Jumlah 6 Suku Pertama Deret Geometri: Suku 3=18, Suku 5=162 adalah sebuah teka-teki matematika yang elegan, di mana dua petunjuk kecil mampu membongkar seluruh pola deret. Masalah seperti ini bukan sekadar perhitungan kering, melainkan sebuah eksplorasi logis untuk menemukan kunci rasio dan suku awal yang kemudian membuka jalan bagi penjumlahan seluruh suku. Proses penyelesaiannya menawarkan kepuasan intelektual layaknya memecahkan kode, menunjukkan bagaimana matematika bekerja dengan konsistensi dan keindahan yang terstruktur.
Dari informasi terbatas tersebut, dapat ditelusuri bahwa deret ini memiliki pertumbuhan yang eksponensial. Dengan suku ketiga sebesar 18 dan suku kelima 162, analisis lebih lanjut akan mengungkap rasio perkalian antar suku serta nilai suku pertamanya. Setelah parameter dasar itu ditemukan, perjalanan untuk menghitung satu per satu suku hingga yang keenam dan akhirnya menjumlahkannya menjadi sebuah total yang koheren pun dapat dilakukan dengan presisi.
Dalam deret geometri, jika suku ketiga 18 dan suku kelima 162, kita dapat menghitung rasio dan jumlah enam suku pertamanya. Perubahan cepat ini mengingatkan pada dinamika Situasi Indonesia Saat Ini yang juga bergerak dengan pola kompleks. Mirip seperti menghitung total deret, memahami konteks lengkap diperlukan untuk mendapatkan gambaran yang utuh dan akurat dari perkembangan yang terjadi.
Memahami Masalah dan Menentukan Parameter Dasar
Dalam menyelesaikan masalah deret geometri, langkah pertama adalah mengekstrak informasi kunci dari pernyataan yang diberikan. Diketahui suku ke-3 (U 3) bernilai 18 dan suku ke-5 (U 5) bernilai
162. Dua informasi ini merupakan pintu masuk untuk menemukan dua parameter paling fundamental dalam deret geometri: suku pertama (a) dan rasio (r). Rasio adalah bilangan tetap yang digunakan untuk mengalikan suatu suku untuk mendapatkan suku berikutnya.
Hubungan antara suku ke-n dengan suku pertama dan rasio dinyatakan dalam rumus U n = a . r n-1. Dengan demikian, kita dapat menuliskan persamaan untuk suku ke-3 dan ke-5.
U3 = a . r 2 = 18
U 5 = a . r 4 = 162
Untuk mencari rasio (r), kita dapat membagi persamaan U 5 dengan U 3. Dengan cara ini, variabel suku pertama (a) akan tereliminasi.
(a . r4) / (a . r 2) = 162 / 18
r 2 = 9
r = ±3
Dalam konteks ini, kita akan menggunakan rasio positif, yaitu r = 3, karena pola pertumbuhan nilai suku dari 18 ke 162 menunjukkan kenaikan. Setelah rasio ditemukan, nilai suku pertama (a) dapat dihitung dengan mensubstitusikan r = 3 ke dalam persamaan U 3.
a . (3)2 = 18
a . 9 = 18
a = 2
Dengan demikian, parameter dasar deret ini telah ditemukan: suku pertama a = 2 dan rasio r = 3.
Menghitung Suku-Suku Individu dan Jumlah Total
Setelah mendapatkan nilai a = 2 dan r = 3, kita dapat dengan mudah menghitung nilai setiap suku dari pertama hingga keenam secara berurutan. Perhitungan ini dilakukan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio 3.
- Suku ke-1 (U1): a = 2
- Suku ke-2 (U2): a . r = 2 x 3 = 6
- Suku ke-3 (U3): a . r 2 = 2 x 9 = 18
- Suku ke-4 (U4): a . r 3 = 2 x 27 = 54
- Suku ke-5 (U5): a . r 4 = 2 x 81 = 162
- Suku ke-6 (U6): a . r 5 = 2 x 243 = 726
Untuk menghitung total dari keenam suku ini, kita tidak perlu menjumlahkannya satu per satu. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri memberikan solusi yang lebih efisien, terutama ketika n besar. Rumusnya adalah S n = a (r n
-1) / (r – 1) untuk r > 1.
S6 = 2 (3 6
1) / (3 – 1)
S 6 = 2 (729 – 1) / 2
S 6 = 2 (728) / 2
S 6 = 728
Jadi, jumlah total keenam suku pertama deret geometri tersebut adalah
728. Hasil ini dapat diverifikasi dengan menjumlahkan keenam suku yang telah dihitung sebelumnya: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 726 = 728.
Visualisasi dan Pemaparan Data dalam Tabel
Memvisualisasikan data dalam tabel membantu kita melihat pola pertumbuhan yang eksponensial dengan lebih jelas. Tabel berikut merinci setiap suku, rumus penghitungannya, dan nilainya.
| Nomor Suku (n) | Rumus Un = a . rn-1 | Nilai | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 . 30 | 2 | Suku awal (a) |
| 2 | 2 . 31 | 6 | 3 kali suku pertama |
| 3 | 2 . 32 | 18 | Diketahui dari soal |
| 4 | 2 . 33 | 54 | 3 kali suku ketiga |
| 5 | 2 . 34 | 162 | Diketahui dari soal |
| 6 | 2 . 35 | 726 | 3 kali suku kelima |
Pola perkalian yang konsisten terlihat dari kolom nilai. Setiap suku adalah hasil kali suku sebelumnya dengan 3. Jika kita membayangkan grafik sederhana dengan sumbu horizontal sebagai nomor suku (n) dan sumbu vertikal sebagai nilai suku (U n), plot titik-titik (1,2), (2,6), (3,18), dan seterusnya akan membentuk kurva yang melengkung naik secara tajam. Bentuk kurva ini menggambarkan pertumbuhan eksponensial, di mana kenaikan nilai tidak linear tetapi semakin besar seiring bertambahnya n.
Pembahasan Variasi Soal dan Penerapan Rumus
Prinsip penyelesaian masalah deret geometri tetap sama meskipun informasi awalnya bervariasi. Misalnya, jika yang diketahui adalah suku ke-2 dan suku ke-4, prosedurnya identik: kita tetap membentuk dua persamaan U 2 = a . r dan U 4 = a . r 3, kemudian membaginya untuk mengeliminasi a dan mencari r 2.
Sebagai contoh soal baru: Diketahui suku ke-4 suatu deret geometri adalah 80 dan suku ke-6 adalah 320. Penyelesaiannya dimulai dengan menulis U 4 = a . r 3 = 80 dan U 6 = a . r 5 = 320. Membagi U 6 oleh U 4 menghasilkan r 2 = 4, sehingga r = 2 (asumsi rasio positif).
Menghitung jumlah enam suku pertama deret geometri, dengan suku ketiga 18 dan suku kelima 162, mengajarkan pola pertumbuhan yang konsisten. Prinsip harmoni dalam keragaman ini selaras dengan nilai-nilai yang terkandung dalam Pancasila: Dasar Nilai Ilmu Inklusif, Toleran, Gotong Royong dalam Keragaman , di mana setiap elemen menyumbang pada keseluruhan. Sama seperti dalam deret, di mana rasio yang sama menghubungkan setiap suku, nilai-nilai Pancasila menjadi rasio pemersatu untuk mencapai total kemajuan bangsa yang inklusif dan berkelanjutan.
Substitusi ke U 4 memberikan a . 8 = 80, maka a = 10.
Pemahaman kapan menggunakan rumus suku ke-n versus rumus jumlah n suku pertama sangat penting. Rumus U n = a . r n-1 digunakan untuk mencari nilai suku tertentu, posisi suku, atau parameter a dan r. Sementara rumus S n digunakan khusus untuk mencari total penjumlahan dari sejumlah suku pertama. Prosedur umum penyelesaian masalah deret geometri dapat disistematiskan sebagai berikut: identifikasi informasi suku yang diketahui, tuliskan dalam persamaan yang melibatkan a dan r, selesaikan sistem persamaan untuk mencari a dan r, lalu gunakan rumus yang sesuai (U n atau S n) berdasarkan pertanyaan yang diajukan.
Menghitung jumlah enam suku pertama deret geometri dengan suku ketiga 18 dan suku kelima 162 memerlukan ketelitian strategis, layaknya atlet yang merancang serangan dalam Fencing: Olahraga Pedang dengan Baju Hitam. Keduanya mengandalkan presisi dan pola yang tepat. Setelah menemukan rasio r=3 dan suku pertama a=2, perhitungan menjadi jelas: jumlah keenam suku tersebut adalah 728, sebuah hasil pasti yang memuaskan.
Aplikasi dan Contoh Kontekstual dalam Kehidupan: Jumlah 6 Suku Pertama Deret Geometri: Suku 3=18, Suku 5=162
Source: slidesharecdn.com
Deret geometri bukan sekadar abstraksi matematika, melainkan model yang powerful untuk merepresentasikan berbagai fenomena di dunia nyata. Contoh klasiknya adalah pertumbuhan bakteri yang membelah diri. Jika satu bakteri membelah menjadi dua setiap jam, maka jumlah bakteri mengikuti deret geometri dengan a = 1 (individu awal) dan r = 2 (faktor perkalian per jam). Setelah 6 jam (setara dengan 6 suku), total bakteri bukan hanya suku ke-6, tetapi jumlah seluruh bakteri dari jam ke-0 hingga jam ke-5, yang dihitung dengan S 6.
Dalam contoh keuangan, bunga majemuk juga berbentuk deret geometri. Suku pertama (a) adalah modal awal, sedangkan rasio (r) adalah (1 + suku bunga). Jumlah total setelah n periode dapat dianalogikan dengan nilai akhir investasi. Jika kita mengaitkan dengan deret kita (a=2, r=3), bayangkan sebuah rantai penyebaran informasi dimana satu orang memberi tahu 3 orang baru setiap periode. Dimulai dari 2 orang pionir (a=2), setelah 5 periode penyebaran, total orang yang telah mengetahui informasi tersebut adalah 728 orang, seperti hasil S 6 kita.
Angka ini menunjukkan bagaimana dampak yang awalnya kecil dapat meledak secara eksponensial akibat rasio perkalian yang lebih besar dari satu.
Pemungkas
Dengan demikian, perhitungan lengkap menunjukkan bahwa deret geometri dengan suku ke-3 = 18 dan suku ke-5 = 162 memiliki suku pertama (a) = 2 dan rasio (r) = 3. Keenam suku pertamanya adalah 2, 6, 18, 54, 162, dan 486. Jumlah dari semua suku tersebut adalah 728. Nilai ini bukan sekadar angka akhir, tetapi merupakan bukti nyata dari pola perkalian konsisten yang mendasari deret.
Pemahaman terhadap mekanisme ini memberikan fondasi kuat untuk menerapkan konsep deret geometri dalam berbagai situasi nyata, mulai dari perhitungan finansial hingga pemodelan pertumbuhan biologis, menunjukkan relevansi matematika yang tidak terbantahkan dalam kehidupan sehari-hari.
Informasi FAQ
Apakah rasio deret geometri ini selalu positif?
Tidak selalu. Dalam soal ini, perhitungan menghasilkan rasio r = 3 (positif). Namun, secara umum, rasio deret geometri bisa positif atau negatif. Jika negatif, suku-suku deret akan berselang-seling antara positif dan negatif.
Bagaimana jika soalnya memberikan suku ke-2 dan suku ke-4, bukan ke-3 dan ke-5?
Prinsipnya tetap sama: gunakan rumus Un = a
– r^(n-1). Misal U2 = a*r dan U4 = a*r^3. Bagi U4 dengan U2 untuk menghilangkan ‘a’ dan mendapatkan r^2, lalu cari akarnya untuk mendapatkan nilai r (perhatikan kemungkinan nilai positif dan negatif).
Apakah rumus jumlah deret geometri bisa dipakai jika r = 1?
Tidak bisa dengan rumus Sn = a(1 – r^n)/(1 – r) karena penyebutnya nol. Jika r = 1, deret menjadi penjumlahan berulang suku pertama (a, a, a, …), sehingga jumlah n suku pertama adalah S_n = n
– a.
Dalam konteks kehidupan nyata, apa yang diwakili oleh “jumlah 6 suku pertama” ini?
Ia bisa merepresentasikan total akumulasi setelah 6 periode. Contohnya, total populasi bakteri dari generasi ke-0 hingga ke-5, atau total uang yang terkumpul (pokok + bunga) setelah 6 periode investasi dengan bunga majemuk.
