Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat (x+2)^2 = 25 itu ibarat membuka kado yang dibungkus rapi, di dalamnya ada dua kejutan manis berupa angka yang memuaskan. Kita seringkali mikir persamaan kuadrat itu ruwet dan bikin pusing, padahal kalau tahu triknya, soal seperti ini bisa diselesaikan cuma dalam hitungan menit. Yuk, kita bongkar bareng-bareng misteri di balik tanda kuadrat dan angka 25 itu dengan cara yang seru tapi tetap nggak ngawur.
Pada dasarnya, persamaan ini menanyakan nilai `x` apa saja yang jika ditambah 2 lalu dikuadratkan hasilnya sama dengan 25. Ada dua jalan menuju Roma—atau lebih tepatnya, dua nilai `x` yang memenuhi permintaan si persamaan ini. Kita akan jelajahi dua metode keren untuk menangkap kedua solusi itu, mulai dari cara paling langsung lewat akar kuadrat sampai dengan memainkan aljabar dengan metode pemfaktoran selisih kuadrat.
Memahami Persamaan dan Bentuk Umum
Sebelum kita menyelam ke dalam penyelesaian persamaan (x+2)² = 25, ada baiknya kita kenali dulu posisinya dalam keluarga besar persamaan kuadrat. Bentuk umum yang paling terkenal adalah ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta. Nah, persamaan kita ini sebenarnya sudah dalam bentuk yang sangat spesial dan ramah, yaitu bentuk kuadrat sempurna yang sudah terisolasi.
Langkah pertama yang langsung terpikir oleh kebanyakan orang adalah menghilangkan kuadratnya. Karena variabel x kita “terkurung” dalam bentuk kuadrat (x+2)², maka cara paling intuitif adalah dengan mengambil akar kuadrat dari kedua ruas. Tapi hati-hati, ini bukan akhir cerita, karena akar kuadrat selalu membawa dua kemungkinan: yang positif dan yang negatif.
Untuk memperjelas perbedaan antara bentuk yang kita miliki dan bentuk umum, mari kita lihat tabel perbandingan sederhana ini.
| Bentuk Kuadrat Sempurna (Seperti Soal) | Bentuk Umum ax² + bx + c = 0 |
|---|---|
| Variabel sudah dalam bentuk kuadrat sempurna, seperti (x + p)². | Variabel tersebar dalam tiga suku: suku kuadrat, linear, dan konstanta. |
| Konstanta berada di ruas yang berbeda, terpisah dari bentuk kuadrat. | Semua suku sudah berkumpul di satu ruas dan sama dengan nol. |
| Penyelesaian seringkali lebih cepat dengan metode akar kuadrat. | Penyelesaian bisa memerlukan pemfaktoran, rumus ABC, atau melengkapkan kuadrat. |
Contoh: (x+2)² = 25 |
Contoh setara: x² + 4x - 21 = 0 |
Metode Penyelesaian dengan Akar Kuadrat
Metode ini adalah jalan lurus yang paling terang untuk persamaan berbentuk (sesuatu)² = bilangan. Ide dasarnya sederhana: jika kotak suatu bilangan adalah 25, maka bilangan itu sendiri bisa 5 atau -5, karena baik 5² maupun (-5)² hasilnya sama-sama 25. Prinsip inilah yang kita terapkan.
Mengapa selalu ada dua solusi? Ini adalah sifat fundamental dari operasi pengkuadratan. Pengkuadratan menghilangkan tanda negatif. Jadi, ketika kita mencoba mencari bilangan asal yang dikuadratkan menjadi positif, kita harus mempertimbangkan dua calon dari dunia bilangan real: si positif dan si negatifnya.
Berikut adalah langkah-langkah sistematis yang bisa kamu ikuti dari nol hingga mendapatkan nilai x.
- Langkah 1: Tuliskan persamaan awal dengan jelas:
(x + 2)² = 25. - Langkah 2: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas. Ingat untuk menyertakan tanda ± (plus-minus).
√[(x+2)²] = ±√25
- Langkah 3: Sederhanakan. Akar kuadrat dan kuadrat saling meniadakan di ruas kiri, dan hitung akar kuadrat dari 25 di ruas kanan.
x + 2 = ±5
- Langkah 4: Pecahkan menjadi dua persamaan linear terpisah berdasarkan tanda plus-minus.
- Kasus 1 (tanda +):
x + 2 = 5→x = 5 - 2→x = 3. - Kasus 2 (tanda -):
x + 2 = -5→x = -5 - 2→x = -7.
- Kasus 1 (tanda +):
- Langkah 5: Tuliskan himpunan penyelesaian yang berisi kedua nilai
xyang ditemukan.
Metode Penyelesaian dengan Memindahkan Ruas: Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat (x+2)^2 = 25
Selain metode akar kuadrat, ada pendekatan lain yang lebih mengarah ke bentuk umum, yaitu dengan memindahkan semua suku ke satu ruas. Teknik ini memanfaatkan keahlian kita dalam memfaktorkan, khususnya untuk pola selisih dua kuadrat yang sangat elegan.
Dengan memindahkan 25 ke ruas kiri, kita mendapatkan (x+2)². Sekarang, perhatikan baik-baik:
-25 = 0 (x+2)² adalah suatu kuadrat dan 25 (yang bisa ditulis 5²) juga adalah suatu kuadrat. Kita punya bentuk A² yang terkenal dengan rumus pemfaktorannya menjadi
-B² (A - B)(A + B).
Proses pemfaktoran ini mengubah persamaan kita dari bentuk kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Jika hasil kali dua hal adalah nol, maka setidaknya salah satunya haruslah nol. Inilah logika yang memandu kita ke solusi. Perhatikan contoh penyelesaian lengkapnya di bawah ini.
(x+2)²
25 = 0
(x+2)²
(5)² = 0
[(x+2)
- 5]
- [(x+2) + 5] = 0
(x – 3)
Nah, kalau kamu lagi sibuk cari himpunan penyelesaian dari (x+2)² = 25, ingat ya, jawabannya itu ada dua kemungkinan: x = 3 atau x = -7. Mirip kayak sejarah yang nggak cuma hitam putih, contohnya saat kita bahas Faktor-faktor Kemunduran Kerajaan Aceh yang kompleks dan berlapis. Jadi, dalam matematika maupun sejarah, menemukan akar permasalahan—baik itu nilai x atau penyebab keruntuhan—selalu butuh analisis yang jeli dan melihat dari berbagai sisi, persis seperti menyelesaikan persamaan kuadrat tadi.
(x + 7) = 0
Dari sini, kita punya dua kemungkinan:
x – 3 = 0 → x = 3
atau
x + 7 = 0 → x = -7
Verifikasi Solusi yang Diperoleh
Setelah mendapatkan angka-angka cantik seperti 3 dan -7, jangan langsung berpuas diri. Verifikasi adalah ritual wajib dalam matematika untuk memastikan kita tidak melakukan kesalahan hitung kecil yang fatal. Caranya mudah: masukkan (substitusi) setiap nilai x yang kita dapatkan kembali ke dalam persamaan asli, lalu lihat apakah ruas kiri sama dengan ruas kanan.
Verifikasi bukan sekadar formalitas. Dalam konteks himpunan penyelesaian, ini adalah bukti final bahwa angka-angka tersebut memang benar-benar anggota solusi, bukan sekadar “calon” yang muncul dari proses aljabar. Mari kita lakukan verifikasi secara sistematis dalam tabel berikut.
| Solusi (x) | Substitusi ke (x+2)² | Perhitungan | Status |
|---|---|---|---|
| 3 | (3 + 2)² | 5² = 25 | Benar ✓ |
| -7 | (-7 + 2)² | (-5)² = 25 | Benar ✓ |
Kedua substitusi menghasilkan nilai 25, yang persis sama dengan ruas kanan persamaan awal. Dengan ini, kita bisa yakin 100% bahwa himpunan penyelesaian kita sudah tepat.
Interpretasi Grafis dan Ilustrasi Konseptual
Setiap persamaan punya cerita visualnya sendiri. Persamaan (x+2)² = 25 bisa kita baca sebagai pertanyaan: “Di nilai x berapa, kurva dari fungsi f(x) = (x+2)² memotong garis horizontal y = 25?”.
Bayangkan sebuah grafik parabola yang terbuka ke atas, dengan puncak (titik minimum) berada di titik (-2, 0). Parabola ini simetris terhadap garis vertikal x = -2. Garis y = 25 adalah garis lurus mendatar yang berada 25 unit di atas sumbu-X. Parabola dan garis ini akan berpotongan di dua titik, karena parabola terbuka ke atas dan garis tersebut berada di atas puncaknya.
Koordinat titik potong tersebut adalah (-7, 25) dan (3, 25). Perhatikan nilai x-nya: -7 dan 3. Inilah solusi aljabar kita yang muncul dalam wujud geometris. “Himpunan penyelesaian” -7, 3 secara grafis merepresentasikan kumpulan absis (nilai x) dari titik-titik potong tersebut. Dalam notasi matematika, kita tulis HP = -7, 3 .
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Setelah menguasai satu, kamu sebenarnya sudah menguasai banyak. Pola persamaan (x ± a)² = b adalah pola yang sangat umum. Misalnya, coba selesaikan (x - 3)² = 16. Prosesnya identik: akar kuadratkan kedua ruas sehingga dapat x - 3 = ±4, lalu selesaikan untuk x = 7 dan x = -1.
Pola umumnya selalu sama: setelah mengambil akar kuadrat, kamu akan mendapatkan x ± a = ±√b, yang kemudian dipecah menjadi dua persamaan linear sederhana. Untuk melihat pola ini dengan lebih jelas, mari bandingkan beberapa variasi soal dalam tabel berikut.
| Persamaan | Langkah Pertama Kunci | Solusi Akhir (HP) |
|---|---|---|
| (x + 2)² = 25 | x + 2 = ±5 | 3, -7 |
| (x – 3)² = 16 | x – 3 = ±4 | 7, -1 |
| (x + 5)² = 9 | x + 5 = ±3 | -2, -8 |
| (x – 1)² = 100 | x – 1 = ±10 | 11, -9 |
Dari tabel di atas, terlihat pola yang konsisten. Nilai a dalam tanda kurung akan berpindah ruas dengan tanda berbalik, sementara akar dari b memberikan dua konstanta yang berbeda tanda. Memahami pola ini akan mempercepat penyelesaianmu untuk berbagai soal dengan struktur serupa.
Simpulan Akhir
Source: z-dn.net
Jadi, begitulah ceritanya. Himpunan penyelesaian dari (x+2)² = 25 akhirnya terungkap jelas: 3, –
7. Dua angka yang terpisah jauh ini bersatu karena aturan kuadrat yang adil. Pelajaran pentingnya, matematika sering menyembunyikan lebih dari satu jawaban valid di balik kesan rumitnya. Setelah ini, kalau ketemu soal serupa, langsung aja ingat intinya: ada dua kemungkinan, verifikasi selalu perlu, dan grafik adalah sahabat terbaik untuk membuktikannya.
Semangat terus menjelajah dunia angka!
Pertanyaan dan Jawaban
Apakah persamaan (x+2)² = 25 bisa diselesaikan dengan rumus ABC?
Bisa, tapi kurang efisien. Pertama, persamaan harus diubah dulu ke bentuk umum ax²+bx+c=0 menjadi x² + 4x + 4 – 25 = 0 atau x² + 4x -21 = 0. Baru kemudian dimasukkan ke rumus ABC. Metode akar kuadrat langsung lebih cepat untuk bentuk ini.
Nah, setelah kamu beres menemukan himpunan penyelesaian dari (x+2)² = 25, yang hasilnya adalah x = 3 atau x = -7, pasti kamu udah makin pede ngerjain soal aljabar. Tantangan selanjutnya adalah mengolah bentuk akar yang lebih kompleks, kayak saat kamu diminta untuk Hitung (a‑1)(a+1) untuk a = √98 − 5√8. Latihan seperti ini bakal nge-sharpin logika matematikamu, yang ujung-ujungnya bikin kamu makin jago dan cekatan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat kayak tadi.
Mengapa hasilnya dua angka yang selisihnya jauh, 3 dan -7?
Karena konsep akar kuadrat. Persamaan (x+2)² = 25 berarti (x+2) bisa bernilai akar kuadrat positif dari 25 (yaitu 5) atau negatifnya (yaitu -5). Dari sini didapat x+2=5 menghasilkan x=3, dan x+2=-5 menghasilkan x=-7.
Bagaimana jika angka di ruas kanan bukan 25 tapi bilangan negatif, seperti (x+2)² = -25?
Maka himpunan penyelesaiannya akan berbeda. Karena kuadrat suatu bilangan real tidak mungkin negatif, persamaan (x+2)² = -25 tidak memiliki solusi bilangan real. Solusinya akan melibatkan bilangan imajiner (i), yaitu x = -2 ± 5i.
Apakah himpunan penyelesaian 3, -7 bisa ditulis sebagai -7, 3?
Bisa sekali! Urutan anggota dalam himpunan tidak penting. Baik ditulis 3, -7 maupun -7, 3, keduanya menyatakan himpunan yang sama persis.
Dalam kehidupan sehari-hari, ada nggak sih contoh penerapan persamaan seperti ini?
Ada. Misalnya dalam perhitungan jarak atau desain. Bayangkan sebuah titik pada garis bilangan yang bergerak, dan kita ingin tahu posisi awalnya jika setelah ditambah 2 satuan dan dikuadratkan luasnya menjadi 25. Konsep serupa juga muncul dalam analisis break-even point tertentu pada ekonomi.
