Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran M dan N Rumus dan Contoh

Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran M dan N bukan sekadar angka dalam buku teks, melainkan kunci untuk memahami hubungan spasial yang elegan antara dua bentuk geometri paling fundamental. Konsep ini, yang sering dijumpai dalam soal ujian hingga aplikasi desain teknis, mengungkap jarak terpendek yang dapat ditarik dari satu lingkaran ke lingkaran lainnya tanpa memotong keduanya, sebuah konsep yang memadukan keindahan matematika dengan logika yang presisi.

Memahami topik ini berarti menguasai cara membedakan garis singgung persekutuan luar dan dalam, di mana perbedaannya terletak pada posisi garis terhadap kedua lingkaran. Perhitungannya melibatkan tiga komponen utama: jarak antara pusat kedua lingkaran, serta panjang jari-jari masing-masing. Dengan rumus yang telah teruji, kita dapat mengkuantifikasi hubungan abstrak ini menjadi nilai numerik yang konkret, membuka jalan untuk menyelesaikan berbagai masalah geometri yang lebih kompleks.

Konsep Dasar dan Definisi Garis Singgung Persekutuan

Memahami garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai masalah geometri yang melibatkan hubungan spasial antara dua bentuk lingkaran. Konsep ini tidak hanya abstrak, tetapi memiliki representasi visual yang jelas dan aplikasi perhitungan yang terukur. Intinya, kita membahas tentang garis lurus yang sekaligus menyinggung kedua lingkaran tersebut, dan hanya ada dua konfigurasi utama yang mungkin: garis singgung persekutuan luar dan dalam.

Garis singgung persekutuan luar adalah garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran di sisi yang sama relatif terhadap garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Bayangkan dua roda yang sejajar di tanah, sebuah penggaris lurus diletakkan di atas kedua roda tersebut dan menyentuh masing-masing roda di titik tertinggi atau terendahnya. Garis itu tidak memotong ruang antara kedua pusat lingkaran. Sebaliknya, garis singgung persekutuan dalam adalah garis lurus yang menyinggung kedua lingkaran tetapi memotong ruang antara kedua pusat lingkaran.

Visualisasinya seperti sebuah tali yang melintang di antara dua roda, menyentuh bagian dalam roda yang saling berhadapan.

Perbedaan Mendasar Garis Singgung Luar dan Dalam

Perbedaan utama antara kedua jenis garis singgung ini terletak pada posisi relatifnya terhadap garis penghubung pusat (sentral) dan bagaimana jari-jari kedua lingkaran berperan dalam perhitungan panjangnya. Berikut adalah poin-poin pembedanya:

• Posisi Relatif: Garis singgung luar tidak memotong segmen garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran, sedangkan garis singgung dalam memotong segmen tersebut.
• Konfigurasi Lingkaran: Untuk dapat ditarik garis singgung dalam, dua lingkaran tidak boleh saling lepas sepenuhnya di luar; mereka harus berpotongan atau salah satu berada di luar yang lain tanpa beririsan. Garis singgung luar selalu dapat ditarik selama kedua lingkaran tidak saling mengandung.
• Komponen Geometri: Pada perhitungan panjangnya, garis singgung luar melibatkan selisih jari-jari (R – r), sementara garis singgung dalam melibatkan jumlah jari-jari (R + r).
• Panjang Relatif: Untuk dua lingkaran dengan jarak pusat (d) yang sama, panjang garis singgung persekutuan luar selalu lebih besar daripada panjang garis singgung dalam.

Komponen Geometri yang Terlibat

Dalam membahas garis singgung persekutuan, selalu ada tiga komponen utama yang saling terkait: jarak antara kedua pusat lingkaran (biasa dilambangkan dengan d atau p), panjang jari-jari lingkaran besar (R) dan lingkaran kecil (r), serta panjang garis singgung itu sendiri (biasa dilambangkan dengan l untuk luar dan d atau g untuk dalam). Ketiganya membentuk segitiga siku-siku imajiner yang menjadi dasar penurunan rumus.

Dengan menarik garis bantu yang menghubungkan pusat lingkaran ke titik singgung dan garis yang sejajar dengan garis singgung, kita akan selalu mendapatkan segitiga siku-siku yang memungkinkan penggunaan Teorema Pythagoras.

Contoh Visual Deskriptif, Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran M dan N

Source: slidesharecdn.com

Untuk garis singgung persekutuan luar, bayangkan dua lingkaran dengan pusat M dan N yang terpisah horizontal. Tarik sebuah garis lurus horizontal di atas kedua lingkaran yang menyentuh puncak masing-masing lingkaran. Proyeksi titik-titik singgung ini ke garis pusat MN akan membentuk sebuah segiempat dan dua segitiga siku-siku. Sisi tegak dari segitiga siku-siku utama tersebut adalah garis singgung itu sendiri, sisi mendatarnya adalah jarak pusat (d), dan sisi tegak lainnya adalah selisih jari-jari (R – r).

Untuk garis singgung persekutuan dalam, visualisasikan dua lingkaran dengan pusat M dan N. Sekarang, tarik sebuah garis dari sisi kiri lingkaran kiri ke sisi kanan lingkaran kanan, yang melewati celah di antara kedua lingkaran. Titik singgungnya berada di sisi yang saling berhadapan. Jika kita tarik garis dari pusat M dan N ke titik singgung masing-masing dan menarik garis bantu sejajar garis singgung, kita akan mendapatkan segitiga siku-siku dimana sisi mendatarnya tetap jarak pusat (d), tetapi sisi tegak vertikalnya sekarang adalah jumlah jari-jari (R + r).

Rumus dan Penurunan Rumus Panjang Garis Singgung

Setelah memahami konsep visualnya, langkah logis berikutnya adalah mengkuantifikasi panjang garis singgung tersebut menjadi rumus matematis yang praktis. Rumus-rumus ini lahir langsung dari penerapan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku imajiner yang dibentuk oleh komponen-komponen geometri yang telah disebutkan. Keakuratan rumus ini bergantung pada identifikasi yang tepat terhadap jenis garis singgung yang dimaksud.

Panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran M dan N, yang dihitung dengan rumus akar kuadrat dari selisih kuadrat jarak pusat dan jari-jari, mengingatkan kita pada prinsip fisika dalam menghitung Waktu Benda Jatuh dari Lantai 15 ke Lantai 2 , di mana konsep jarak dan percepatan gravitasi menjadi kunci. Keduanya sama-sama mengandalkan penerapan rumus matematika yang presisi untuk mendapatkan hasil yang akurat, sebagaimana ketepatan dalam menentukan panjang garis singgung tersebut sangat vital dalam geometri.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar

Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (l) dihitung dengan rumus berikut:

l = √(d²

(R – r)²)

Keterangan variabel:

l = panjang garis singgung persekutuan luar.

d = jarak antara kedua pusat lingkaran (M dan N).

R = panjang jari-jari lingkaran yang lebih besar.

r = panjang jari-jari lingkaran yang lebih kecil.

Rumus ini berlaku selama d > (R – r), yang menjamin kedua lingkaran tidak saling mengandung dan garis singgung luar dapat ditarik.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (g) dihitung dengan rumus yang mirip, tetapi dengan operasi yang berbeda pada jari-jari:

g = √(d²

(R + r)²)

Keterangan variabel:

g = panjang garis singgung persekutuan dalam.

d = jarak antara kedua pusat lingkaran.

R = panjang jari-jari lingkaran pertama.

r = panjang jari-jari lingkaran kedua.

Rumus ini berlaku selama d > (R + r), yang menjamin kedua lingkaran tidak berpotongan dan tidak saling bersinggungan di dalam.

Proses Penurunan Rumus Garis Singgung Luar

Penurunan rumus dilakukan dengan konstruksi geometri. Misalkan dua lingkaran dengan pusat M dan N, jari-jari R dan r (R > r), serta jarak pusat = d. Tarik garis singgung persekutuan luar AB yang menyinggung lingkaran M di A dan lingkaran N di B. Tarik garis dari M ke A (jari-jari, tegak lurus AB) dan dari N ke B (jari-jari, tegak lurus AB).

Karena MA dan NB sama-sama tegak lurus AB, maka MA // NB. Tarik garis dari N yang sejajar AB, memotong perpanjangan MA di titik C. Terbentuk segitiga MNC siku-siku di C.

Panjang MC = MA – CA = R – r (karena CA = NB = r).

Panjang CN = AB = l (yang ingin dicari).

Panjang MN = d.

Berdasarkan Teorema Pythagoras pada segitiga MNC: MN² = MC² + CN² → d² = (R – r)² + l².

Maka, l² = d²
-(R – r)², sehingga l = √(d²
-(R – r)²) .

Dalam geometri, panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran M dan N dapat dihitung dengan rumus khusus, mengukur jarak tepat di antara dua titik singgung eksternal. Konsep pengukuran yang presisi ini memiliki paralel menarik dengan dunia keuangan, khususnya dalam memahami Pengertian Spread‑Based dan Fee‑Based sebagai dua metode berbeda dalam menghitung biaya atau keuntungan. Mirip seperti menentukan jarak terpendek yang menyentuh kedua lingkaran, pemahaman akan kedua model tersebut membantu menemukan titik temu yang paling efisien dalam strategi finansial, sebelum kembali fokus menganalisis variabel jari-jari dan jarak pusat lingkaran M dan N.

Tabel Perbandingan Rumus Garis Singgung

Contoh Soal dan Penyelesaian Langkah Demi Langkah

Teori tanpa praktik bagai kapal tanpa kompas. Mari kita aplikasikan rumus-rumus tersebut ke dalam contoh soal konkret. Penyelesaian yang sistematis dan teliti dalam mengidentifikasi variabel adalah kunci keberhasilan. Berikut disajikan contoh untuk masing-masing jenis garis singgung, dilanjutkan dengan soal yang lebih variatif.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar

Diketahui dua lingkaran dengan jarak kedua pusatnya 20 cm. Panjang jari-jari lingkaran besar adalah 12 cm dan jari-jari lingkaran kecil 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran!

Penyelesaian:

1. Identifikasi variabel: d = 20 cm, R = 12 cm, r = 5 cm.

2. Pastikan kondisi: d > (R – r) → 20 > (12-5)=7 → Benar.

3.

Gunakan rumus garis singgung persekutuan luar: l = √(d²
-(R – r)²).

4. Substitusi nilai: l = √(20²
-(12 – 5)²) = √(400 – 7²) = √(400 – 49) = √
351.
5. Sederhanakan: √351 = √(9 × 39) = 3√39 cm.

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 3√39 cm.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam

Dua buah lingkaran berjari-jari 8 cm dan 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalamnya 12 cm, tentukan jarak antara kedua pusat lingkaran!

Penyelesaian:

1. Identifikasi variabel: R = 8 cm, r = 3 cm, g = 12 cm. d = ?.

2. Gunakan rumus garis singgung dalam: g = √(d²
-(R + r)²).

3. Substitusi nilai yang diketahui: 12 = √(d²
-(8 + 3)²) → 12 = √(d²
-11²).

4. Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar: 12² = d²
-121 → 144 = d²
–
121.
5.

Pindahkan konstanta: d² = 144 + 121 =
265.
6. Akarkan: d = √265 cm.

Jadi, jarak antara kedua pusat lingkaran adalah √265 cm.

Soal Variatif Mencari Jarak Pusat Terlebih Dahulu

Lingkaran A berpusat di (1, 2) dan lingkaran B berpusat di (7, 10). Jika panjang jari-jari A dan B berturut-turut adalah 4 cm dan 2 cm, hitung panjang garis singgung persekutuan luarnya.

Penyelesaian:

1. Hitung jarak pusat (d) terlebih dahulu menggunakan rumus jarak antar titik: d = √((x₂
-x₁)² + (y₂
-y₁)²).

2. Substitusi koordinat: d = √((7-1)² + (10-2)²) = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10 cm.

3.

Sekarang, gunakan rumus garis singgung luar dengan d=10 cm, R=4 cm, r=2 cm.

4. l = √(d²
-(R – r)²) = √(10²
-(4-2)²) = √(100 – 2²) = √(100 – 4) = √96 = 4√6 cm.

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 4√6 cm.

Prosedur Umum Penyelesaian Masalah

Untuk menyelesaikan hampir semua masalah garis singgung persekutuan, ikuti langkah-langkah sistematis berikut:

• Identifikasi Jenis: Tentukan apakah soal membahas garis singgung persekutuan luar atau dalam. Perhatikan kata kunci atau ilustrasi.
• Kumpulkan Variabel: Tuliskan semua besaran yang diketahui (d, R, r, panjang garis singgung) dan yang ditanya.
• Verifikasi Kondisi: Pastikan hubungan antara d, R, dan r memenuhi syarat agar garis singgung tersebut ada (d > (R – r) untuk luar; d > (R + r) untuk dalam).
• Pilih Rumus: Gunakan rumus yang tepat sesuai jenis garis singgung.
• Substitusi dan Hitung: Masukkan nilai-nilai ke dalam rumus dan lakukan perhitungan aljabar dengan cermat.
• Sederhanakan Jawaban: Nyatakan hasil dalam bentuk akar yang paling sederhana atau nilai desimal jika diperlukan.

Penerapan dan Variasi Soal dalam Konteks

Konsep garis singgung persekutuan tidak hidup dalam ruang hampa geometri. Ia dapat muncul dalam soal cerita, masalah desain teknis, atau sebagai bagian dari analisis yang lebih kompleks. Kemampuan untuk mengidentifikasi posisi relatif lingkaran dan menangani kasus-kasus khusus akan memperkaya pemahaman.

Menentukan Posisi Relatif Dua Lingkaran

Sebelum memutuskan menggunakan rumus luar atau dalam, penting untuk mengetahui posisi relatif kedua lingkaran. Hubungan ini ditentukan oleh jarak pusat (d) dan jari-jari (R, r).

– Lepas Luar: d > (R + r). Kedua lingkaran terpisah. Garis singgung luar (2 buah) dan dalam (2 buah) dapat ditarik.

– Bersinggungan Luar: d = (R + r). Kedua lingkaran bersentuhan di satu titik di luar. Garis singgung dalam menjadi satu garis yang berimpit dengan garis pusat? Tidak, garis singgung dalam yang sejajar tidak ada (panjangnya 0), hanya ada garis singgung luar.

– Berpotongan: (R – r) < d < (R + r). Kedua lingkaran berpotongan di dua titik. Garis singgung dalam tidak dapat ditarik, hanya garis singgung luar.
– Bersinggungan Dalam: d = (R – r) untuk R > r.

Lingkaran kecil bersinggungan di dalam lingkaran besar. Garis singgung luar tidak dapat ditarik.

– Lepas Dalam (Satu di dalam lain): 0 ≤ d < (R - r). Lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar tanpa bersinggungan. Tidak ada garis singgung persekutuan luar maupun dalam.

Soal Cerita Kontekstual

Dua menara pemancar radio, A dan B, memiliki area jangkauan berbentuk lingkaran dengan radius 15 km dan 10 km. Pusat menara A dan B terpisah sejauh 30 km. Sebuah mobil bergerak lurus di jalan raya yang merupakan garis singgung persekutuan luar dari kedua area jangkauan tersebut. Berapa panjang jalan raya yang masih berada dalam jangkauan sinyal dari setidaknya satu menara?

(Asumsi: mobil berada di garis singgung tersebut). Soal ini mengajak kita untuk menghitung panjang garis singgung luar (l) sebagai representasi panjang jalan raya di antara kedua area lingkaran.

Analisis Kasus Khusus

Kasus khusus terjadi ketika ekspresi di dalam akar pada rumus menjadi nol atau negatif.

– Panjang Garis Singgung = 0: Ini terjadi ketika d² = (R ± r)². Untuk garis singgung dalam, jika d = (R + r), maka g = 0. Ini sesuai dengan posisi dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Untuk garis singgung luar, jika d = (R – r), maka l = 0.

Ini sesuai dengan posisi dua lingkaran yang bersinggungan di dalam.

– Salah Satu Lingkaran di Dalam Lainnya (d < R - r): Dalam kasus ini, baik rumus luar l = √(d²
-(R – r)²) maupun rumus dalam g = √(d²
-(R + r)²) akan menghasilkan bilangan imajiner (akar dari bilangan negatif). Ini secara geometri berarti tidak ada garis lurus yang dapat menyinggung kedua lingkaran sekaligus dari luar maupun dari dalam.

Tips Penting: Selalu gambar sketsa kasar untuk memvisualisasikan masalah. Tuliskan rumus di kertas contekan sebelum mulai menghitung. Periksa kembali satuan dan pastikan semua nilai dalam satuan yang sama. Hati-hati dengan tanda kurung saat menghitung selisih atau jumlah jari-jari, kesalahan di sini sangat umum terjadi. Ingat, panjang garis singgung selalu bernilai positif.

Latihan, Eksplorasi, dan Panduan Cepat

Bagian ini dirancang untuk mengasah keterampilan melalui latihan, memahami jebakan umum, dan mengeksplorasi hubungan mendasar antar besaran. Sebuah tabel rumus lengkap juga disediakan sebagai alat bantu cepat yang praktis.

Soal Latihan Berbeda Tingkat

Mudah: Dua lingkaran berjari-jari 6 cm dan 2 cm. Jika jarak pusatnya 10 cm, berapa panjang garis singgung persekutuan luarnya? Jawaban: √(100 – 16) = √84 = 2√21 cm.

Sedang: Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm. Jarak pusatnya 26 cm dan salah satu jari-jarinya 10 cm. Berapa jari-jari lingkaran yang lain?

Jawaban: Dari g² = d²
-(R+r)² → 576 = 676 – (10+r)² → (10+r)²=100 → 10+r=10 → r=0 cm (tidak mungkin) atau 10+r=-10 (tidak mungkin). Periksa: 24²=576, 26²=676, selisih
100. Maka (10+r)²=100 → 10+r=±
10. Ambil positif: r=0. Soal ini mengindikasikan kemungkinan kesalahan data atau lingkaran kedua berupa titik.

Sulit: Dua lingkaran bersinggungan di luar. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 12 cm. Jika perbandingan jari-jarinya 4:3, hitunglah panjang jari-jari masing-masing lingkaran. Petunjuk: Karena bersinggungan luar, d = R + r. Substitusi ke rumus l: 12 = √((R+r)²
-(R-r)²) = √(4Rr). Maka 144 = 4Rr → Rr=
36.

Dengan R/r=4/3, selesaikan sistem persamaan. Jawaban: R=12 cm, r=9 cm.

Kesalahan Umum dan Perbaikannya

Kesalahan paling sering terjadi pada penentuan sisi vertikal dari segitiga Pythagoras.

Kesalahan: Menggunakan (R + r) pada rumus garis singgung luar, atau (R – r) pada rumus garis singgung dalam.

Perbaikan: Ingat mnemonik: “Luar Kurang, Dalam Tambah”. Untuk garis singgung Luar, pakai se Lisih (R – r). Untuk garis singgung Dalam, pakai penjumlahan yang hasilnya lebih Desimal (R + r).

Kesalahan lain adalah lupa mengkuadratkan d atau (R ± r) sebelum mengurangkannya. Selalu tuliskan langkah d² dan (R ± r)² terlebih dahulu sebelum melakukan pengurangan.

Eksplorasi Hubungan dengan Jari-Jari

Dari rumus l² = d²
-(R – r)² dan g² = d²
-(R + r)², kita dapat melihat hubungan menarik:

– Kuadrat panjang garis singgung luar (l²) ditambah kuadrat selisih jari-jari ((R-r)²) sama dengan kuadrat jarak pusat (d²).

– Kuadrat panjang garis singgung dalam (g²) ditambah kuadrat jumlah jari-jari ((R+r)²) sama dengan kuadrat jarak pusat (d²).

– Untuk d yang tetap, semakin besar selisih jari-jari (R – r), maka panjang garis singgung luar (l) akan semakin kecil.

Sebaliknya, semakin besar jumlah jari-jari (R + r), panjang garis singgung dalam (g) juga semakin kecil. Hal ini masuk akal secara geometris karena lingkaran yang ukurannya sangat berbeda atau sangat besar totalnya akan “mengurangi” ruang untuk garis singgung yang panjang.

Tabel Rumus Inti Panduan Cepat

Kesimpulan

Dengan demikian, penguasaan terhadap perhitungan panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran memberikan lebih dari sekadar kemampuan menjawab soal. Konsep ini melatih penalaran spasial dan logika matematis, sekaligus menjadi fondasi untuk memahami geometri bidang yang lebih advance. Mulailah dari memvisualisasikan posisi kedua lingkaran, pilih rumus yang tepat berdasarkan jenis garis singgungnya, dan lakukan perhitungan dengan teliti. Pada akhirnya, setiap angka yang dihasilkan adalah bukti nyata dari harmoni dan keteraturan yang tersembunyi di balik bentuk lingkaran yang sederhana.

Panduan FAQ: Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran M Dan N

Apakah garis singgung persekutuan selalu ada untuk setiap dua lingkaran?

Tidak selalu. Garis singgung persekutuan hanya ada jika kedua lingkaran tidak saling beririsan atau menutupi sepenuhnya. Jika satu lingkaran berada di dalam lingkaran lain dan tidak bersinggungan, maka garis singgung persekutuan luar tidak ada, tetapi garis singgung persekutuan dalam mungkin masih ada.

Bagaimana jika panjang garis singgung yang dihitung hasilnya imajiner atau akar dari bilangan negatif?

Hasil imajiner menandakan bahwa untuk ukuran jari-jari dan jarak pusat yang diberikan, garis singgung persekutuan dengan jenis yang dimaksud (luar atau dalam) secara geometris tidak mungkin terbentuk. Ini adalah indikator untuk memeriksa kembali posisi relatif kedua lingkaran.

Apakah ada garis singgung persekutuan selain yang luar dan dalam?

Untuk dua lingkaran yang terpisah, garis singgung persekutuan umumnya hanya dibedakan menjadi dua jenis utama tersebut. Namun, dalam kasus khusus dimana kedua lingkaran bersinggungan di satu titik, garis singgung persekutuan dapat berimpit atau memiliki panjang nol.

Mana yang lebih panjang, garis singgung persekutuan luar atau dalam untuk dua lingkaran yang sama?

Untuk dua lingkaran dengan ukuran dan jarak pusat yang sama, garis singgung persekutuan luar akan selalu lebih panjang daripada garis singgung persekutuan dalam. Hal ini karena garis singgung dalam “memotong” ruang antara kedua lingkaran, sehingga jaraknya lebih pendek.