Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat mx^2 + (m – 5)x – 20 = 0 mempunyai akar-akar a. saling berlawanan, b saling berbalikan. Soal ini bukan cuma teka-teki aljabar biasa, tapi ajang buat mengasah logika dan memahami jiwa dari sebuah persamaan. Kita akan membedah hubungan mesra antara koefisien dan akar-akar persamaan kuadrat, lalu menerjemahkan syarat “berlawanan” dan “berbalikan” itu menjadi bahasa matematika yang runcing.
Intinya, kita punya persamaan yang masih misterius karena ada parameter m. Tugas kita adalah mencari nilai m yang tepat agar akar-akarnya punya hubungan spesial: saling berlawanan seperti siang dan malam, atau saling berbalikan seperti cermin. Dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar, petualangan mencari nilai m ini jadi lebih terstruktur dan menarik untuk diikuti langkah demi langkahnya.
Konsep Dasar Akar Persamaan Kuadrat dan Hubungan Antar Akar
Sebelum kita masuk ke pembahasan utama tentang mencari nilai m, ada baiknya kita segarkan ingatan tentang hubungan yang sangat elegan dalam persamaan kuadrat. Bayangkan sebuah persamaan kuadrat umum ax² + bx + c = 0 dengan akar-akarnya adalah α dan β. Ternyata, tanpa perlu mencari nilai akarnya satu per satu (yang kadang ribet), kita bisa mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut hanya dengan melihat koefisiennya.
Hubungan ini, yang sering disebut rumus Vieta, adalah senjata rahasia untuk menyelesaikan soal seperti ini.
Rumus dasarnya sederhana: Jumlah akar-akar (α + β) sama dengan -b/a, sedangkan hasil kalinya (α
– β) sama dengan c/a. Dari hubungan fundamental inilah kita bisa menurunkan syarat untuk kasus-kasus khusus, seperti akar yang saling berlawanan atau berbalikan. Dua akar dikatakan saling berlawanan jika satu akar adalah negatif dari akar lainnya (misalnya, 3 dan -3). Secara matematis, ini berarti α + β = 0.
Sementara itu, dua akar saling berbalikan jika satu akar adalah kebalikan dari akar lainnya (misalnya, 2 dan ½). Kondisi ini diterjemahkan menjadi α
– β = 1.
Untuk memudahkan perbandingan, mari kita lihat tabel berikut yang merangkum perbedaan mendasar antara kedua sifat akar ini.
| Sifat Akar | Definisi | Hubungan Antar Akar | Diterjemahkan ke Koefisien |
|---|---|---|---|
| Saling Berlawanan | Akar-akarnya memiliki nilai mutlak sama tetapi tanda berbeda (α = -β). | α + β = 0 | -b/a = 0 → b = 0 |
| Saling Berbalikan | Akar-akarnya saling berkebalikan satu sama lain (α = 1/β). | α – β = 1 | c/a = 1 → c = a |
Menganalisis Persamaan untuk Akar yang Saling Berlawanan
Sekarang, mari kita terapkan konsep itu pada persamaan kita: mx² + (m – 5)x – 20 = 0. Pertama, kita identifikasi dulu koefisiennya dalam bentuk parameter m. Di sini, koefisien a = m, koefisien b = (m – 5), dan koefisien c = -20. Tujuan kita adalah menemukan nilai m yang membuat akar-akarnya saling berlawanan.
Berdasarkan tabel di atas, syarat akar berlawanan adalah b = 0. Kenapa? Karena jika α + β = 0, maka -b/a juga harus 0, yang hanya bisa terjadi jika pembilangnya, yaitu b, bernilai nol. Langsung saja kita terapkan syarat ini ke koefisien b persamaan kita.
Syarat Akar Berlawanan: b = 0
Pada persamaan: b = (m – 5)
Maka: m – 5 = 0
Diperoleh: m = 5
Prosesnya ternyata sangat singkat dan langsung. Kita sudah mendapatkan satu kandidat nilai m, yaitu 5. Namun, kita harus ingat bahwa ini adalah persamaan kuadrat, sehingga syarat a ≠ 0 juga harus dipenuhi. Untuk m = 5, nilai a = 5 (tidak nol), sehingga sah sebagai persamaan kuadrat. Jadi, nilai m = 5 valid.
Mencari nilai m untuk akar berlawanan atau berbalikan itu seru, tapi jangan lupa konsep dasar aljabar itu saling terkait. Misalnya, untuk menguasai hubungan antara titik dan gradien, kamu bisa cek contoh soal Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(4, 3) dan bergradien 3/2. Pemahaman itu akan membantumu lebih jeli menganalisis sifat akar-akar persamaan kuadrat yang sedang kita ulik ini.
Menganalisis Persamaan untuk Akar yang Saling Berbalikan: Tentukan Nilai M Agar Persamaan Kuadrat Mx^2 + (m – 5)x – 20 = 0 Mempunyai Akar-akar A. Saling Berlawanan, B Saling Berbalikan.
Source: gauthmath.com
Kasus kedua, kita mencari m agar akar-akarnya saling berbalikan. Berdasarkan rumus Vieta, syaratnya adalah hasil kali akar (α
– β) = 1. Dalam koefisien, ini berarti c/a = 1 atau bisa kita tulis sebagai c = a. Mari kita jalankan logika ini pada persamaan kita.
Kita punya a = m dan c = -20. Syarat c = a menghasilkan persamaan sederhana. Namun, ada satu hal kritis yang membedakan proses ini dengan kasus berlawanan: kita harus memastikan bahwa setelah mendapatkan m, persamaan tetap merupakan persamaan kuadrat ( a ≠ 0) dan akar-akar yang berbalikan itu benar-benar ada (tidak melanggar aturan dasar).
Nah, ngomongin soal cari nilai m dalam persamaan kuadrat biar akar-akarnya saling berlawanan atau berbalikan, kita perlu paham hubungan antar akar. Logika matematika ini mirip prinsip perubahan proporsi, kayak hitungan kadar air gabah yang menyusut setelah dijemur. Contohnya, kamu bisa lihat cara hitungnya di Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya menyusut sebanyak 80%.
Kadar air gabah tersebut saat ini adalah. Nah, setelah paham konsep perubahan itu, balik lagi ke persamaan kita: untuk akar saling berlawanan, jumlahnya nol, sedangkan untuk berbalikan, hasil kalinya satu. Jadi, fokus ke rumus jumlah dan hasil kali akar, ya!
Syarat Akar Berbalikan: c/a = 1 → c = a
Pada persamaan: a = m dan c = -20
Maka: -20 = m
Diperoleh: m = -20
Langkah perhitungannya juga sederhana. Kita peroleh m = -20. Sekarang, kita periksa syarat tambahan: untuk m = -20, nilai a = -20 (tidak nol), jadi tetap merupakan persamaan kuadrat yang valid. Perbedaan kunci antara penyelesaian kasus berlawanan dan berbalikan dapat disoroti sebagai berikut:
- Syarat yang Digunakan: Berlawanan menggunakan hubungan jumlah akar (b=0), sedangkan berbalikan menggunakan hubungan hasil kali akar (c=a).
- Kompleksitas: Dalam soal ini, kedua kasus menghasilkan persamaan linear satu variabel yang sangat mudah diselesaikan.
- Pemeriksaan Akhir: Untuk kasus berbalikan, penting memastikan akar-akar tersebut nyata dan memenuhi sifat berbalikan setelah disubstitusi, meskipun dalam kasus ini syarat a ≠ 0 sudah cukup.
Verifikasi dan Interpretasi Hasil Nilai m
Teori tanpa praktik bagai kapal tanpa nahkoda. Mari kita verifikasi kedua nilai m yang kita dapatkan dengan mensubstitusikannya kembali ke persamaan asli dan melihat bentuk persamaan kuadratnya.
Pertama, untuk m = 5 (akar berlawanan). Substitusi menghasilkan: 5x² + (5-5)x – 20 = 0 → 5x²
-20 = 0. Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi x² = 4, yang akar-akarnya adalah x = 2 dan x = -2. Benar, mereka saling berlawanan.
Kedua, untuk m = -20 (akar berbalikan). Substitusi menghasilkan: -20x² + (-20-5)x – 20 = 0 → -20x² -25x – 20 =
0. Kita bisa sederhanakan dengan membagi -5: 4x² + 5x + 4 = 0. Hasil kali akarnya adalah c/a = 4/4 = 1. Ini memenuhi syarat berbalikan.
Namun, perlu dicatat diskriminannya (D = 25 – 64 = -39) negatif, yang berarti akar-akarnya adalah bilangan kompleks/khayal yang saling berbalikan. Dalam konteks banyak soal sekolah, ini tetap diterima sebagai akar yang berbalikan.
| Kasus | Nilai m | Persamaan Setelah Substitusi | Hubungan Akar Terverifikasi |
|---|---|---|---|
| Akar Berlawanan | 5 | 5x² – 20 = 0 | Akar: 2 dan -2 (2 + (-2) = 0) |
| Akar Berbalikan | -20 | 4x² + 5x + 4 = 0 (setelah disederhanakan) | Hasil Kali Akar = 4/4 = 1 |
Dari sudut pandang geometris, persamaan dengan m=5 (5x² -20=0) merepresentasikan parabola yang simetris terhadap sumbu Y dan memotong sumbu X di dua titik yang simetris, yaitu (2,0) dan (-2,0). Sementara persamaan dengan m=-20 (4x²+5x+4=0) menggambarkan parabola yang terbuka ke atas tetapi seluruh grafiknya berada di atas sumbu X (karena akarnya imajiner), sehingga tidak memotong sumbu X di bilangan real.
Aplikasi dan Contoh Variasi Soal Serupa
Setelah menguasai konsep ini, kamu bisa menghadapi berbagai variasi soal. Kuncinya adalah memahami dan menerjemahkan syarat sifat akar ke dalam hubungan koefisien a, b, dan c. Berikut dua contoh soal dengan struktur berbeda untuk melatih pemahaman.
Contoh Soal 1 (Akar Berlawanan): Diketahui persamaan kuadrat (k+1)x² + 2kx + (k-2) = 0 memiliki akar-akar yang saling berlawanan. Tentukan nilai k dan akar-akarnya. (Petunjuk: Gunakan syarat b=0 pada koefisien b = 2k).
Contoh Soal 2 (Akar Berbalikan): Persamaan kuadrat x² + px + (p-1) = 0 mempunyai akar-akar yang saling berkebalikan. Carilah nilai p. (Petunjuk: Gunakan syarat c/a=1, dengan a=1 dan c=(p-1)).
Secara umum, prosedur baku untuk menyelesaikan masalah penentuan parameter berdasarkan sifat akar adalah sebagai berikut:
- Identifikasi Koefisien: Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat, perhatikan jika ada parameter.
- Pilih Syarat yang Tepat: Ingat-ingat hubungan matematis dari sifat akar yang diminta (misal: berlawanan → α+β=0 → -b/a=0 → b=0).
- Substitusi dan Selesaikan: Masukkan hubungan koefisien dari langkah 1 ke dalam syarat dari langkah 2. Selesaikan persamaan untuk mencari parameter.
- Verifikasi Syarat Dasar: Pastikan solusi parameter yang didapat tidak membuat a=0 (bukan persamaan kuadrat) dan memenuhi syarat diskriminan jika diperlukan (misal untuk akar real).
- Substitusi Kembali (Opsional tapi disarankan): Masukkan parameter yang ditemukan ke persamaan awal untuk memeriksa konsistensi hasil.
Dengan mengikuti langkah-langkah sistematis ini, soal-soal serupa akan terasa lebih terstruktur dan mudah untuk diselesaikan.
Ringkasan Terakhir
Jadi, begitulah ceritanya. Dari satu persamaan kuadrat dengan parameter m, kita berhasil menguak dua nilai m yang berbeda untuk dua sifat akar yang berbeda pula. Untuk akar berlawanan, m = 5 memunculkan persamaan yang akarnya saling bertolak belakang. Sementara untuk akar berbalikan, m = -1 lah jawabannya, meski harus dipastikan dulu persamaannya tetap kuadrat. Proses ini mengajarkan bahwa di balik rumus yang kelihatan kaku, ada logika yang elegan.
Coba terapkan strategi serupa ke soal lain, pasti ketagihan!
FAQ Terperinci
Apa bedanya akar saling berlawanan dengan akar saling berkebalikan?
Akar saling berlawanan berarti jumlah kedua akarnya nol (contoh: 3 dan -3). Akar saling berbalikan berarti hasil kali kedua akarnya satu (contoh: 2 dan 1/2).
Mengapa untuk akar berbalikan, koefisien a tidak boleh nol?
Karena jika a = 0, persamaan bukan lagi persamaan kuadrat. Syarat akar berbalikan melibatkan pembagian oleh a (c/a = 1), sehingga a harus ≠ 0.
Apakah nilai m yang didapat selalu bilangan bulat?
Tidak selalu. Pada soal ini kebetulan hasilnya bulat (5 dan -1). Bisa saja pada soal lain nilai m berupa pecahan atau bilangan irasional, tergantung koefisien persamaannya.
Haruskah selalu melakukan verifikasi dengan mensubstitusi m kembali?
Sangat disarankan. Verifikasi memastikan tidak ada kesalahan hitung dan bahwa nilai m yang didapat memang menghasilkan persamaan kuadrat (untuk kasus berbalikan) serta memenuhi sifat akar yang diminta.
