Diketahui fungsi f(x) = 3x + 7 dan g(x) = 6x – 8. Bagaimanakah kedudukan dari dua fungsi tersebut? Kemudian gambarlah grafiknya dalam bentuk f(x) + g(x). Kalau kamu penasaran apakah hubungan mereka itu seperti sahabat yang sejalan atau malah bersimpangan, kita bakal mengupasnya sampai tuntas. Ini bukan cuma soal angka dan variabel ‘x’, tapi tentang membaca cerita yang tersembunyi di balik kemiringan garis dan titik potongnya.
Mari kita bedah bersama-sama, mulai dari mengenali sifat dasar masing-masing fungsi linear ini, menyelidiki bagaimana posisi mereka satu sama lain, hingga akhirnya menyatukan mereka dalam sebuah operasi penjumlahan. Hasilnya? Sebuah garis baru yang punya karakter unik. Tenang, kita akan bongkar semua langkahnya dengan cara yang mudah dicerna, lengkap dengan visualisasi grafiknya biar kamu bisa lihat langsung ceritanya di bidang koordinat.
Memahami Dua Fungsi Linear Dasar: Diketahui Fungsi F(x) = 3x + 7 Dan G(x) = 6x – 8. Bagaimanakah Kedudukan Dari Dua Fungsi Tersebut? Kemudian Gambarlah Grafiknya Dalam Bentuk F(x) + G(
Sebelum kita selami lebih jauh tentang kedudukan dan grafiknya, mari berkenalan dulu dengan kedua fungsi yang kita punya. Fungsi linear itu ibarat resep masakan sederhana: ada bahan utama (variabel x) yang diolah dengan takaran tertentu (koefisien), lalu ditambah bumbu dasar (konstanta). Nah, fungsi f(x) = 3x + 7 dan g(x) = 6x – 8 adalah dua resep linear yang akan kita teliti.
Komponen Penyusun f(x) = 3x + 7, Diketahui fungsi f(x) = 3x + 7 dan g(x) = 6x – 8. Bagaimanakah kedudukan dari dua fungsi tersebut? Kemudian gambarlah grafiknya dalam bentuk f(x) + g(
Fungsi f(x) ini punya karakter yang cukup jelas. Angka 3 yang menempel pada variabel x kita sebut sebagai koefisien atau gradien. Dalam dunia grafis, angka ini menentukan seberapa curam garis yang akan terbentuk. Sementara itu, angka 7 adalah konstanta. Ia adalah titik awal garis saat memotong sumbu vertikal (sumbu Y).
Bayangkan, jika nilai x adalah nol, maka f(0) = 3(0) + 7 = 7. Artinya, garis ini akan selalu melintas di titik (0,7) di bidang koordinat.
Komponen Penyusun g(x) = 6x – 8
Sekarang, lihatlah fungsi g(x). Koefisiennya adalah 6, yang lebih besar dari koefisien f(x). Ini berarti garis g(x) akan lebih curam atau lebih tajam kemiringannya dibanding f(x). Konstantanya adalah -8. Titik potongnya dengan sumbu Y berada di koordinat (0, -8).
Perbedaan konstanta yang signifikan ini—dari +7 ke -8—sudah memberi isyarat bahwa kedua garis ini kemungkinan besar tidak berimpit.
Jenis Grafik yang Dihasilkan
Karena kedua fungsi ini berbentuk y = mx + c, di mana m dan c adalah bilangan real, maka jenis grafik yang dihasilkan pasti berupa garis lurus. Tidak ada lengkungan, parabola, atau bentuk lain. Setiap kenaikan nilai x akan menyebabkan nilai f(x) atau g(x) naik secara proporsional dan konsisten, sesuai besarnya koefisien masing-masing.
Menyelidiki Kedudukan dan Hubungan Antar Fungsi
Setelah mengenal karakter masing-masing, sekarang saatnya kita mempertemukan mereka. Apa hubungan antara garis f(x) dan g(x)? Apakah mereka sejajar, berpotongan, atau malah satu garis yang sama? Untuk menjawabnya, kita perlu menganalisis kemiringan dan titik potongnya.
Perbandingan Kemiringan dan Implikasinya
Source: z-dn.net
Kunci utama menentukan kedudukan dua garis lurus terletak pada gradiennya. Gradien f(x) adalah 3, sedangkan gradien g(x) adalah
6. Karena angka 3 tidak sama dengan 6, kita sudah bisa simpulkan bahwa kedua garis ini tidak sejajar dan pasti tidak berimpit. Dua garis yang berimpit harus memiliki gradien dan konstanta yang persis sama. Lalu, karena gradiennya berbeda, maka konsekuensi logisnya adalah: kedua garis ini akan berpotongan di satu titik tertentu pada bidang koordinat.
Titik Potong dengan Sumbu X dan Y
Mari kita catat titik-titik pentingnya:
- f(x) = 3x + 7: Memotong sumbu Y di (0, 7). Memotong sumbu X saat f(x)=0, yaitu 0 = 3x + 7 -> x = -7/3. Jadi titik potong sumbu X-nya di (-7/3, 0).
- g(x) = 6x – 8: Memotong sumbu Y di (0, -8). Memotong sumbu X saat g(x)=0, yaitu 0 = 6x – 8 -> x = 8/6 = 4/3. Jadi titik potong sumbu X-nya di (4/3, 0).
Perbedaan titik potong ini semakin menguatkan bahwa mereka adalah dua garis yang berbeda.
Perhitungan Titik Potong Antar Fungsi
Kita sudah tahu mereka berpotongan. Tapi di mana koordinatnya? Caranya dengan menyamakan kedua fungsi: f(x) = g(x).
- x + 7 = 6x – 8
- + 8 = 6x – 3x
- = 3x
x = 5
Setelah mendapatkan x=5, substitusi ke salah satu fungsi, misal f(x): f(5) = 3(5) + 7 = 22. Jadi, titik potong antara garis f(x) dan g(x) berada tepat di koordinat (5, 22).
Tabel Perbandingan Sifat Fungsi f(x) dan g(x)
Untuk memudahkan analisis, berikut ringkasan sifat kedua fungsi dalam bentuk .
| Sifat | f(x) = 3x + 7 | g(x) = 6x – 8 |
|---|---|---|
| Bentuk Umum | Linear | Linear |
| Gradien (Kemiringan) | 3 | 6 |
| Konstanta (Titik Potong Y) | 7 | -8 |
| Titik Potong Sumbu X | (-7/3, 0) | (4/3, 0) |
| Sifat Garis | Naik (m>0) | Naik (m>0) |
| Titik Potong Antar Fungsi | (5, 22) | |
Operasi Aljabar pada Fungsi: Penjumlahan f(x) + g(x)
Sekarang, kita masuk ke bagian yang seru: menggabungkan kedua fungsi ini melalui operasi penjumlahan. Ibaratnya, kita sedang menciptakan fungsi baru yang merupakan “keturunan” dari f(x) dan g(x). Hasilnya akan memberi kita wawasan baru tentang bagaimana sifat garis berubah ketika fungsi dijumlahkan.
Langkah Penjumlahan dan Penyederhanaan
Penjumlahan fungsi dilakukan dengan menjumlahkan suku-suku sejenis, yaitu suku dengan variabel x dan suku konstanta.
f(x) + g(x) = (3x + 7) + (6x – 8)
= 3x + 6x + 7 – 8
= 9x – 1
Maka, fungsi baru hasil penjumlahan kita beri nama h(x), sehingga h(x) = 9x – 1. Sederhana sekali, bukan?
Pengaruh pada Gradien dan Konstanta Baru
Lihatlah yang terjadi: gradien fungsi baru (9) adalah hasil penjumlahan dari gradien f(x) dan g(x) (3 + 6). Sementara konstanta baru (-1) adalah hasil penjumlahan dari konstanta lama (7 + (-8)). Ini adalah pola umum dalam penjumlahan fungsi linear: gradien baru adalah jumlah gradien lama, dan konstanta baru adalah jumlah konstanta lama. Fungsi h(x) ini akan memiliki kemiringan yang lebih curam daripada kedua “orang tuanya” dan memotong sumbu Y di titik yang lebih rendah daripada g(x).
Visualisasi Grafik Fungsi dan Hasil Penjumlahannya
Teori tanpa visualisasi ibarat resep tanpa contoh foto masakan. Mari kita gambarkan ketiga garis ini—f(x), g(x), dan h(x)—dalam imajinasi bidang koordinat kita. Kita akan plot beberapa titik kunci untuk memudahkan.
Grafik Fungsi f(x) = 3x + 7
Untuk menggambar garis lurus, minimal kita butuh dua titik. Titik pertama yang mudah adalah titik potong sumbu Y, yaitu (0, 7). Titik kedua bisa kita cari dengan memilih nilai x sembarang, misal x=2: f(2) = 3(2)+7 = 13. Jadi kita punya titik (2,13). Plot kedua titik ini, tarik garis lurus melalui mereka, dan jadilah grafik f(x).
Garis ini landai naik.
Grafik Fungsi g(x) = 6x – 8
Proses serupa diterapkan. Titik potong Y-nya di (0, -8). Pilih x=2: g(2) = 6(2)-8 = 4. Jadi kita punya titik (2,4). Plot titik (0,-8) dan (2,4), lalu tarik garis.
Garis g(x) ini akan terlihat lebih curam kenaikannya dibanding f(x), karena gradiennya lebih besar.
Grafik Hasil Penjumlahan h(x) = 9x – 1
Fungsi baru ini bisa digambar langsung dari bentuk aljabarnya. Titik potong Y-nya di (0, -1). Cari titik lain, misal x=1: h(1) = 9(1)-1 =
8. Jadi ada titik (1,8). Atau, kita bisa mendapatkan titik untuk h(x) dengan cara yang lebih “kinetik”: ambil beberapa nilai x, hitung nilai f(x) dan g(x)-nya, lalu jumlahkan.
Contohnya:
Untuk x = 0:
f(0)=7, g(0)=-8. h(0) = 7 + (-8) = -1. -> Titik (0, -1).Untuk x = 2:
f(2)=13, g(2)=4. h(2) = 13 + 4 = 17. -> Titik (2, 17).Untuk x = -1:
f(-1)=4, g(-1)=-14. h(-1) = 4 + (-14) = -10. -> Titik (-1, -10).Oke, kita bahas dulu fungsi f(x) = 3x + 7 dan g(x) = 6x – 8. Kedudukan mereka? Dua garis lurus yang bakal bersilangan, dan grafik f(x) + g(x) akan jadi garis baru. Nah, ngomong-ngomong soal penyederhanaan, kamu pasti butuh skill aljabar yang sama kayak saat menyelesaikan Bentuk sederhana dari (4a^3)^2 : 2a^2 adalah. Kembali ke fungsi tadi, yuk kita teliti hubungannya dan gambar grafik penjumlahan mereka biar jelas visualnya!
Plot titik-titik hasil perhitungan ini, dan kamu akan mendapatkan garis lurus baru yang paling curam di antara ketiganya.
Interpretasi Grafis dan Aplikasi Konsep
Bayangkan ketiga garis—f(x), g(x), dan h(x)—digambar dalam satu bidang koordinat yang sama. Apa pola yang bisa kita lihat? Bagaimana konsep ini berguna dalam situasi nyata?
Pola Visual Tiga Garis
Kamu akan melihat tiga garis lurus yang semuanya memiliki arah naik (karena gradien positif). Garis h(x) = 9x – 1 akan berada di posisi paling curam. Garis f(x) dan g(x) akan berpotongan di titik (5,22). Yang menarik, pada setiap nilai x tertentu, ordinat (nilai y) dari h(x) selalu merupakan jumlah dari ordinat f(x) dan g(x). Secara visual, jarak vertikal h(x) terhadap sumbu X adalah total dari jarak vertikal f(x) dan g(x) pada titik x yang sama.
Sifat Grafik Fungsi Baru
- Grafik fungsi hasil penjumlahan tetap berupa garis lurus.
- Gradiennya merupakan penjumlahan aljabar gradien fungsi penyusun.
- Konstantanya merupakan penjumlahan aljabar konstanta fungsi penyusun.
- Posisi grafik fungsi baru tidak serta-merta berada “di antara” grafik asal; ia bisa berada di atas atau di bawah mereka, tergantung hasil penjumlahan.
Aplikasi Kontekstual Sederhana
Konsep ini jauh dari sekadar abstraksi matematika. Misalkan dalam sebuah usaha kecil:
-Fungsi f(x) = 3x + 7 mewakili biaya produksi (dalam ratus ribu) untuk membuat x unit barang, dengan biaya tetap 7 (ratus ribu) dan biaya variabel 3 per unit.
-Fungsi g(x) = 6x – 8 mewakili pendapatan kotor (dalam ratus ribu) dari menjual x unit barang, dengan potongan atau modal awal tertentu yang direpresentasikan oleh konstanta -8.
-Maka, fungsi h(x) = f(x) + g(x) bisa diinterpretasikan sebagai total arus kas kotor (production cost + gross income) dari operasi tersebut. Titik di mana h(x) bernilai nol bisa memberikan insight tentang titik impas gabungan dalam hal arus kas. Meski contoh ini disederhanakan, logika penjumlahan dua hubungan linear sering muncul dalam model ekonomi, fisika (menjumlahkan gaya atau kecepatan), dan analisis data.
Oke, kita ulik fungsi f(x) = 3x + 7 dan g(x) = 6x – 8. Kedudukannya? Mereka linear sejajar yang beda kemiringan, dan untuk gambarkan grafik f(x) + g(x), kamu tinggal jumlahin aja jadi garis baru. Nah, soal hubungan fungsi ini mirip kayak puzzle usia, kayak di kasus Pada saat ini, usia seorang kakek adalah kuadrat dari usia cucunya.
Jika 4 tahun yang lalu usia kakek tersebut adalah 15 kali usia cucunya, tentukan yang butuh pemetaan variabel. Kembali ke fungsi tadi, grafik penjumlahannya bakal tetap lurus, dan analisis posisi relatifnya jadi kunci memahami perilaku aljabar dalam bentuk visual.
Ringkasan Penutup
Jadi, setelah mengikuti seluruh perjalanan ini, terlihat jelas bahwa f(x) dan g(x) adalah dua garis lurus yang berbeda dan pasti berpotongan di satu titik, berkat gradien mereka yang tidak sama. Ketika dijumlahkan, lahirlah fungsi baru, h(x)=9x-1, yang kemiringannya lebih curam dan memotong sumbu Y di tempat yang berbeda. Grafik hasil penjumlahan ini ibarat jalan tengah yang menyerap energi dari kedua fungsi asalnya.
Konsep sederhana ini adalah fondasi untuk memahami hal-hal yang lebih kompleks, seperti modeling dalam ekonomi atau analisis tren. Coba sekarang kamu praktekkan dengan dua fungsi linear buatanmu sendiri, dan lihatlah cerita apa yang bisa kamu temukan!
Daftar Pertanyaan Populer
Apakah f(x) dan g(x) bisa disebut fungsi sejajar?
Tidak. Dua garis sejajar memiliki gradien (angka di depan ‘x’) yang sama. f(x) memiliki gradien 3, sedangkan g(x) memiliki gradien 6. Karena berbeda, mereka pasti akan berpotongan di satu titik.
Bagaimana cara cepat mengetahui titik potong dua garis ini?
Dengan menyamakan kedua fungsi: 3x + 7 = 6x – 8. Kemudian selesaikan persamaan untuk mencari nilai x, lalu substitusikan ke salah satu fungsi untuk mendapatkan nilai y. Titik (x,y) itulah titik potongnya.
Apakah grafik f(x) + g(x) selalu berada di antara grafik f(x) dan g(x)?
Tidak selalu. Pada kasus penjumlahan, fungsi baru merupakan gabungan pengaruh kedua fungsi. Ia tidak harus berada di “tengah-tengah” secara visual, tetapi nilai pada setiap titik x-nya adalah hasil tambah nilai f(x) dan g(x) di titik x tersebut.
Bisakah operasi ini diterapkan untuk fungsi yang bukan linear?
Sangat bisa! Prinsip penjumlahan fungsi berlaku universal, baik untuk fungsi kuadrat, pangkat tiga, atau lainnya. Kamu cukup menjumlahkan ekspresi aljabarnya sesuai dengan aturan yang berlaku.
