain. Soal ini adalah penerapan langsung dari permutasi dengan kelompok terikat. Kuncinya adalah mengubah perspektif kita dalam melihat objek.
Langkah pertama dan paling krusial adalah membentuk apa yang disebut sebagai “blok” atau “unit terikat”. Keempat lukisan yang harus bersama itu kita anggap sebagai satu kotak besar. Di dalam kotak ini, keempat lukisan masih bisa diatur ulang sesama mereka. Dengan demikian, masalah yang awalnya mengatur 10 objek bebas berubah menjadi mengatur 7 objek: yaitu 1 blok (berisi 4 lukisan) dan 6 lukisan individual lainnya.
Visualisasi ini menyederhanakan masalah secara signifikan.
Visualisasi Pembentukan Blok
Misalkan ke-10 lukisan kita beri label huruf A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Dan misalkan keempat lukisan yang harus berdampingan adalah C, F, H, dan J. Proses pembentukan blok dapat dideskripsikan sebagai berikut: Kita ambil lukisan C, F, H, J dan satukan mereka menjadi sebuah kelompok yang kompak. Sekarang, dari sudut pandang penempatan di dinding, yang kita atur bukan lagi sepuluh entitas terpisah, melainkan tujuh entitas: [Blok CFHJ], A, B, D, E, G, I.
Posisi relatif C, F, H, J di dalam blok itu sendiri adalah masalah terpisah yang akan kita hitung nanti.
Langkah-langkah Perhitungan Matematis
Setelah konsep blok dipahami, perhitungan menjadi sistematis dan jelas. Kita akan bekerja dengan dua tingkat penyusunan: tingkat makro (penyusunan blok dengan lukisan lain) dan tingkat mikro (penyusunan di dalam blok itu sendiri). Prinsip dasar yang digunakan adalah Kaidah Perkalian, karena kita memilih susunan pada tingkat makro DAN kemudian memilih susunan pada tingkat mikro.
Rincian Perhitungan Faktorial, Menghitung Banyak Susunan 10 Lukisan dengan 4 Lukisan Selalu Berdampingan
Pertama, hitung banyaknya cara menyusun isi di dalam blok. Keempat lukisan di dalam blok adalah berbeda, sehingga mereka dapat dipermutasikan sebanyak 4! cara.
Susunan dalam Blok = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara.
Kedua, setelah blok menjadi satu kesatuan, kita memiliki total 7 unit yang harus disusun: 1 blok dan 6 lukisan individual lainnya. Ketujuh unit ini semuanya berbeda (blok dianggap unik). Banyaknya cara menyusun 7 unit yang berbeda adalah 7!.
Susunan 7 Unit = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 cara.
Terakhir, dengan Kaidah Perkalian, total susunan yang memenuhi syarat adalah hasil kali dari kedua langkah di atas. Setiap satu dari 5040 susunan makro dapat dipadankan dengan setiap satu dari 24 susunan mikro di dalam blok.
Total Susunan = (Banyak cara menyusun 7 unit) × (Banyak cara menyusun isi blok) = 7! × 4! = 5040 × 24 = 120.960 cara.
Penerapan pada Variasi Soal Serupa
Konsep ini sangat fleksibel dan dapat diterapkan pada berbagai skenario angka dan kondisi. Kemampuan untuk mengidentifikasi “kelompok terikat” adalah kunci yang sama, terlepas dari angkanya. Mari kita lihat beberapa variasi soal untuk mengasah pemahaman.
Berikut tiga contoh variasi soal:
- Ada 8 lukisan berbeda, dengan 3 lukisan khusus yang harus selalu berdampingan. Berapa banyak susunan yang mungkin?
- Sebuah tim yang terdiri dari 9 orang akan difoto berjajar. 2 orang tertentu (ketua dan wakil) harus selalu berada di pinggir (kiri dan kanan) kelompok mereka. Berapa banyak posisi berfoto?
- Dari 7 buku berbeda, 2 buku tentang sains harus dipisah (tidak boleh berdampingan). Berapa banyak cara menyusunnya? (Ini adalah variasi komplemen).
Penyelesaian Detail untuk Variasi 1
Mari kita selesaikan soal pertama secara detail: 8 lukisan, 3 harus berdampingan.
Langkah 1: Anggap 3 lukisan sebagai satu blok. Banyak susunan dalam blok adalah 3! = 6 cara.
Langkah 2: Setelah membentuk blok, total unit yang disusun adalah 1 blok + (8-3) lukisan lain = 1 + 5 = 6 unit. Banyak susunan 6 unit berbeda adalah 6! = 720 cara.
Langkah 3: Total susunan = 6! × 3! = 720 × 6 = 4320 cara.
Poin-poin penting yang harus selalu diperhatikan:
- Pastikan untuk mengidentifikasi dengan benar objek mana yang membentuk kelompok terikat.
- Selalu hitung dua komponen: permutasi di dalam kelompok (mikro) dan permutasi seluruh unit termasuk kelompok (makro).
- Kalikan kedua hasil tersebut berdasarkan Kaidah Perkalian.
- Jika soal meminta kelompok berdampingan tetapi boleh dalam urutan apa pun di dalamnya, maka hitung permutasi dalam kelompok. Jika urutan dalam kelompok sudah ditetapkan, maka anggap sebagai 1 cara.
Visualisasi dan Ilustrasi Susunan
Membayangkan susunan secara konkret dapat memperdalam pemahaman. Mari kita gunakan lagi contoh 10 lukisan berlabel A sampai J, dengan lukisan C, F, H, J harus berdampingan. Kita akan buat skema tekstual untuk menggambarkan proses dan hasilnya.
Susunan awal sebelum pengelompokan adalah deretan 10 posisi kosong: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
Setelah kita tentukan C, F, H, J sebagai kelompok terikat, kita ciptakan satu “slot super” untuk mereka. Jadi, yang kita atur adalah 7 slot: [ ] _ _ _ _ _ _, dimana [ ] mewakili blok berisi 4 lukisan.
Contoh Susunan Valid dan Tidak Valid
Berikut adalah tabel yang menampilkan contoh pola susunan dan statusnya berdasarkan aturan “CFHJ harus berdampingan”.
| Pola Susunan (10 Posisi) | Status | Alasan |
|---|---|---|
| A B [C F H J] D E G I | VALID | Keempat lukisan CFHJ berada bersebelahan dalam satu blok. |
| [H J C F] A B D E G I | VALID | Mereka tetap berdampingan, meski urutan di dalam blok berbeda. Ini dihitung sebagai susunan lain. |
| A C B F D H E J G I | TIDAK VALID | Lukisan C, F, H, J tercerai-berai dan tidak membentuk satu kelompok yang bersebelahan. |
| A B C F [H D J] E G I | TIDAK VALID | Meski H dan J bersama D dalam kurung, ini bukan blok yang dimaksud karena C dan F di luar. Kelompok CFHJ tidak utuh. |
Kesalahan Umum dan Penjelasan Detail
Meskipun konsepnya terstruktur, beberapa jebakan sering membuat hasil perhitungan meleset. Mengenali kesalahan ini sejak awal akan menghemat waktu dan meningkatkan akurasi.
Kesalahan pertama adalah hanya menghitung 7! (5040) dan melupakan untuk mengalikan dengan permutasi di dalam blok (4! = 24). Ini terjadi karena kita lupa bahwa blok bukanlah objek kaku; isinya bisa diacak. Kesalahan kedua adalah menghitung 10! dan membaginya dengan sesuatu, yang merupakan pendekatan yang keliru untuk soal syarat berdampingan. Kesalahan ketiga adalah keliru dalam menghitung jumlah unit setelah pengelompokan, misalnya mengira total unitnya 8 karena 10 – 4 = 6, lalu lupa menambahkan bloknya sendiri.
Prinsip Perkalian dan Contoh Koreksi
Inti dari solusi soal ini adalah Prinsip Perkalian atau Kaidah Pencacahan. Kita memecah proses kompleks (menyusun dengan syarat) menjadi dua tahap yang independen: menyusun unit besar, lalu mengatur detail di dalam unit khusus. Karena pemilihan cara pada tahap pertama tidak memengaruhi banyaknya pilihan pada tahap kedua, kita cukup mengalikannya.
Contoh Kesalahan Konsep: “Karena ada 4 lukisan yang harus bersama, kita kurangi saja jadi 7 objek. Jadi jawabannya 7! = 5040.”
Koreksi: Pernyataan tersebut hanya menyelesaikan tahap makro. Ia menganggap blok sebagai benda mati yang isinya tidak bisa diubah. Faktanya, keempat lukisan di dalam blok itu berbeda dan bisa bertukar tempat, menghasilkan banyak variasi internal. Jawaban yang benar adalah 7! × 4! = 120.960, yang secara signifikan lebih besar.
Dengan memahami bahwa 7! mengatur posisi blok relatif terhadap lukisan lain, dan 4! mengatur “dunia kecil” di dalam blok itu sendiri, maka perkalian 7! × 4! menjadi sangat logis dan alami.
Kesimpulan Akhir
Jadi, setelah menelusuri setiap langkah perhitungan, kita sampai pada pemahaman yang lebih dalam. Konsep mengelompokkan item yang terikat aturan menjadi satu blok adalah strategi ampuh yang bisa diterapkan di berbagai skenario, dari menyusun buku di rak hingga mengatur jadwal meeting. Intinya, matematika kombinatorial seperti ini melatih kita untuk melihat pola, memecah masalah besar menjadi bagian-bagian yang terkelola, dan akhirnya menemukan solusi yang elegan dan pasti.
Selanjutnya, coba terapkan logika yang sama pada variasi soal lain, dan lihat bagaimana sebuah prinsip sederhana bisa membuka banyak pintu pemecahan masalah.
FAQ dan Informasi Bermanfaat
Apakah urutan keempat lukisan di dalam blok itu penting?
Sangat penting. Karena kita menghitung
-susunan* atau permutasi, maka lukisan A, B, C, D di dalam blok dianggap berbeda susunannya dengan D, C, B, A. Itulah mengapa kita perlu mengalikan permutasi posisi blok dengan permutasi internal keempat lukisan tersebut.
Bagaimana jika yang harus berdampingan justru dua kelompok, misalnya 4 lukisan dan 3 lukisan lain yang juga harus berdampingan?
Maka kita buat dua blok terpisah: Blok A (4 lukisan) dan Blok B (3 lukisan). Kita perlakukan masing-masing sebagai satu unit. Total unit yang disusun adalah: Blok A, Blok B, dan sisa lukisan individual. Jumlah susunan dihitung dengan mengalikan: permutasi semua unit, dikali permutasi internal Blok A, dikali permutasi internal Blok B.
Metode blok ini apakah hanya berlaku untuk permutasi garis lurus?
Tidak selalu. Konsep serupa bisa digunakan untuk susunan melingkar, namun dengan modifikasi. Pada susunan melingkar, rotasi yang dianggap sama mempengaruhi perhitungan, sehingga rumus awal untuk posisi blok perlu disesuaikan dengan prinsip permutasi siklis.
Apa perbedaan mendasar antara soal ini dengan soal yang mensyaratkan “tidak boleh berdampingan”?
Pendekatannya berlawanan. Soal “tidak boleh berdampingan” biasanya diselesaikan dengan metode
-sisipan* atau dengan menghitung total susunan tanpa syarat dikurangi susunan di mana mereka berdampingan (yang dihitung menggunakan metode blok ini). Jadi, memahami konsep blok justru menjadi fondasi untuk menyelesaikan soal larangan berdampingan.
