Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x^2 + 2x – 3 = 0 adalah – Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x^2 + 2x – 3 = 0 adalah teka-teki matematika yang sebenarnya jauh lebih mudah dipecahkan daripada kedengarannya. Kalau biasanya kita mencari akar-akar dari sebuah persamaan, kali ini kita malah diminta membalik logika: akar-akar yang sudah ketemu justru kita balik posisinya untuk melahirkan persamaan baru. Gimana sih caranya? Tenang, kita bakal bahas step-by-step dengan cara yang nggak bikin pusing, pakai logika sederhana dan trik-trik jitu yang bakal bikin kamu ngomong, “Oh, ternyata gitu doang!”
Sebelum masuk ke rumus, mari kita pahami dulu medan perangnya. Persamaan awal, x² + 2x – 3 = 0, bisa kita faktorkan dengan mudah menjadi (x+3)(x-1)=0, yang berarti akar-akarnya adalah x = -3 dan x = 1. Nah, “kebalikan” dari akar-akar ini berarti kita akan bekerja dengan 1/-3 = -1/3 dan 1/1 = 1. Tantangannya sekarang adalah menyusun persamaan kuadrat baru yang punya akar-akar -1/3 dan 1 itu.
Di sinilah konsep jumlah dan hasil kali akar akan jadi senjata utama kita, karena dari dua angka itu kita bisa merakit persamaan kuadratnya dengan sangat elegan.
Memahami Permasalahan Dasar
Kita mulai dari soal yang terlihat sederhana ini. Ada persamaan kuadrat lama, lalu kita diminta bikin persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya punya hubungan spesial dengan si akar lama. “Kebalikan” di sini artinya literal: jika akar persamaan awal adalah α dan β, maka akar persamaan baru yang kita cari adalah 1/α dan 1/β. Bayangkan seperti membalik posisi pembilang dan penyebut. Konsep ini sering muncul dan menguji pemahaman kita tentang hubungan mendasar antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat.
Mari kita identifikasi dulu akar-akar dari persamaan x² + 2x – 3 =
0. Persamaan ini mudah difaktorkan. Coba kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -3 dan jika dijumlahkan hasilnya +
2. Bilangan itu adalah +3 dan –
1. Jadi, pemfaktorannya adalah (x + 3)(x – 1) =
0.
Dari sini, kita dapatkan akar-akarnya: α = -3 dan β = 1.
Sekarang, hubungannya jadi jelas. Akar baru kita adalah kebalikan dari nilai-nilai ini: 1/α = -1/3 dan 1/β = 1. Dengan mengetahui akar asli, kita bisa menghitung sifat-sifat akar baru, seperti jumlah dan hasil kalinya, yang nantinya menjadi kunci untuk menyusun persamaan kuadrat barunya.
Perbandingan Akar Asli dan Akar Baru, Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x^2 + 2x – 3 = 0 adalah
Untuk melihat perbedaan secara visual, tabel berikut merangkum perbandingan antara akar asli dan akar kebalikannya, beserta sifat jumlah dan hasil kali mereka. Data ini menjadi fondasi untuk langkah-langkah selanjutnya.
| Akar Asli (α, β) | Akar Kebalikan (1/α, 1/β) | Jumlah Akar | Hasil Kali Akar |
|---|---|---|---|
| -3 dan 1 | -1/3 dan 1 | αβ = -3 | |
| (1/α) + (1/β) = ? | (1/α)(1/β) = 1/(αβ) |
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru dari Akar-Akar yang Diketahui
Setelah paham akar-akarnya mau diapakan, sekarang kita masuk ke teknik inti. Ingat kembali mantra sakti dalam persamaan kuadrat: jika diketahui jumlah (S) dan hasil kali (P) dari akar-akarnya, maka persamaan kuadrat itu dapat dibentuk dengan rumus: x²
-(S)x + (P) = 0. Fokus kita bukan lagi mencari nilai α dan β secara numerik, tapi langsung menghitung S dan P dari akar baru berdasarkan informasi dari akar lama.
Mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari x² + 2x – 3 = 0? Tenang, konsepnya mirip seperti saat kamu harus menyelesaikan soal fungsi h(x) = x/a + 5 untuk menemukan nilai a. Intinya, kamu perlu main-main dengan hubungan antar akar. Setelah paham teknik substitusi dan manipulasi aljabar seperti di soal fungsi tadi, balik lagi ke persamaan awal, maka kamu akan temukan persamaan kuadrat barunya dengan lebih percaya diri.
Kita sudah punya dari persamaan awal: α + β = -2 (dari koefisien -b/a) dan αβ = -3 (dari konstanta c/a). Sekarang, hitung jumlah dan hasil kali akar baru (1/α dan 1/β).
Jumlah akar baru: 1/α + 1/β = (β + α) / (αβ) = (α+β)/(αβ). Masukkan angka: (-2) / (-3) = 2/
3. Hasil kali akar baru lebih mudah lagi: (1/α)
– (1/β) = 1/(αβ) = 1/(-3) = -1/3.
Dengan S baru = 2/3 dan P baru = -1/3, kita susun persamaan kuadratnya: x²
-(2/3)x + (-1/3) =
0. Agar lebih rapi, kalikan seluruh persamaan dengan 3 untuk menghilangkan penyebut: 3x²
-2x – 1 = 0. Inilah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah kebalikan dari akar persamaan x² + 2x – 3 = 0.
Rumus Kunci: Persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diketahui jumlah (S) dan hasil kali (P)-nya adalah x²Sx + P = 0. Untuk akar kebalikan, gunakan S_baru = (α+β)/(αβ) dan P_baru = 1/(αβ).
Verifikasi dan Metode Penyelesaian Alternatif: Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Kebalikan Dari Akar-akar Persamaan X^2 + 2x – 3 = 0 Adalah
Bagian yang seru adalah memastikan jawaban kita benar. Selain metode jumlah-hasil kali akar, ada cara lain yang lebih langsung: substitusi variabel. Ide dasarnya, jika akar baru y = 1/x (kebalikan), maka x = 1/y. Substitusikan x = 1/y ini ke dalam persamaan asli.
Persamaan asli: x² + 2x – 3 =
0. Ganti setiap x dengan 1/y: (1/y)² + 2(1/y)
-3 = 0 -> 1/y² + 2/y – 3 =
0. Kalikan semua suku dengan y² untuk membersihkan penyebut: 1 + 2y – 3y² =
0. Atur ulang menjadi bentuk standar: -3y² + 2y + 1 = 0, atau dikali -1 menjadi 3y²
-2y – 1 = 0.
Hasilnya sama persis, 3x²
-2x – 1 = 0, hanya variabelnya y yang bisa kita ganti kembali jadi x.
Kedua metode ini saling mengkonfirmasi. Metode substitusi seperti membalikkan dunia persamaan secara langsung, sementara metode jumlah-hasil kali akar bekerja dengan memanipulasi sifat abstrak akarnya. Mari kita verifikasi numerik juga. Akar dari 3x²
-2x – 1 = 0 adalah? Pemfaktoran: (3x+1)(x-1)=0, jadi x = -1/3 dan x = 1.
Benar, ini adalah kebalikan dari -3 dan 1.
Ringkasan Langkah Kunci
Metode Jumlah-Hasil Kali Akar:
1. Tentukan jumlah (α+β) dan hasil kali (αβ) akar persamaan asli.
2. Hitung jumlah akar baru: S_baru = (α+β)/(αβ).
3.Hitung hasil kali akar baru: P_baru = 1/(αβ).
4. Susun persamaan: x²
-(S_baru)x + (P_baru) = 0, lalu sederhanakan.Metode Substitusi Variabel:
1. Nyatakan hubungan: akar baru (y) adalah kebalikan akar lama (x), jadi x = 1/y.
2. Substitusi x = 1/y ke dalam persamaan asli.
3.Kalikan seluruh persamaan dengan y² untuk menghilangkan pecahan.
4. Susun dalam bentuk standar dan ganti variabel y kembali ke x.
Aplikasi dan Variasi Soal Serupa
Konsep transformasi akar ini luas sekali. Tidak hanya kebalikan, bisa saja akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar asli, atau ditambah suatu konstanta, atau dikalikan sesuatu. Pola pikirnya tetap sama: kita tidak perlu tahu nilai pasti α dan β, cukup manfaatkan hubungan α+β dan αβ. Mari kita eksplor beberapa variasi untuk melatih kelenturan berpikir.
Misalnya, bagaimana jika kita diminta persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (α² dan β²), atau (α+2 dan β+2), atau bahkan kebalikan tanda (-α dan -β)? Pendekatan umumnya selalu identik: ekspresikan jumlah (S’) dan hasil kali (P’) akar baru dalam bentuk α+β dan αβ, lalu masukkan ke dalam template x²
-S’x + P’ = 0.
Jenis Transformasi Akar dan Rumusnya
Tabel berikut memberikan panduan cepat untuk beberapa transformasi akar yang umum. Dengan menguasai pola ini, berbagai variasi soal bisa diselesaikan dengan lebih percaya diri.
| Jenis Transformasi Akar Baru | Jumlah Akar Baru (S’) | Hasil Kali Akar Baru (P’) | Bentuk Umum Persamaan Akhir |
|---|---|---|---|
| Kebalikan (1/α, 1/β) | (α+β)/(αβ) | 1/(αβ) | x² – ((α+β)/(αβ))x + 1/(αβ) = 0 |
| Kuadrat (α², β²) | (α+β)² – 2αβ | (αβ)² | x²
|
| Ditambah Konstanta k (α+k, β+k) | (α+β) + 2k | αβ + k(α+β) + k² | x²
|
| Kebalikan Tanda (-α, -β) | -(α+β) | αβ | x² + (α+β)x + αβ = 0 |
Ilustrasi Grafis Transformasi Akar
Source: co.id
Bayangkan grafik parabola dari persamaan asli memotong sumbu x di titik (α, 0) dan (β, 0). Transformasi akar seperti menggeser atau merefleksikan titik-titik potong ini. Untuk akar kebalikan, jika salah satu akar asli besar (misal 5), akar barunya jadi kecil (1/5). Jika akar asli dekat nol (misal 0.1), akar barunya jadi besar (10).
Ini seperti efek cermin terhadap garis x=1 dan x=-1. Sementara transformasi kuadrat akan menggeser semua akar positif ke nilai yang lebih positif, dan akar negatif menjadi positif, sehingga kurva baru mungkin seluruhnya berada di sisi kanan sumbu y jika akar asli real. Visualisasi mental ini membantu memahami dampak aljabar terhadap geometri grafik fungsi kuadrat.
Ringkasan Terakhir
Jadi, setelah melalui proses membolak-balik akar dan meracik persamaan, kita sampai pada kesimpulan yang manis. Proses ini bukan cuma sekadar hitung-hitungan, tapi lebih tentang memahami hubungan simetris yang cantik dalam matematika. Dengan menguasai trik jumlah dan hasil kali akar, atau bahkan metode substitusi langsung, kamu sudah punya bekal untuk mengolah berbagai variasi soal transformasi akar lainnya. Ingat, matematika itu seperti puzzle—semakin sering kamu mainin logikanya, semakin lihai kamu menemukan polanya.
So, selamat sudah berhasil membalikkan keadaan dan menemukan persamaan barunya!
Kumpulan Pertanyaan Umum
Apa yang dimaksud dengan “akar-akarnya kebalikan” secara sederhana?
Artinya, jika persamaan awal punya akar, misalnya a dan b, maka akar untuk persamaan baru adalah 1/a dan 1/b. Seperti membalik posisi pembilang dan penyebut.
Apakah metode substitusi x = 1/y selalu bisa dipakai untuk soal seperti ini?
Ya, metode itu sangat ampuh dan langsung. Dengan mengganti x dengan 1/y di persamaan awal, lalu menyederhanakannya, kamu akan langsung mendapatkan persamaan dalam variabel y yang akar-akarnya adalah kebalikan dari akar semula.
Bagaimana jika salah satu akar persamaan awal adalah nol (0)?
Maka soal menjadi tidak terdefinisi. Kebalikan dari nol adalah 1/0 yang tidak terhingga, sehingga tidak mungkin membentuk persamaan kuadrat baru dengan akar-akar berhingga. Soal seperti ini biasanya dihindari.
Apakah hasilnya akan sama jika saya hitung akar-akar baru (-1/3 dan 1) lalu langsung difaktorkan menjadi (3x+1)(x-1)=0?
Tepat sekali! Itu adalah cara verifikasi yang bagus. Jika kamu hitung (3x+1)(x-1) = 3x²
-2x – 1, lalu bagi semua suku dengan 3, kamu akan mendapatkan persamaan x²
-(2/3)x – 1/3 = 0, yang sama persis dengan hasil dari metode jumlah dan hasil kali akar.
Nah, kalau kamu udah paham cara mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar x² + 2x – 3 = 0, artinya kamu jago memanipulasi hubungan matematis. Skill hitung-hitungan seperti ini juga berguna banget di kehidupan nyata, misalnya untuk membantu Bu Ana seorang pembuat kue. Bu Ana mendapat pesanan 24 kotak kue Setiap kotak berisi 2 lusin kue.
Berapa buah kue yang harus dibuat bu Ana? dalam meracik pesanan. Kembali ke soal tadi, setelah menemukan jumlah akar dan hasil kali akar dari persamaan awal, prinsip kebalikan akar itu akan membawamu ke persamaan akhir yang elegan.
Konsep ini hanya untuk kuadrat atau bisa untuk persamaan pangkat lebih tinggi?
Konsep transformasi akar, termasuk mencari kebalikannya, bisa diterapkan ke persamaan polinomial berderajat berapa pun. Rumus untuk jumlah dan hasil kali akar akan lebih kompleks, tetapi prinsip dasarnya tetap sama.
