Tentukan suku ke‑8 barisan 6, 9, 12, 15 bukan sekadar soal hitung-hitungan biasa, melainkan pintu masuk untuk memahami pola keteraturan yang elegan dalam matematika. Barisan bilangan seperti ini sering kita jumpai dalam berbagai aspek, mulai dari penjadwalan hingga perhitungan finansial sederhana, menunjukkan betapa konsep matematika dasar ini terintegrasi dalam keseharian.
Barisan aritmatika, dengan ciri khas selisih antar suku yang tetap, menawarkan metode perhitungan yang sistematis dan efisien. Melalui analisis terhadap barisan 6, 9, 12, 15, kita dapat mengungkap rumus umum yang tidak hanya menyelesaikan satu soal, tetapi juga memecahkan berbagai variasi persoalan serupa dengan presisi dan kecepatan.
Pengertian dan Konsep Dasar Barisan Aritmatika
Source: kompas.com
Dalam matematika, barisan aritmatika adalah salah satu konsep yang paling elegan dan praktis. Ia menggambarkan suatu daftar bilangan yang memiliki pola penambahan yang konsisten dari satu suku ke suku berikutnya. Pola yang teratur ini membuatnya mudah diprediksi dan ditemukan dalam berbagai aspek kehidupan sehari-hari, mulai dari pembayaran cicilan hingga pertumbuhan yang linear.
Ciri utama barisan aritmatika adalah selisih antara dua suku berurutan selalu tetap. Selisih konstan ini disebut dengan “beda” dan biasanya dilambangkan dengan huruf b. Jika bedanya positif, barisan akan naik; jika negatif, barisan akan turun. Contoh sederhana selain dari soal yang diberikan adalah menabung rutin. Misalnya, Anda menabung Rp50.000 setiap minggu.
Maka, jumlah tabungan Anda membentuk barisan aritmatika: 50.000, 100.000, 150.000, 200.000, dan seterusnya dengan beda Rp50.000.
Identifikasi Beda pada Barisan 6, 9, 12, 15
Untuk barisan yang diberikan, yaitu 6, 9, 12, 15, kita dapat dengan mudah menemukan bedanya. Kurangkan suku kedua dengan suku pertama: 9 – 6 =
3. Verifikasi dengan suku-suku berikutnya: 12 – 9 = 3 dan 15 – 12 = 3. Dengan demikian, beda barisan ini, dilambangkan b, adalah 3. Pola penambahan sebesar 3 inilah yang menjadi kunci untuk menentukan suku-suku selanjutnya.
Perbandingan Pola Dua Barisan Aritmatika
Untuk lebih memahami pengaruh beda terhadap pola bilangan, mari kita bandingkan lima suku pertama dari dua barisan aritmatika dengan suku awal yang sama tetapi beda yang berbeda. Barisan pertama kita ambil dengan suku awal (a) = 2 dan beda (b) = 3. Barisan kedua dengan suku awal (a) = 2, tetapi beda (b) = 5.
| Suku ke- (n) | Barisan A (a=2, b=3) | Barisan B (a=2, b=5) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 8 | 12 |
| 4 | 11 | 17 |
| 5 | 14 | 22 |
Tabel di atas dengan jelas menunjukkan bahwa meski dimulai dari angka yang sama, barisan dengan beda yang lebih besar (Barisan B) mengalami pertambahan nilai yang jauh lebih cepat. Ini mengilustrasikan betapa krusial peran nilai beda dalam menentukan karakteristik suatu barisan aritmatika.
Menentukan Rumus Suku Ke-n
Keunggulan utama mempelajari barisan aritmatika adalah adanya rumus umum yang memungkinkan kita menghitung suku ke-n tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya. Rumus ini adalah alat yang ampuh untuk efisiensi dan ketepatan perhitungan, terutama ketika berhadapan dengan suku yang urutannya sangat besar, seperti suku ke-100 atau ke-1000.
Langkah-langkah Menurunkan Rumus Un
Rumus suku ke-n ( Uₙ) dapat diturunkan dari pola dasar barisan. Misalkan suku pertama adalah a dan beda adalah b. Maka:
- Suku pertama: U₁ = a
- Suku kedua: U₂ = a + b
- Suku ketiga: U₃ = a + b + b = a + 2b
- Suku keempat: U₄ = a + b + b + b = a + 3b
Dari pola ini, terlihat bahwa untuk mencapai suku ke-n, kita menambahkan beda (b) sebanyak (n-1) kali ke suku pertama (a). Dengan demikian, rumus umumnya adalah:
Uₙ = a + (n – 1) × b
Rumus ini menjadi fondasi untuk menyelesaikan hampir semua masalah terkait barisan aritmatika. Penerapannya langsung dan sistematis.
Penerapan Rumus dalam Penyelesaian Soal
Cara menggunakan rumus ini sangat mudah. Identifikasi terlebih dahulu nilai a (suku pertama) dan b (beda) dari barisan yang diberikan. Kemudian, substitusikan nilai n (urutan suku yang ditanya) ke dalam rumus. Sebagai contoh sederhana, jika diketahui barisan aritmatika dengan a = 5 dan b = 4, maka suku ke-10 (U₁₀) adalah: U₁₀ = 5 + (10 – 1) × 4 = 5 + 36 = 41.
Dalam barisan aritmatika 6, 9, 12, 15, suku ke-8 dapat ditemukan dengan rumus Un = a + (n-1)b, menghasilkan U8 = 27. Perhitungan energi listrik pun mengikuti pola terukur, seperti yang dijelaskan dalam analisis Energi Raket Nyamuk 40 W/220 V Selama 2 Jam. Demikian pula, ketepatan rumus menjamin akurasi, baik dalam menghitung daya listrik maupun menentukan suku barisan tersebut.
Proses ini menghemat waktu dibandingkan dengan menuliskan sepuluh suku secara manual.
Penyelesaian Langkah demi Langkah Soal ‘Tentukan suku ke‑8’
Sekarang, kita terapkan konsep dan rumus yang telah dipelajari untuk menyelesaikan soal spesifik: menentukan suku ke-8 dari barisan 6, 9, 12, 15. Proses ini akan menunjukkan efisiensi dari penggunaan rumus dibandingkan metode manual.
Proses Perhitungan Menggunakan Rumus
Dari barisan 6, 9, 12, 15, kita peroleh data: suku pertama (a) = 6 dan beda (b) = 3. Kita diminta mencari suku ke-8 (n=8). Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus Uₙ = a + (n-1)b.
- U₈ = 6 + (8 – 1) × 3
- U₈ = 6 + (7) × 3
- U₈ = 6 + 21
- U₈ = 27
Jadi, suku ke-8 dari barisan tersebut adalah 27.
Tabel Nilai Suku ke-1 hingga ke-8
Berikut adalah tabel yang merinci nilai setiap suku, sekaligus menunjukkan penerapan rumus untuk setiap posisi. Tabel ini membantu memvisualisasikan pertambahan yang konsisten.
| n (Posisi Suku) | Rumus Uₙ = 6 + (n-1)×3 | Nilai Suku (Uₙ) | Selisih dari Suku Sebelumnya |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 + (0)×3 | 6 | – |
| 2 | 6 + (1)×3 | 9 | 3 |
| 3 | 6 + (2)×3 | 12 | 3 |
| 4 | 6 + (3)×3 | 15 | 3 |
| 5 | 6 + (4)×3 | 18 | 3 |
| 6 | 6 + (5)×3 | 21 | 3 |
| 7 | 6 + (6)×3 | 24 | 3 |
| 8 | 6 + (7)×3 | 27 | 3 |
Perbandingan dengan Metode Penjumlahan Berurutan
Tanpa rumus, kita bisa mencari suku ke-8 dengan melanjutkan pola penjumlahan: dari suku ke-4 (15), kita tambah 3 secara berulang untuk mendapatkan suku ke-5 (18), ke-6 (21), ke-7 (24), dan akhirnya ke-8 (27). Meski hasilnya sama, metode ini rentan kesalahan jika urutan suku yang dicari sangat besar, misalnya suku ke-
100. Di sinilah keunggulan rumus bersinar: perhitungan menjadi satu langkah langsung dan pasti.
Menentukan suku ke-8 barisan 6, 9, 12, 15 adalah soal pola aritmatika sederhana, di mana logika dan urutan menjadi kunci. Prinsip keteraturan ini juga fundamental dalam dunia digital, seperti halnya memahami Pengertian Sistem Operasi dan 5 Contoh Perangkat Lunaknya yang menjadi fondasi operasi komputer. Kembali ke barisan, dengan beda 3, suku ke-8 dapat dihitung secara sistematis, menunjukkan bagaimana rumus dan struktur memberikan jawaban yang pasti.
Variasi Soal dan Penerapan Konsep
Penguasaan konsep barisan aritmatika diuji melalui kemampuan menyelesaikan berbagai variasi soal. Soal tidak selalu memberikan suku pertama dan beda secara langsung. Kemampuan untuk memanipulasi rumus umum untuk menemukan variabel yang tidak diketahui adalah kunci utamanya.
Contoh Variasi Soal Latihan
Berikut tiga contoh soal dengan tingkat kesulitan berbeda untuk mengasah pemahaman:
- Tingkat Dasar: Diketahui barisan aritmatika 100, 93, 86, 79, … Tentukan suku ke-
15. (Petunjuk
perhatikan bedanya negatif).
- Tingkat Menengah: Suku pertama suatu barisan aritmatika adalah -8 dan suku ke-20 adalah 106. Tentukan beda barisan tersebut.
- Tingkat Lanjut: Dalam sebuah barisan aritmatika, suku ke-3 adalah 11 dan suku ke-7 adalah 27. Tentukan suku pertama dan suku ke-10 dari barisan itu.
Strategi Jika Diketahui Dua Suku Berjauhan
Misalkan diketahui suku pertama (a) = 10 dan suku kelima (U₅) = 26, lalu diminta mencari suku kedelapan (U₈). Langkah pertama adalah mencari beda (b) menggunakan informasi dari U₅. Kita tahu U₅ = a + 4b =
26. Maka, 10 + 4b = 26 → 4b = 16 → b =
4. Setelah b ditemukan, mencari U₈ menjadi mudah: U₈ = a + 7b = 10 + (7×4) = 38.
Menentukan suku ke-8 dari barisan 6, 9, 12, 15 sebenarnya cukup sederhana jika kita paham pola aritmatikanya. Untuk menguasai langkah-langkah sistematis dalam menyelesaikan soal semacam ini, simak panduan lengkap mengenai Cara Menyelesaikan Nomor 5. Dengan menerapkan rumus Un = a + (n-1)b, maka suku kedelapan barisan tersebut dapat dihitung dengan pasti, yakni 27.
Mencari Beda dari Suku Pertama dan Suku ke-n
Sebagai demonstrasi, jika diketahui suku pertama (a) = 5 dan suku ke-8 (U₈) = 33, kita dapat mencari beda (b). Gunakan rumus untuk U₈: U₈ = a + 7b =
33. Substitusi a: 5 + 7b = 33 → 7b = 28 → b = 4. Proses ini menunjukkan fleksibilitas rumus Uₙ = a + (n-1)b; semua variabel dapat dicari asalkan informasi yang diberikan cukup.
Visualisasi dan Pola Barisan: Tentukan Suku Ke‑8 Barisan 6, 9, 12, 15
Pemahaman terhadap barisan aritmatika dapat diperdalam melalui pendekatan visual. Representasi grafis dari barisan ini mengungkap sifat dasarnya yang linear, menghubungkan dunia bilangan diskrit dengan konsep kontinu dalam aljabar.
Pola Visual Barisan 6, 9, 12, 15
Bayangkan kita memetakan barisan ini pada bidang koordinat, di mana sumbu horizontal (x) mewakili nomor urut suku (n), dan sumbu vertikal (y) mewakili nilai suku (Uₙ). Titik-titik yang akan kita plot adalah (1,6), (2,9), (3,12), (4,15), (5,18), dan seterusnya. Jika titik-titik ini dihubungkan, mereka tidak membentuk garis lengkung, melainkan terletak sempurna pada sebuah garis lurus yang miring ke atas. Setiap kenaikan 1 langkah di sumbu n (posisi suku) akan selalu diikuti kenaikan tetap sebesar 3 (nilai b) di sumbu y (nilai suku).
Tabel Hubungan n, Uₙ, dan Selisih
Tabel berikut memperkuat hubungan linear antara posisi suku dan nilainya, sekaligus menegaskan konstannya selisih.
| n | Uₙ | Selisih (Uₙ – Uₙ₋₁) |
|---|---|---|
| 1 | 6 | – |
| 2 | 9 | 3 |
| 3 | 12 | 3 |
| 4 | 15 | 3 |
| 5 | 18 | 3 |
Penambahan Tetap sebagai Garis Lurus, Tentukan suku ke‑8 barisan 6, 9, 12, 15
Fakta bahwa selisih antar suku selalu tetap adalah alasan mengapa visualisasi barisan aritmatika membentuk garis lurus. Dalam matematika yang lebih tinggi, barisan ini merupakan fungsi linear dengan domain bilangan asli. Rumus Uₙ = a + (n-1)b dapat ditulis ulang sebagai Uₙ = b × n + (a – b), yang jelas berbentuk y = mx + c, dengan gradien m = b dan konstanta c = a – b.
Inilah mengapa pola penambahan yang sederhana ini memiliki kekuatan prediktif yang sangat akurat dan mendasar dalam pemodelan pertumbuhan yang stabil.
Ulasan Penutup
Dengan demikian, menyelesaikan permintaan tentukan suku ke‑8 barisan 6, 9, 12, 15 telah membawa kita pada pemahaman yang lebih dalam tentang pola dan struktur. Penguasaan terhadap rumus suku ke-n barisan aritmatika bukanlah akhir perjalanan, melainkan bekal berharga untuk menganalisis pola yang lebih kompleks, membuktikan bahwa matematika adalah bahasa universal untuk memahami keteraturan di sekitar kita.
Pertanyaan Umum yang Sering Muncul
Apakah barisan 6, 9, 12, 15 pasti berlanjut dengan menambah 3 terus-menerus?
Ya, karena barisan tersebut telah teridentifikasi sebagai barisan aritmatika dengan beda (selisih) yang konstan sebesar 3. Pola penambahan ini akan terus berlaku untuk suku-suku berikutnya.
Bagaimana jika yang ditanya adalah suku ke-100, apakah harus dihitung satu per satu?
Tidak perlu. Setelah menemukan rumus suku ke-n, yaitu Un = 3n + 3, kita hanya perlu mengganti nilai ‘n’ dengan 100. Perhitungan menjadi jauh lebih efisien dibandingkan metode penjumlahan berurutan.
Apakah ada barisan lain yang pola angkanya mirip tetapi bukan aritmatika?
Ada. Contohnya barisan 6, 9, 15, 24. Meski awalnya bertambah 3, selanjutnya bertambah 6, lalu 9. Selisihnya tidak konstan, sehingga bukan barisan aritmatika melainkan barisan dengan pola lain.
Mengapa penting mempelajari cara menentukan suku ke-n seperti dalam soal ini?
Konsep ini adalah fondasi untuk memahami deret aritmatika, analisis pola data, dan penyelesaian masalah pertumbuhan linear dalam bidang sains, ekonomi, dan pemrograman komputer.
