Menentukan Jari‑jari Kedua Lingkaran dari Jarak Pusat 13 cm dan Garis Singgung 12 cm adalah sebuah teka-teki geometri yang elegan, di mana jawabannya ternyata tidak tunggal. Soal ini mengajak kita untuk menyelami hubungan dinamis antara dua lingkaran yang dihubungkan oleh sebuah garis lurus yang hanya menyentuh masing-masing lingkaran di satu titik, dikenal sebagai garis singgung persekutuan luar.
Dengan jarak antara pusat kedua lingkaran sebesar 13 cm dan panjang garis singgung tersebut 12 cm, persoalan ini mengandalkan penerapan teorema Pythagoras yang legendaris. Analisis akan mengungkap bahwa yang dapat ditemukan bukanlah nilai pasti masing-masing jari-jari, melainkan sebuah hubungan matematis yang memungkinkan berbagai kombinasi pasangan jari-jari, membuka ruang eksplorasi yang menarik dari sebuah data yang tampaknya terbatas.
Menentukan Jari-jari Dua Lingkaran dari Jarak Pusat dan Garis Singgung
Dalam geometri, hubungan antara dua lingkaran yang tidak berpotongan seringkali dijelaskan melalui konsep garis singgung persekutuan. Salah satu kasus yang menarik adalah ketika kita mengetahui jarak antara kedua pusat lingkaran dan panjang garis singgung persekutuan luarnya, namun jari-jari masing-masing lingkaran belum diketahui. Situasi ini menciptakan teka-teki matematika yang tidak menghasilkan satu jawaban mutlak, melainkan serangkaian kemungkinan yang memenuhi syarat. Artikel ini akan membedah masalah tersebut secara mendalam, dimulai dari pemahaman konsep dasar hingga eksplorasi berbagai solusi yang mungkin.
Konsep Dasar Garis Singgung Persekutuan Luar, Menentukan Jari‑jari Kedua Lingkaran dari Jarak Pusat 13 cm dan Garis Singgung 12 cm
Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah sebuah garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran pada titik yang berbeda dan terletak di sisi yang sama terhadap garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Bayangkan dua buah roda dengan ukuran berbeda yang diletakkan terpisah di atas meja. Sebuah penggaris lurus diletakkan sedemikian rupa sehingga menyentuh tepi kedua roda tanpa memotongnya. Penggaris itu merepresentasikan garis singgung persekutuan luar.
Jarak antara titik pusat kedua roda adalah jarak pusat (d), sedangkan panjang penggaris di antara dua titik singgungnya adalah panjang garis singgung (l).
Kunci penyelesaian masalah ini terletak pada pembentukan sebuah segitiga siku-siku imajiner. Jika kita tarik garis dari pusat lingkaran besar ke pusat lingkaran kecil, lalu kita tarik jari-jari dari masing-masing pusat ke titik singgung garis, dan terakhir kita tarik garis dari pusat lingkaran besar yang sejajar dengan garis singgung, maka akan terbentuk segitiga siku-siku. Segitiga ini memiliki sisi miring sepanjang jarak pusat (d), sisi depan sepanjang garis singgung (l), dan sisi alas yang panjangnya merupakan selisih antara jari-jari lingkaran besar (R) dan lingkaran kecil (r).
Dengan demikian, Teorema Pythagoras menjadi landasan utama perhitungan.
Rumusan Matematika dan Identifikasi Variabel
Source: slidesharecdn.com
Berdasarkan deskripsi geometris di atas, hubungan antara jarak pusat (d), panjang garis singgung persekutuan luar (l), dan jari-jari kedua lingkaran (R dan r, dengan R ≥ r) dirumuskan dalam persamaan berikut:
l² = d²
(R – r)²
Persamaan ini merupakan inti dari pembahasan. Untuk memudahkan pemahaman, semua variabel yang terlibat dapat disusun dalam tabel berikut.
| Simbol | Deskripsi | Satuan |
|---|---|---|
| d | Jarak antara kedua pusat lingkaran | cm |
| l | Panjang garis singgung persekutuan luar | cm |
| R | Jari-jari lingkaran yang lebih besar | cm |
| r | Jari-jari lingkaran yang lebih kecil | cm |
Dari pernyataan soal, kita telah mendapatkan data yang diketahui, yaitu jarak pusat d = 13 cm dan panjang garis singgung l = 12 cm. Nilai yang belum diketahui dan harus kita eksplorasi adalah pasangan nilai untuk R dan r.
Menentukan jari‑jari dua lingkaran dengan jarak pusat 13 cm dan garis singgung 12 cm memerlukan penerapan teorema Pythagoras secara cermat, serupa dengan logika sistematis dalam menganalisis Peluang Panitia Inti 6 Orang Memiliki ≤2 Putri. Keduanya mengandalkan prinsip kombinatorial dan geometri yang presisi. Setelah memahami pola tersebut, kita kembali fokus pada hubungan (R − r)² = 13² − 12² = 25, sehingga selisih jari‑jarinya adalah 5 cm.
Proses Penyelesaian Aljabar
Langkah pertama adalah mensubstitusi nilai yang diketahui ke dalam rumus umum. Dengan d = 13 dan l = 12, kita peroleh:
12² = 13²
- (R – r)²
- = 169 – (R – r)²
Selanjutnya, kita sederhanakan persamaan tersebut untuk mengisolasi suku selisih jari-jari.
(R – r)² = 169 – 144
(R – r)² = 25
Dengan menarik akar kuadrat dari kedua ruas, kita mendapatkan hubungan mendasar antara R dan r:
R – r = 5
Menentukan jari-jari dua lingkaran dengan jarak pusat 13 cm dan panjang garis singgung persekutuan luar 12 cm memerlukan penerapan teorema Pythagoras secara cermat. Proses analitis dalam menyelesaikan persamaan kuadrat ini mengingatkan pada kompleksitas menganalisis dinamika sejarah, sebagaimana terlihat dalam Pendapat tentang Konflik Sahabat pada Masa Kepemimpinan Ali yang juga menuntut ketelitian mengurai berbagai perspektif. Kembali ke geometri, solusi akhir dari masalah lingkaran tersebut memberikan pemahaman konkret tentang hubungan antara besaran-besaran dalam rumus.
Perlu dicatat bahwa karena R ≥ r, kita hanya mengambil nilai akar positif. Persamaan akhir ini sangat elegan: selisih antara jari-jari lingkaran besar dan kecil haruslah tepat 5 cm. Inilah satu-satunya batasan yang diberikan oleh data soal.
Eksplorasi Pasangan Nilai Jari-jari yang Mungkin
Hasil aljabar di atas mengungkap sebuah insight penting: soal ini tidak memiliki solusi tunggal. Selama selisih antara R dan r adalah 5 cm, dan kedua nilai tersebut positif serta masuk akal secara geometri (misalnya, jari-jari tidak boleh lebih besar dari jarak pusat), maka pasangan itu adalah jawaban yang valid. Dengan kata lain, terdapat tak terhingga banyaknya pasangan (R, r) yang memenuhi, baik berupa bilangan bulat maupun pecahan.
Berikut adalah beberapa contoh pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan R – r = 5.
| No. | Nilai R (cm) | Nilai r (cm) | Verifikasi (R – r = 5) |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 5 | 10 – 5 = 5 → Benar |
| 2 | 8 | 3 | 8 – 3 = 5 → Benar |
| 3 | 6.5 | 1.5 | 6.5 – 1.5 = 5 → Benar |
| 4 | 15 | 10 | 15 – 10 = 5 → Benar |
Sebagai contoh verifikasi yang lebih detail, mari kita uji pasangan pertama (R=10, r=5) ke dalam rumus awal untuk memastikan panjang garis singgungnya kembali menjadi 12 cm.
l = √[d²
(R – r)²]
l = √[13²
(10 – 5)²]
l = √[169 – 25]
l = √144 = 12 cm
Hasil perhitungan sesuai dengan data awal, yang membuktikan kebenaran pasangan nilai tersebut.
Penerapan dalam Berbagai Variasi Soal
Dalam konteks soal yang lebih lengkap, biasanya salah satu jari-jari turut diberikan. Prosedur penyelesaiannya menjadi sangat langsung. Setelah mengetahui selisih jari-jari adalah 5, jika jari-jari besar (R) diketahui, maka jari-jari kecil (r) adalah R – 5. Sebaliknya, jika jari-jari kecil (r) diketahui, maka jari-jari besar (R) adalah r + 5.
Berikut dua contoh soal turunan berdasarkan data yang sama.
Contoh 1: Diketahui jarak pusat dua lingkaran adalah 13 cm dan panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm. Jika jari-jari lingkaran besar adalah 9 cm, berapakah jari-jari lingkaran kecil?
Penyelesaian: Dari hubungan R – r = 5, maka r = R – 5 = 9 – 5 = 4 cm.
Contoh 2: Dalam kondisi yang sama, jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 7 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Penyelesaian: Ada dua kemungkinan. Jika 7 cm adalah jari-jari besar (R), maka r = 2 cm. Jika 7 cm adalah jari-jari kecil (r), maka R = 12 cm. Kedua jawaban mungkin selama nilai jari-jari positif.
Strategi untuk merancang soal serupa adalah dengan memilih tiga bilangan yang memenuhi Teorema Pythagoras. Pilihlah dua bilangan sebagai d dan l, misalnya 10 dan 8, maka selisih jari-jari (R – r) = √(10²
-8²) = 6. Kemudian, tentukan salah satu nilai R atau r secara bebas, dan soal pun siap disusun.
Interpretasi Geometris dan Batasan Nilai
Secara geometris, perubahan salah satu jari-jari sementara jarak pusat tetap akan langsung mempengaruhi panjang garis singgung. Jika selisih jari-jari (R – r) membesar, maka nilai (R – r)² juga membesar. Mengingat l² = d²
-(R – r)², maka panjang garis singgung l akan mengecil. Artinya, semakin besar perbedaan ukuran kedua lingkaran, semakin pendek garis singgung persekutuan luarnya, jika jarak pusat mereka dipertahankan.
Segitiga siku-siku yang terbentuk memiliki sisi-sisi dengan interpretasi yang jelas: sisi miring adalah garis penghubung pusat (d), sisi mendatar adalah selisih jari-jari (R – r), dan sisi tegak adalah garis singgung (l). Visualisasi ini membantu memahami mengapa garis singgung akan hilang (menjadi nol) ketika selisih jari-jari sama dengan jarak pusat, karena saat itu segitiga menjadi garis lurus.
Beberapa poin kritis yang harus dipenuhi oleh nilai R dan r dalam konteks ini adalah:
- Nilai R dan r harus bilangan real positif.
- Harus memenuhi R ≥ r > 0.
- Selisih (R – r) tidak boleh melebihi jarak pusat (d), karena akan mengakibatkan l² bernilai negatif. Dalam kasus ini, (R – r) harus ≤ 13 cm.
- Jari-jari terbesar (R) secara praktis juga harus kurang dari jarak pusat (d) agar kedua lingkaran tidak berimpit atau menempati posisi yang tidak wajar, meskipun secara matematis R bisa lebih besar dari d selama selisihnya tetap 5.
Terakhir: Menentukan Jari‑jari Kedua Lingkaran Dari Jarak Pusat 13 cm Dan Garis Singgung 12 cm
Dari pembahasan ini, menjadi jelas bahwa kekuatan matematika seringkali terletak pada kemampuannya mengungkap hubungan, bukan sekadar angka pasti. Persoalan garis singgung ini mengajarkan bahwa dengan informasi dasar seperti jarak pusat dan panjang garis singgung, kita dapat memetakan seluruh keluarga solusi yang mungkin untuk jari-jari kedua lingkaran. Hal ini menegaskan pentingnya pemahaman konseptual yang mendalam, di mana sebuah rumus bukanlah akhir, melainkan pintu masuk menuju berbagai kemungkinan solusi yang sahih dalam kerangka geometri yang telah ditetapkan.
Informasi Penting & FAQ
Apakah ada batasan untuk nilai jari-jari R dan r yang memenuhi persamaan?
Ya, ada. Secara geometris, jari-jari harus bilangan positif (R > 0, r > 0). Selain itu, selisih jari-jari (R – r) tidak boleh lebih besar dari jarak pusat (13 cm), dan biasanya jari-jari yang lebih kecil (r) harus kurang dari jarak pusat. Nilai juga harus memenuhi persamaan 169 – 144 = (R – r)², yang menghasilkan selisih mutlak |R – r| = 5 cm.
Mengapa solusinya tidak tunggal padahal datanya lengkap?
Karena informasi yang diberikan hanya menentukan
-selisih* kuadrat jari-jari (R²
-r²) yang setara dengan (R – r)(R + r). Dengan dua variabel (R dan r) tetapi hanya satu persamaan yang terbentuk, sistem persamaan ini memiliki tak terhingga banyaknya pasangan solusi, asalkan memenuhi hubungan |R – r| = 5 cm. Dibutuhkan satu data tambahan, seperti nilai salah satu jari-jari, untuk mendapatkan solusi tunggal.
Menentukan jari-jari dua lingkaran dengan jarak pusat 13 cm dan garis singgung persekutuan luar 12 cm memerlukan pemahaman konsep geometri yang solid, mirip dengan bagaimana Apa yang dimaksud dengan psikologi umum menjadi fondasi untuk memahami perilaku manusia secara menyeluruh. Keduanya sama-sama membutuhkan analisis yang sistematis. Dalam geometri, penerapan teorema Pythagoras pada segitiga yang terbentuk akan mengungkap hubungan antara jari-jari, jarak pusat, dan panjang garis singgung tersebut.
Bagaimana jika garis singgungnya adalah garis singgung persekutuan dalam?
Rumusnya akan berbeda. Untuk garis singgung persekutuan dalam (g), rumusnya adalah g² = d²
-(R + r)², dengan d adalah jarak pusat. Soal dengan data yang sama (d=13, g=12) akan menghasilkan persamaan (R + r)² = 25, sehingga R + r = 5 cm, yang juga memiliki banyak kemungkinan pasangan solusi.
Apakah pasangan jari-jari harus bilangan bulat seperti dalam contoh?
Tidak harus. Contoh bilangan bulat seperti (9,4) atau (8,3) diberikan untuk memudahkan pemahaman. Pasangan bilangan real seperti (7.5, 2.5) atau (10.2, 5.2) juga valid asalkan selisihnya tepat 5 cm. Bilangan bulat hanya salah satu subset dari solusi yang tak terhingga.
