Titik potong sumbu y fungsi kuadrat dari balik (-2,3) dan akar (-1,0) bukanlah sekedar angka, melainkan sebuah kunci rahasia yang menunggu untuk ditemukan. Setiap parabola menyimpan ceritanya sendiri, dan cerita ini dimulai dari dua petunjuk penting: titik puncak dan sebuah titik dimana grafiknya menyentuh horizon.
Dengan mengetahui titik balik dan satu akar, kita sebenarnya telah memegang cetak biru untuk merekonstruksi seluruh persamaan fungsi kuadrat tersebut. Proses ini mirip menyelesaikan teka-teki, di mana setiap informasi yang diberikan saling mengunci dan membimbing kita menuju bentuk akhir persamaan, termasuk menemukan titik dimana grafik melintasi sumbu vertikal.
Pengenalan Fungsi Kuadrat dan Titik Potong Sumbu Y
Fungsi kuadrat merupakan salah satu fondasi dalam aljabar, menggambarkan hubungan yang dapat divisualisasikan sebagai sebuah parabola pada bidang kartesius. Bentuk umumnya ditulis sebagai f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan a ≠
0. Dalam bentuk ini, konstanta ‘c’ memegang peran yang langsung dan elegan: ia merupakan nilai dari fungsi ketika x=0.
Dengan kata lain, titik potong sumbu y dari grafik fungsi kuadrat selalu berada di koordinat (0, c). Ini adalah pintu gerbang untuk memahami bagaimana sebuah parabola berinteraksi dengan sumbu vertikal.
Sebagai contoh, perhatikan fungsi sederhana f(x) = x² + 2x –
3. Untuk menemukan titik potong sumbu y, kita cukup mensubstitusikan x=0 ke dalam persamaan: f(0) = (0)² + 2(0)
-3 = -3. Jadi, grafik fungsi ini memotong sumbu y di titik (0, -3). Sementara itu, titik potong sumbu x, atau akar, memerlukan penyelesaian yang lebih kompleks untuk mencari nilai x ketika f(x)=0.
Perbandingan Titik Potong Sumbu Y dan Sumbu X
Meskipun sama-sama merupakan titik potong, peran titik potong sumbu y dan sumbu x dalam analisis grafik memiliki penekanan yang berbeda. Titik potong sumbu y bersifat tunggal dan langsung tergambar dari bentuk persamaan, sementara titik potong sumbu x bisa berjumlah nol, satu, atau dua, mencerminkan solusi dari persamaan kuadrat.
| Aspek | Titik Potong Sumbu Y (0, c) | Titik Potong Sumbu X (Akar) |
|---|---|---|
| Jumlah | Selalu satu | Bisa nol, satu, atau dua |
| Penentuan | Langsung dari konstanta ‘c’ | Perlu menyelesaikan f(x)=0 |
| Informasi | Nilai awal fungsi (saat x=0) | Solusi dari persamaan kuadrat |
| Pengaruh Grafik | Posisi vertikal grafik | Posisi horizontal dimana grafik memotong sumbu x |
Hubungan antara nilai ‘c’ dan titik potong sumbu y adalah hubungan yang bersifat kausal dan deterministik. Perubahan nilai ‘c’ akan menggeser seluruh grafik parabola secara vertikal ke atas atau ke bawah tanpa mengubah bentuk dasarnya, sehingga secara langsung memindahkan titik dimana parabola tersebut menyentuh sumbu y.
Memahami Peran Titik Balik dan Akar dalam Membentuk Fungsi
Sebuah parabola tidak hanya didefinisikan oleh titik-titik dimana ia memotong sumbu koordinat, tetapi lebih oleh puncak atau lembahnya, yang dikenal sebagai titik balik atau verteks. Titik balik ini merupakan koordinat dimana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimumnya, sekaligus menjadi sumbu simetri bagi seluruh grafik. Dalam konteks kita, titik balik (-2, 3) mengindikasikan bahwa parabola memiliki puncak di atas sumbu x, mengarah ke bawah, dan berpusat secara horizontal di x = -2.
Pengetahuan tentang satu akar, dalam hal ini (-1, 0), yang dipadukan dengan titik balik, sebenarnya sudah lebih dari cukup untuk membangun kembali persamaan fungsi kuadrat yang unik. Hal ini dimungkinkan karena sifat simetris dari parabola. Jika satu akar diketahui dan titik baliknya juga diketahui, maka letak akar yang kedua dapat dihitung secara cerminan terhadap sumbu simetri yang melalui titik balik tersebut.
Pengaruh Titik Balik terhadap Bentuk Parabola, Titik potong sumbu y fungsi kuadrat dari balik (-2,3) dan akar (-1,0)
Titik balik (-2, 3) memberikan informasi penting tentang bentuk dan orientasi grafik. Koordinat x = -2 menetapkan bahwa sumbu simetri adalah garis vertikal x = -2. Koordinat y = 3 yang bernilai positif menunjukkan bahwa ini adalah nilai maksimum dari fungsi, yang berarti parabola tersebut terbuka ke arah bawah. Nilai koordinat y yang relatif tinggi juga memberi kesan bahwa parabola ini cukup “ramping” atau tidak terlalu melebar, sebuah karakteristik yang nantinya akan ditentukan oleh nilai koefisien ‘a’.
Menurunkan Persamaan Fungsi Kuadrat dari Data yang Diberikan
Proses rekonstruksi persamaan fungsi kuadrat dari titik balik dan satu akar adalah sebuah penerapan yang elegan dari bentuk verteks. Bentuk verteks dari fungsi kuadrat dinyatakan sebagai f(x) = a(x – h)² + k, dimana (h, k) adalah koordinat titik balik. Dengan data titik balik (-2, 3), kita dapat langsung menulis bentuk awalnya: f(x) = a(x + 2)² + 3.
Langkah kunci berikutnya adalah memanfaatkan akar yang diketahui, (-1, 0). Karena ini adalah sebuah akar, maka ketika kita substitusikan x = -1 ke dalam persamaan, hasilnya haruslah nol. Substitusi ini memungkinkan kita untuk menyelesaikan nilai parameter ‘a’ yang belum diketahui, yang akan menentukan kelebaran dan arah pembukaan parabola.
Proses Aljabar Penurunan Persamaan
Mari kita terapkan langkah-langkah tersebut secara sistematis. Pertama, kita mulai dengan bentuk verteks yang telah disubstitusi dengan titik balik:
f(x) = a(x – (-2))² + 3 = a(x + 2)² + 3
Kedua, kita gunakan akar (-1, 0). Substitusikan x = -1 dan f(x) = 0:
0 = a(-1 + 2)² + 3
0 = a(1)² + 3
0 = a(1) + 3
0 = a + 3
Ketiga, selesaikan persamaan linear sederhana ini untuk mencari nilai ‘a’:
a + 3 = 0
a = -3
Dengan nilai a = -3 ditemukan, persamaan fungsi kuadrat kita yang lengkap menjadi:
f(x) = -3(x + 2)² + 3
Untuk keperluan analisis lebih lanjut, terutama dalam mencari titik potong sumbu y, kita dapat mengembangkan persamaan ini ke dalam bentuk umum.
f(x) = -3(x² + 4x + 4) + 3
f(x) = -3x²
-12x – 12 + 3
f(x) = -3x²
-12x – 9
Perhitungan dan Penentuan Titik Potong Sumbu Y
Setelah persamaan fungsi kuadrat berhasil diturunkan, menemukan titik potong sumbu y menjadi sebuah tugas yang sangat langsung. Seperti yang telah dibahas, kita memiliki dua metode yang valid dan akan menghasilkan hasil yang identik. Metode pertama adalah dengan mensubstitusikan x=0 ke dalam persamaan, baik yang dalam bentuk verteks maupun bentuk umum. Metode kedua adalah dengan membaca secara langsung nilai konstanta ‘c’ dari persamaan bentuk umum f(x) = ax² + bx + c.
Dua Metode Menemukan Titik Potong
Berikut adalah perbandingan langkah demi langkah dari kedua metode tersebut berdasarkan persamaan yang telah kita peroleh, f(x) = -3x²
-12x – 9.
| Langkah | Metode 1: Substitusi x=0 | Metode 2: Membaca Konstanta |
|---|---|---|
| 1 | Gunakan persamaan: f(x) = -3x²
|
Identifikasi bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c |
| 2 | Substitusi x dengan 0: f(0) = -3(0)²
|
Bandingkan: a = -3, b = -12, c = -9 |
| 3 | Hitung: f(0) = 0 – 0 – 9 | Ambil nilai c: c = -9 |
| 4 | Dapatkan hasil: f(0) = -9 | Titik potong sumbu y adalah (0, c) = (0, -9) |
| Hasil Akhir | Titik Potong Sumbu Y: (0, -9) | |
Dengan membandingkan titik potong sumbu y (0, -9) dengan titik balik (-2, 3) dan akar (-1, 0), kita dapat membayangkan posisinya dalam bidang kartesius. Titik (0, -9) berada jauh di bawah sumbu x, konsisten dengan parabola yang memiliki puncak di (3) dan terbuka ke bawah. Posisi akar (-1,0) yang relatif dekat dengan sumbu simetri x=-2 juga sesuai dengan karakteristik fungsi yang telah kita bangun.
Visualisasi Grafik dan Interpretasi Geometris
Source: amazonaws.com
Grafik dari fungsi f(x) = -3(x + 2)² + 3 adalah sebuah parabola yang memiliki karakteristik yang jelas. Parabola ini terbuka ke bawah, dimulai dari suatu titik tinggi di kuadran II, melengkung turun dengan curam, memotong sumbu x di (-1, 0), terus turun hingga mencapai titik terendahnya pada titik potong sumbu y di (0, -9) di kuadran IV, sebelum kemudian naik lagi ke arah kiri dan memotong sumbu x di titik lain yang simetris (yang dalam kasus ini di x = -3).
Deskripsi Posisi dan Bentuk Grafik
Bayangkan sebuah kurva halus yang berpuncak pada titik (-2, 3). Dari puncak ini, kedua “lengan” parabola terjulur ke bawah. Sumbu simetri, yaitu garis khayal x = -2, membagi parabola menjadi dua bagian yang merupakan pencerminan sempurna. Satu akar telah kita ketahui di (-1, 0), yang terletak 1 unit di sebelah kanan sumbu simetri. Berdasarkan sifat simetri, pasti terdapat akar kedua yang terletak 1 unit di sebelah kiri sumbu simetri, yaitu di titik (-3, 0).
Titik potong sumbu y di (0, -9) memberikan anchor point yang kuat di sisi kanan grafik, menunjukkan seberapa dalam dan curam parabola ini turun dari puncaknya. Kelebaran parabola yang ditentukan oleh |a| = 3 menunjukkan bahwa parabola ini cukup “sempit” atau “tajam” karena nilai mutlak koefisiennya lebih besar dari satu.
Dalam konteks pemodelan, fungsi ini dapat merepresentasikan berbagai fenomena. Sebagai contoh, jika x mewakili waktu dan f(x) mewakili tinggi suatu bola yang dilempar, titik potong sumbu y (0, -9) bisa diartikan sebagai tinggi awal bola yang negatif, yang mungkin tidak masuk akal secara fisika kecuali jika titik nol kita definisikan ulang. Namun, dalam konteks lain seperti keuntungan yang menurun setelah titik optimal, titik potong sumbu y (0, -9) dapat mewakili kerugian awal sebelum strategi produksi atau penjualan diimplementasikan.
Titik balik (-2,3) adalah puncak keuntungan, dan akar-nya adalah titik impas dimana usaha tersebut tidak untung maupun rugi.
Penutupan: Titik Potong Sumbu Y Fungsi Kuadrat Dari Balik (-2,3) Dan Akar (-1,0)
Dengan demikian, perjalanan dari dua titik data menjadi sebuah persamaan lengkap telah usai. Titik potong sumbu y, yang semula tersembunyi, akhirnya terungkap sebagai (0, -9), memberikan gambaran utuh tentang sang parabola. Titik ini bukanlah akhir, melainkan sebuah jangkar geometris yang memperkaya pemahaman kita tentang bagaimana setiap elemen—verteks, akar, dan intercept—berkaitan erat dalam menenun narasi grafis sebuah fungsi kuadrat.
Pertanyaan dan Jawaban
Mengapa hanya satu akar yang diberikan, padahal fungsi kuadrat biasanya memiliki dua akar?
Dalam kasus ini, akar yang diberikan yaitu (-1, 0) mungkin merupakan akar ganda atau satu dari dua akar yang berbeda. Pengetahuan tentang titik balik sudah cukup untuk menentukan akar lainnya atau mengonfirmasi bahwa akar tersebut ganda, sehingga satu akar saja sudah memadai untuk menemukan fungsi yang unik.
Apakah metode ini bisa digunakan jika yang diketahui adalah dua titik potong sumbu x (akar) dan titik potong sumbu y?
Ya, bisa. Jika diketahui dua akar dan titik potong sumbu y, langkahnya lebih langsung. Bentuk faktorisasi y = a(x – x₁)(x – x₂) dapat digunakan, lalu nilai titik potong y (0, c) disubstitusikan untuk mencari nilai parameter ‘a’.
Bagaimana jika titik balik yang diberikan bukan titik maksimum melainkan titik minimum?
Prosedurnya tetap sama. Nilai koordinat titik balik (h, k) tetap disubstitusikan ke dalam bentuk verteks. Nilai parameter ‘a’ yang positif akan menunjukkan parabola terbuka ke atas (titik minimum), sedangkan nilai ‘a’ negatif menunjukkan parabola terbuka ke bawah (titik maksimum).
Apakah mungkin ada lebih dari satu fungsi kuadrat yang melalui titik balik (-2,3) dan akar (-1,0)?
Tidak. Kombinasi sebuah titik balik dan sebuah akar secara unik mendefinisikan satu fungsi kuadrat tertentu. Parameter ‘a’ yang ditemukan akan spesifik dan hanya menghasilkan satu persamaan yang memenuhi kedua syarat tersebut.
