Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat X²+6x+7=0 bukan sekadar urusan menghafal rumus, melainkan sebuah petualangan logika yang mengasah nalar. Persamaan ini, dengan bentuk elegannya, seringkali menjadi gerbang pemahaman bagi siapa saja yang ingin mendalami aljabar lebih jauh. Meski terlihat sederhana, proses penyelesaiannya menyimpan pelajaran mendasar tentang hubungan antara koefisien, diskriminan, dan bentuk geometrisnya berupa parabola.
Artikel ini akan mengajak pembaca menelusuri dua metode andalan: Rumus Kuadrat yang langsung pada sasaran dan teknik Melengkapkan Kuadrat Sempurna yang penuh elegan. Selain itu, akan dibahas interpretasi grafis dari solusi yang ditemukan, serta bagaimana memverifikasi kebenarannya. Pemahaman menyeluruh ini tidak hanya menjawab soal, tetapi juga membekali kemampuan untuk menerapkannya dalam konteks yang lebih luas.
Pengenalan dan Konsep Dasar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat merupakan salah satu pilar penting dalam aljabar, sering muncul dalam berbagai konteks ilmiah dan praktis. Pada intinya, persamaan ini melibatkan variabel yang dipangkatkan dua sebagai pangkat tertinggi. Persamaan X²+6x+7=0 yang kita bahas adalah contoh konkret yang memerlukan penyelesaian sistematis.Bentuk umum dari sebuah persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan real, dan a tidak boleh sama dengan nol.
Dalam persamaan kita, X²+6x+7=0, kita dapat dengan mudah mengidentifikasi koefisiennya: koefisien kuadrat (a) adalah 1, koefisien linear (b) adalah 6, dan konstanta (c) adalah 7. Persamaan ini dikategorikan sebagai persamaan kuadrat murni atau bentuk standar karena sudah tersusun dalam urutan pangkat menurun, ruas kanannya nol, dan koefisien a-nya positif. Ia bukan bentuk khusus seperti kuadrat sempurna murni (misalnya, x²=9) karena masih memiliki suku linear (6x) dan konstanta.
Metode Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat (Rumus ABC)
Rumus kuadrat, sering disebut Rumus ABC, adalah alat yang ampuh dan universal untuk menyelesaikan segala jenis persamaan kuadrat. Rumus ini memberikan solusi langsung untuk nilai x dengan menggunakan komponen a, b, dan c. Rumus dasarnya adalah x = [-b ± √(b²
4ac)] / (2a).
Langkah pertama adalah menghitung diskriminan (D), yaitu nilai di bawah tanda akar kuadrat: D = b²
- 4ac. Untuk persamaan X²+6x+7=0, perhitungannya adalah D = (6)²
- 4*(1)*(7) = 36 – 28 =
- Karena D = 8 yang merupakan bilangan positif dan bukan kuadrat sempurna, kita dapat memprediksi bahwa akar-akarnya adalah dua bilangan real yang irasional dan berbeda. Selanjutnya, kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus ABC:
x = [-6 ± √8] / (2*1) = [-6 ± 2√2] / 2
Dari sini, kita sederhanakan menjadi x = -3 ± √2. Jadi, akar-akar persamaannya adalah x₁ = -3 + √2 dan x₂ = -3 – √2.Jenis akar persamaan kuadrat sangat bergantung pada nilai diskriminannya. Berikut adalah perbandingannya dengan contoh persamaan lain.
| Persamaan | a, b, c | Diskriminan (D) | Jenis Akar |
|---|---|---|---|
| X² + 6x + 7 = 0 | a=1, b=6, c=7 | D=8 (>0) | Dua akar real berbeda dan irasional |
| X² + 6x + 9 = 0 | a=1, b=6, c=9 | D=0 | Satu akar real kembar (x = -3) |
| X² + 6x + 10 = 0 | a=1, b=6, c=10 | D=-4 (<0) | Dua akar imajiner/kompleks |
2X²
|
a=2, b=-3, c=-5 | D=49 (>0) | Dua akar real berbeda dan rasional |
Metode Penyelesaian dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat X²+6x+7=0
Source: rumushitung.com
Metode melengkapkan kuadrat sempurna menawarkan pendekatan geometris-aljabar yang elegan. Intinya adalah memanipulasi persamaan sehingga sisi kiri berbentuk kuadrat sempurna (x + p)². Untuk persamaan x² + 6x + 7 = 0, kita mulai dengan memindahkan konstanta ke ruas kanan.
x² + 6x = -7
Langkah kunci adalah mengambil setengah dari koefisien x (yaitu 6/2 = 3), mengkuadratkannya (3² = 9), dan menambahkannya ke kedua ruas persamaan. Penambahan ini “melengkapi” bentuk kuadrat sempurna di ruas kiri.
x² + 6x + 9 = -7 + 9x² + 6x + 9 = 2
Sekarang, ruas kiri dapat difaktorkan menjadi kuadrat sempurna: (x + 3)². Proses ini mengubah persamaan kita menjadi bentuk yang lebih sederhana.
(x + 3)² = 2
Penyelesaian persamaan kuadrat X²+6x+7=0, misalnya dengan rumus abc, mengajarkan logika sistematis dan presisi. Konsep berpikir terstruktur ini juga menjadi fondasi dalam pengembangan Pusat Industri di Singapura , di mana perencanaan matang menentukan efisiensi. Demikian halnya, ketelitian dalam menghitung diskriminan persamaan itu sangat krusial untuk mendapatkan solusi yang akurat dan tepat.
Dari sini, kita selesaikan dengan mengambil akar kuadrat dari kedua ruas, ingat untuk menyertakan tanda positif dan negatif.
x + 3 = ±√2x = -3 ± √2
Hasil akhirnya konsisten dengan yang diperoleh dari rumus ABC, yaitu x₁ = -3 + √2 dan x₂ = -3 – √2.
Interpretasi Grafis dan Akar-Akar Persamaan
Setiap persamaan kuadrat dapat direpresentasikan secara visual sebagai sebuah parabola pada bidang kartesius. Untuk fungsi kuadrat f(x) = x² + 6x + 7, grafiknya akan berbentuk parabola yang terbuka ke atas karena koefisien a=1 bernilai positif. Titik puncak atau vertex parabola ini dapat ditemukan. Sumbu simetrinya berada di x = -b/(2a) = -6/(2*1) = -3. Nilai f(-3) adalah (-3)² + 6*(-3) + 7 = 9 – 18 + 7 = -2.
Jadi, titik puncak parabola berada di koordinat (-3, -2).Akar-akar persamaan, yaitu x = -3 ± √2 (sekitar -1.586 dan -4.414), memiliki makna grafis yang penting. Mereka merupakan titik-titik di mana parabola memotong atau menyinggung sumbu-x (di mana f(x)=0). Dalam kasus ini, karena diskriminan positif, parabola memotong sumbu-x di dua titik yang sesuai dengan kedua akar real tersebut.Hubungan antara diskriminan, jenis akar, dan grafik dapat dirangkum sebagai berikut:
- Diskriminan Positif (D > 0): Grafik parabola memotong sumbu-x di dua titik yang berbeda. Ini sesuai dengan dua akar real yang berbeda, seperti pada persamaan kita (D=8).
- Diskriminan Nol (D = 0): Grafik parabola menyinggung sumbu-x di satu titik. Ini merepresentasikan akar real yang kembar.
- Diskriminan Negatif (D < 0): Grafik parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu-x; ia berada sepenuhnya di atas atau di bawah sumbu-x (tergantung nilai a). Ini menunjukkan bahwa akar-akarnya adalah bilangan kompleks.
Verifikasi Solusi dan Aplikasi Sederhana
Setelah menemukan solusi, langkah verifikasi adalah suatu keharusan untuk memastikan keakuratan perhitungan. Prosedurnya sederhana: substitusikan masing-masing nilai akar yang didapat kembali ke dalam persamaan awal x² + 6x + 7 = 0, dan periksa apakah hasilnya benar-benar mendekati nol.Dalam konteks aplikasi, persamaan kuadrat seperti x² + 6x + 7 = 0 dapat muncul dari pemodelan sederhana. Misalnya, dalam analisis usaha, jika suatu produk memiliki fungsi biaya total C(x) = x² + 7 dan fungsi pendapatan R(x) = -6x (dengan asumsi pendapatan negatif mungkin mewakili situasi kerugian tetap per unit), titik impas (di mana pendapatan sama dengan biaya) akan memenuhi -6x = x² + 7.
Ketika kita susun ulang, kita mendapatkan x² + 6x + 7 = 0. Akar-akar persamaan ini, meskipun mungkin bukan bilangan bulat, memberikan wawasan kuantitatif tentang kondisi impas tersebut.Berikut adalah tabel verifikasi untuk akar-akar yang telah kita hitung, dengan memperhatikan kemungkinan kesalahan pembulatan dari nilai √2 (≈1.41421356).
| Akar (x) | Perhitungan x² + 6x + 7 | Hasil Substitusi | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| x₁ = -3 + √2 ≈ -1.585786 | (-3+√2)² + 6(-3+√2) + 7 = (9 -6√2 +2) + (-18 +6√2) + 7 | 0 (Tepat secara aljabar) | Verifikasi Berhasil |
| x₂ = -3 – √2 ≈ -4.414214 | (-3-√2)² + 6(-3-√2) + 7 = (9 +6√2 +2) + (-18 -6√2) + 7 | 0 (Tepat secara aljabar) | Verifikasi Berhasil |
Perhitungan aljabar menunjukkan bahwa suku-suku yang mengandung √2 saling menghilang, meninggalkan 9+2-18+7 yang sama dengan nol, membuktikan kebenaran solusi tanpa bergantung pada pembulatan desimal.
Ringkasan Penutup
Dengan demikian, perjalanan menyelesaikan persamaan X²+6x+7=0 telah menunjukkan bahwa matematika adalah bahasa universal yang terstruktur. Metode rumus ABC memberikan efisiensi, sementara melengkapkan kuadrat sempurna menawarkan insight aljabar yang dalam. Akar-akar imajiner yang dihasilkan, yaitu x = -3 ± √2 i, bukanlah akhir cerita, melainkan pintu menuju dunia bilangan kompleks yang justru sangat aplikatif dalam sains dan teknik. Pada akhirnya, menguasai dasar-dasar ini adalah investasi berharga untuk memecahkan masalah yang jauh lebih kompleks di masa depan.
Pertanyaan Populer dan Jawabannya
Apa arti akar imajiner atau kompleks dari persamaan ini dalam dunia nyata?
Akar imajiner menandakan bahwa grafik parabola tidak memotong sumbu x. Dalam aplikasi nyata, seperti analisis rangkaian listrik arus bolak-balik (AC) atau sistem getaran, bilangan kompleks digunakan untuk merepresentasikan besaran yang memiliki dua komponen (misalnya, amplitudo dan fase).
Mengapa koefisien ‘a’ dalam persamaan ini harus bernilai 1?
Menyelesaikan persamaan kuadrat seperti X²+6x+7=0 dengan rumus abc melatih logika aljabar yang ketat, sebuah keterampilan yang juga vital saat mengolah transformasi logaritma. Kemahiran ini berguna, misalnya, untuk mengekspresikan Nilai 35 log15 bila 3 log5 = m, 7 log5 = n dalam variabel m dan n, yang memerlukan manipulasi sifat logaritma layaknya memecah koefisien dalam kuadrat. Pada akhirnya, penguasaan kedua konsep ini memperkuat fondasi matematis untuk menyelesaikan berbagai problem, termasuk kembali ke akar persamaan kuadrat tadi dengan presisi.
Dalam persamaan X²+6x+7=0, koefisien ‘a’ memang 1. Namun, rumus ABC dan metode kuadrat sempurna berlaku untuk semua nilai ‘a’ (selain nol). Jika ‘a’ bukan 1, langkah dalam melengkapkan kuadrat sempurna biasanya dimulai dengan membagi seluruh persamaan dengan nilai ‘a’ tersebut.
Setelah memahami cara menyelesaikan persamaan kuadrat X²+6x+7=0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna, logika aljabar yang sama dapat diterapkan pada konsep turunan. Sebagai contoh, untuk Tentukan Persamaan Garis Singgung Kurva y=(x²+2)² di Titik A , kita perlu mencari turunan fungsi yang melibatkan operasi serupa. Penguasaan teknik dasar ini, termasuk menyelesaikan persamaan kuadrat, menjadi fondasi krusial dalam kalkulus dan analisis matematika yang lebih kompleks.
Apakah ada metode lain selain dua yang dibahas untuk menyelesaikan persamaan ini?
Ya, metode lainnya adalah pemfaktoran. Namun, persamaan X²+6x+7=0 tidak dapat difaktorkan dengan menggunakan bilangan bulat, karena akar-akarnya adalah bilangan irasional/imajiner. Metode pemfaktoran hanya efektif jika akar-akarnya merupakan bilangan rasional.
Bagaimana jika konstanta ‘7’ diubah, apa pengaruhnya terhadap akar?
Mengubah konstanta ‘c’ akan mengubah nilai diskriminan (D = b²
-4ac). Jika ‘c’ diperkecil, diskriminan bisa menjadi positif (2 akar real berbeda), nol (1 akar real kembar), atau tetap negatif (2 akar kompleks) tergantung besar perubahannya. Ini secara langsung menggeser posisi parabola naik atau turun terhadap sumbu x.
