Tentukan Persamaan Lingkaran L2 dari Garis Singgung 3y‑4x‑30=0 merupakan tantangan geometri analitik yang menarik, di mana sebuah garis lurus membuka petunjuk untuk mengungkap bentuk lingkaran yang tersembunyi. Soal semacam ini tidak hanya menguji pemahaman konsep dasar, tetapi juga mengajak kita untuk menyelami hubungan elegan antara garis lurus dan kurva lengkung dalam bidang koordinat. Dengan pendekatan yang tepat, garis singgung yang tampak sebagai batas justru menjadi kunci untuk menemukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.
Persoalan ini bermula dari sebuah garis dengan persamaan 3y – 4x – 30 = 0 yang diketahui sebagai garis singgung suatu lingkaran, sebut saja L2. Tantangannya adalah merekonstruksi persamaan lingkaran L2 hanya dari informasi tersebut. Prosesnya melibatkan analisis mendalam terhadap sifat garis, perhitungan jarak titik ke garis, dan penerapan rumus dasar persamaan lingkaran, baik dalam bentuk baku maupun umum. Keberhasilan menemukan solusinya akan memberikan kepuasan tersendiri, layaknya memecahkan teka-teki matematika yang elegan.
Menyelesaikan soal Tentukan Persamaan Lingkaran L2 dari Garis Singgung 3y‑4x‑30=0 memerlukan ketelitian, layaknya mempelajari istilah teknis dalam Bahasa Inggris untuk hewan bertulang belakang. Keduanya sama-sama mengandalkan pemahaman konsep dasar yang kuat. Dalam matematika, setelah memahami garis singgung, langkah selanjutnya adalah menentukan pusat dan jari-jari lingkaran L2 untuk merumuskan persamaannya secara tepat.
Konsep Dasar Lingkaran dan Garis Singgung: Tentukan Persamaan Lingkaran L2 Dari Garis Singgung 3y‑4x‑30=0
Memahami persamaan lingkaran dan garis singgungnya adalah fondasi penting dalam geometri analitik. Lingkaran, sebagai himpunan titik yang berjarak sama dari satu titik pusat, dapat dinyatakan dalam dua bentuk utama. Bentuk baku, yaitu (x – a)² + (y – b)² = r², secara langsung memperlihatkan koordinat pusat (a, b) dan panjang jari-jari r. Sementara itu, bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0 lebih sering ditemui dalam soal-soal gabungan, di mana pusat dan jari-jarinya tersembunyi dan perlu diungkap melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.Sebuah garis dikatakan menyinggung lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut memotong lingkaran tepat di satu titik.
Secara aljabar, ini diterjemahkan ke dalam kondisi diskriminan (D) dari hasil substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran yang bernilai nol. Secara geometris yang lebih intuitif, jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung tersebut harus persis sama dengan panjang jari-jari lingkaran. Konsep jarak titik ke garis inilah yang akan menjadi senjata utama kita dalam menyelesaikan masalah.
| Bentuk | Persamaan | Pusat | Jari-jari | Contoh |
|---|---|---|---|---|
| Baku | (x – a)² + (y – b)² = r² | (a, b) | r | (x – 2)² + (y + 1)² = 9 Pusat (2, -1), r = 3 |
| Umum | x² + y² + Ax + By + C = 0 | (-½A, -½B) | √[(½A)² + (½B)² – C] | x² + y²
|
Analisis Garis Singgung 3y – 4x – 30 = 0
Sebelum melangkah lebih jauh, mari kita kenali dengan baik karakter garis singgung yang diberikan, yaitu 3y – 4x – 30 = 0. Untuk analisis yang lebih mudah, kita ubah persamaan ini ke dalam bentuk eksplisit y = mx + c. Dengan melakukan manipulasi aljabar sederhana, kita peroleh 3y = 4x + 30, yang kemudian dibagi 3 menjadi y = (4/3)x + 10.Dari bentuk ini, informasi kunci langsung terungkap.
Gradien atau kemiringan garis (m) adalah 4/3, yang berarti untuk setiap pergeseran 3 satuan ke kanan, garis naik 4 satuan. Nilai c = 10 menunjukkan bahwa garis memotong sumbu-Y di titik (0, 10). Untuk menemukan titik potong sumbu-X, kita set y = 0, sehingga 0 = (4/3)x + 10, yang menghasilkan x = -7.5. Jadi, garis juga melalui titik (-7.5, 0).
Garis ini membentuk sudut lancip terhadap sumbu-X karena gradiennya positif, dan secara visual ia akan melintang dari kuadran II (kiri atas) menuju kuadran I (kanan atas).
Hubungan Jarak Pusat ke Garis sebagai Jari-jari, Tentukan Persamaan Lingkaran L2 dari Garis Singgung 3y‑4x‑30=0
Inti dari pencarian persamaan lingkaran dari sebuah garis singgung terletak pada hubungan geometris yang fundamental: jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran tersebut. Rumus jarak titik (a, b) ke garis Ax + By + C = 0 adalah d = |A*a + B*b + C| / √(A² + B²). Jika garis tersebut adalah garis singgung, maka nilai d ini tidak lain adalah r.Dengan kata lain, jika kita menduga atau mengetahui koordinat pusat lingkaran L2 adalah (h, k), maka berlaku persamaan mutlak berikut:
|A*h + B*k + C| / √(A² + B²) = r
Menentukan persamaan lingkaran L2 yang bersinggungan dengan garis 3y‑4x‑30=0 memerlukan presisi, mirip dengan perencanaan strategis suatu bangsa. Optimisme serupa terlihat ketika Indonesia Raih Bonus Demografi 2030, Kesejahteraan Tetap Terjaga , di mana kalkulasi kebijakan yang tepat akan menentukan hasil optimal. Demikian pula, akurasi dalam menghitung jari-jari dan titik pusat L2 menjadi kunci untuk mendapatkan solusi matematis yang solid dan berkelanjutan.
Dalam kasus kita, garis singgungnya adalah 3y – 4x – 30 = 0 (atau -4x + 3y – 30 = 0). Jadi, A = -4, B = 3, dan C = -30. Nilai √(A² + B²) = √((-4)² + 3²) = √(16+9) = √25 = 5. Persamaan jaraknya menjadi | -4h + 3k – 30 | / 5 = r.
Persamaan ini menjadi kunci constraint yang harus dipenuhi oleh pusat (h, k) dan jari-jari r dari lingkaran L2 yang kita cari.
Merumuskan Persamaan Lingkaran L2
Di sini kita menghadapi situasi yang menarik. Informasi yang diberikan hanya satu garis singgung. Secara matematis, ini belum cukup untuk menentukan sebuah lingkaran secara unik. Bayangkan ada tak terhingga banyaknya lingkaran dengan jari-jari berbeda yang dapat menyinggung sebuah garis tertentu. Pusat-pusatnya terletak pada dua garis yang sejajar dengan garis singgung, berjarak r di kiri dan kanannya.
Oleh karena itu, untuk menemukan persamaan L2 yang spesifik, kita perlu informasi tambahan. Dalam konteks soal yang umum, informasi ini seringkali berupa bahwa lingkaran L2 juga melalui titik tertentu, atau menyinggung garis lain, atau memiliki jari-jari dengan nilai tertentu.Mari kita buat prosedur umum dan berikan contoh. Misalkan kita tambahkan informasi bahwa lingkaran L2 memiliki jari-jari 5 satuan. Maka langkah-langkahnya sistematis.
- Identifikasi Koefisien Garis: Dari garis 3y – 4x – 30 = 0, kita punya A = -4, B = 3, C = -30. √(A²+B²) = 5.
- Substitusi ke Rumus Jarak: | -4h + 3k – 30 | / 5 = r. Dengan r = 5, persamaan menjadi | -4h + 3k – 30 | = 25.
- Selesaikan Persamaan Mutlak: Persamaan mutlak ini menghasilkan dua kemungkinan persamaan linear:
- Kemungkinan 1: -4h + 3k – 30 = 25 → -4h + 3k = 55
- Kemungkinan 2: -4h + 3k – 30 = -25 → -4h + 3k = 5
- Cari Pusat (h,k): Setiap persamaan (K1 dan K2) masih memiliki banyak solusi. Kita butuh syarat lain. Misalkan ditambah syarat bahwa pusat lingkaran juga terletak pada garis y = 2x. Maka kita selesaikan sistem persamaan.
- Dari K1 dan y=2x (k=2h): -4h + 3(2h) = 55 → -4h+6h=55 → 2h=55 → h=27.5, k=55.
Menentukan persamaan lingkaran L2 dari garis singgung 3y‑4x‑30=0 memerlukan ketelitian analitis, mirip dengan memahami proses kompleks dalam tubuh. Seperti halnya Organ tempat makanan mengalami proses kimia yang bekerja sistematis, penurunan rumus lingkaran ini pun mengikuti prinsip matematika yang presisi. Dengan demikian, solusi akhir untuk L2 dapat diperoleh melalui pendekatan yang terstruktur dan otoritatif.
Pusat (27.5, 55).
- Dari K2 dan y=2x: -4h + 3(2h) = 5 → 2h=5 → h=2.5, k=5. Pusat (2.5, 5).
- Dari K1 dan y=2x (k=2h): -4h + 3(2h) = 55 → -4h+6h=55 → 2h=55 → h=27.5, k=55.
- Tulis Persamaan Lingkaran: Dengan r=5, kita peroleh dua kemungkinan lingkaran:
- L2a: (x – 27.5)² + (y – 55)² = 25
- L2b: (x – 2.5)² + (y – 5)² = 25
| Variabel Diketahui | Rumus/Kondisi | Hasil Perhitungan |
|---|---|---|
| Garis Singgung: 3y-4x-30=0 | Bentuk umum: Ax+By+C=0 | A=-4, B=3, C=-30, √(A²+B²)=5 |
| Jari-jari r = 5 | Jarak pusat(h,k) ke garis = r | | -4h + 3k – 30 | / 5 = 5 → | -4h+3k-30 | = 25 |
| Syarat tambahan: Pusat pada y=2x | k = 2h | Substitusi k=2h ke persamaan mutlak |
| Kemungkinan Solusi | Persamaan Lingkaran | Pusat (h, k) |
| Kemungkinan 1 (-4h+3k=55) | (x – 27.5)² + (y – 55)² = 25 | (27.5, 55) |
| Kemungkinan 2 (-4h+3k=5) | (x – 2.5)² + (y – 5)² = 25 | (2.5, 5) |
Variasi Contoh dengan Garis Singgung Berbeda
Sebagai ilustrasi tambahan, bayangkan garis singgungnya adalah y = 5 (garis horizontal) dan diketahui lingkaran berjari-jari 3 serta pusatnya terletak pada garis x =
- Jarak dari pusat (1, k) ke garis y=5 adalah |k – 5|. Karena ini harus sama dengan jari-jari 3, maka |k – 5| = 3, yang memberikan k = 8 atau k =
- Jadi, ada dua lingkaran yang memenuhi: (x-1)² + (y-8)² = 9 dan (x-1)² + (y-2)² = 9. Contoh ini menunjukkan bagaimana informasi garis singgung dan satu syarat tambahan dapat mengarah pada satu atau dua solusi yang mungkin.
Verifikasi dan Cakupan Penerapan
Setelah mendapatkan persamaan lingkaran, penting untuk melakukan verifikasi bahwa garis yang diberikan benar-benar menyinggung. Cara paling langsung adalah dengan mensubstitusikan persamaan garis (dalam bentuk y = mx+c) ke dalam persamaan lingkaran, lalu menunjukkan bahwa diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah nol. Cara geometris yang lebih cepat adalah menghitung jarak dari pusat yang telah ditemukan ke garis singgung dan memastikan hasilnya persis sama dengan jari-jari yang digunakan.Perlu ditekankan bahwa tanpa informasi tambahan (seperti jari-jari, titik lain pada lingkaran, atau garis singgung kedua), persamaan lingkaran L2 tidak dapat ditentukan secara tunggal.
Soal-soal dalam konteks ujian atau aplikasi selalu menyertakan informasi pelengkap tersebut. Kemampuan inti yang diuji adalah pemahaman untuk menyusun dan menyelesaikan persamaan jarak sebagai bagian dari sistem persamaan.
Poin-poin kritis dalam menentukan persamaan lingkaran dari garis singgung:
- Rumus jarak titik (pusat) ke garis adalah alat utama.
- Satu garis singgung hanya memberikan satu persamaan constraint, sehingga dibutuhkan informasi tambahan untuk menentukan lingkaran secara spesifik.
- Persamaan jarak melibatkan nilai mutlak, yang selalu menghasilkan dua kemungkinan garis tempat pusat lingkaran dapat berada (keduanya sejajar dengan garis singgung).
- Verifikasi akhir dengan menghitung diskriminan atau jarak pusat ke garis merupakan langkah pengecekan yang penting.
Penutup
Dengan demikian, proses menentukan persamaan lingkaran L2 dari garis singgung 3y–4x–30=0 telah menunjukkan kekuatan pendekatan analitik dalam matematika. Dari sebuah garis lurus, kita berhasil menyimpulkan keberadaan sebuah lingkaran lengkap dengan pusat dan jari-jarinya. Pemahaman ini bukan sekadar penyelesaian soal, melainkan fondasi untuk menyelesaikan masalah geometri yang lebih kompleks, seperti menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik tertentu atau menyinggung beberapa garis sekaligus.
Pada akhirnya, setiap garis singgung menyimpan cerita tentang lingkaran yang disentuhnya, dan matematika memberikan kita bahasa untuk menceritakannya.
FAQ Terpadu
Apakah hanya ada satu lingkaran L2 yang mungkin dari garis singgung tersebut?
Tidak. Dengan hanya satu garis singgung, terdapat tak hingga kemungkinan lingkaran L2 yang pusatnya berada pada jarak (jari-jari) yang sama dari garis tersebut, tetapi di sisi yang berbeda. Soal biasanya melengkapi dengan informasi tambahan, seperti jari-jari tertentu atau titik pusat yang terletak pada garis lain.
Bagaimana jika garis yang diberikan bukan garis singgung?
Jika garis tersebut bukan garis singgung (memotong atau tidak menyentuh lingkaran), maka soal menjadi tidak terdefinisi. Konsep “menentukan lingkaran dari garis singgung” mensyaratkan bahwa garis tersebut benar-benar menyinggung lingkaran yang dicari.
Apakah harus mengubah bentuk persamaan garis ke y = mx + c?
Tidak harus, tetapi sangat disarankan. Bentuk y = mx + c memudahkan identifikasi gradien (m). Namun, rumus jarak titik ke garis Ax + By + C = 0 dapat digunakan langsung tanpa mengubah bentuk, asalkan koefisiennya diidentifikasi dengan benar.
Apakah lingkaran L2 pasti berpusat di (0,0)?
Tidak sama sekali. Pusat lingkaran L2 tidak diberikan dalam soal, sehingga harus dicari. Asumsi bahwa pusatnya di titik (0,0) hanya berlaku jika ada informasi tambahan bahwa lingkaran tersebut berpusat di titik asal.
