Hitung diskriminan persamaan x²‑12x+20=0 bukan sekadar rutinitas matematika belaka, melainkan sebuah kunci untuk membuka misteri di balik sifat akar-akarnya. Dalam dunia aljabar, diskriminan berperan layaknya detektor yang dengan cepat memberi tahu kita apakah suatu persamaan kuadrat memiliki akar kembar, akar riil berbeda, atau justru akar imajiner yang tak terlihat dalam garis bilangan biasa.
Melalui eksplorasi terhadap persamaan spesifik ini, kita akan mengupas tuntas bagaimana tiga angka sederhana—koefisien dari x², x, dan konstanta—berinteraksi dalam sebuah rumus elegan. Proses ini tidak hanya memberikan jawaban numerik, tetapi juga membawa pemahaman mendalam tentang hubungan antara bentuk aljabar dan interpretasi geometrisnya dalam sebuah grafik parabola.
Pengertian dan Komponen Persamaan Kuadrat
Sebelum menyelami perhitungan diskriminan, penting untuk memahami fondasinya terlebih dahulu, yaitu persamaan kuadrat itu sendiri. Dalam dunia aljabar, persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan polinomial berderajat dua. Struktur umumnya selalu dapat dituliskan dalam bentuk baku, yang menjadi kunci untuk menyelesaikan berbagai masalah terkait.
Bentuk baku persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, di mana x merupakan variabel yang nilainya ingin kita cari (akar-akar persamaan). Koefisien a, b, dan konstanta c adalah bilangan real, dengan syarat mutlak bahwa a tidak boleh sama dengan nol. Jika a bernilai nol, maka persamaan tersebut berubah menjadi linear, bukan lagi kuadrat.
Identifikasi Koefisien pada Persamaan Contoh
Source: z-dn.net
Mari kita ambil persamaan dari judul, x²‑12x+20=0, sebagai studi kasus. Tugas pertama adalah mengidentifikasi nilai dari a, b, dan c dengan tepat. Perlu diperhatikan bahwa tanda positif atau negatif di depan setiap bilangan adalah bagian yang tidak terpisahkan dari nilai koefisien atau konstanta tersebut.
| Komponen | Bentuk Umum | Contoh: x²‑12x+20=0 | Keterangan |
|---|---|---|---|
| Koefisien kuadrat (a) | a | 1 | Angka di depan x². Karena tidak tertulis, nilainya adalah 1. |
| Koefisien linear (b) | b | -12 | Angka di depan x. Tanda negatif ikut, jadi b = -12. |
| Konstanta (c) | c | 20 | Bilangan tetap tanpa variabel x. |
Dengan identifikasi ini, kita telah menyiapkan semua bahan yang diperlukan untuk langkah analisis selanjutnya, yaitu menghitung diskriminan.
Konsep Diskriminan dalam Aljabar
Diskriminan dalam persamaan kuadrat ibarat sebuah alat diagnostik yang powerful. Dengan satu nilai hasil perhitungan, kita dapat mengetahui karakteristik akar-akar persamaan tanpa perlu menyelesaikan persamaan tersebut sepenuhnya terlebih dahulu. Konsep ini memberikan efisiensi dan wawasan mendalam tentang perilaku fungsi kuadrat.
Rumus diskriminan, yang sering disimbolkan dengan D, diturunkan langsung dari rumus kuadrat (rumus ABC). Rumusnya adalah:
D = b² – 4ac
Variabel a, b, dan c di sini adalah koefisien dan konstanta yang sama dari bentuk umum persamaan kuadrat. Kehebatan rumus ini terletak pada kesederhanaannya yang mampu mengungkap banyak hal.
Makna Geometris Nilai Diskriminan
Nilai diskriminan tidak hanya abstrak secara aljabar, tetapi memiliki representasi visual yang jelas pada grafik fungsi kuadrat (parabola). Grafik fungsi y = ax² + bx + c akan memotong, menyinggung, atau tidak menyentuh sumbu-x tergantung pada nilai D. Jika sumbu-x mewakili y=0, maka titik potongnya tidak lain adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Dengan demikian, diskriminan memberitahu kita tentang hubungan geometris antara parabola dan sumbu horizontal.
Prosedur Perhitungan Langkah demi Langkah
Sekarang, kita terapkan konsep tersebut untuk menghitung diskriminan dari persamaan x²‑12x+20=0. Prosesnya bersifat aritmetika sistematis, namun pemahaman terhadap setiap langkah akan memperkuat fondasi aljabar kita. Mari kita uraikan dengan runut.
Berdasarkan identifikasi sebelumnya, kita telah mendapatkan nilai-nilai kunci: a = 1, b = -12, dan c = 20. Prosedur perhitungan mengikuti rumus D = b²
-4ac secara harfiah dan berurutan.
Ilustrasi Proses Aritmetika
Berikut adalah langkah-langkah sistematis yang dapat diikuti:
- Langkah 1: Substitusi nilai. Masukkan nilai a, b, dan c ke dalam rumus. Perhitungan menjadi: D = (-12)²
-4
– 1
– 20. - Langkah 2: Hitung kuadrat dari b. (-12)² berarti (-12) dikalikan dengan (-12), yang hasilnya adalah
144. Persamaan sekarang: D = 144 – 4
– 1
– 20. - Langkah 3: Hitung perkalian 4ac. Kalikan 4, a (1), dan c (20). Hasilnya adalah 4
– 1
– 20 =
80. Persamaan menjadi: D = 144 – 80. - Langkah 4: Lakukan pengurangan. Kurangi 80 dari 144. Hasil akhirnya adalah D = 64.
Dengan demikian, diskriminan dari persamaan x²‑12x+20=0 adalah 64. Nilai ini, yang positif dan merupakan kuadrat sempurna, membawa implikasi spesifik yang akan kita bahas selanjutnya.
Interpretasi Hasil Diskriminan
Setelah mendapatkan nilai D = 64, apa maknanya? Interpretasi terhadap nilai diskriminan inilah inti dari penggunaannya. Nilai D yang berbeda akan menggambarkan sifat akar-akar persamaan yang juga berbeda, yang pada akhirnya menentukan metode penyelesaian yang paling efektif.
Secara umum, hubungan antara nilai diskriminan dan jenis akar dapat dikategorikan ke dalam tiga skenario utama. Kategori ini bersifat deterministik dan berlaku untuk semua persamaan kuadrat dengan koefisien real.
Perbandingan Skenario Berdasarkan Nilai D
D > 0 (Positif): Persamaan memiliki dua akar real yang berbeda. Grafik parabola memotong sumbu-x di dua titik yang berlainan. Jika D berupa bilangan kuadrat sempurna (seperti 1, 4, 9, 16, 64, dsb.), maka akar-akarnya adalah bilangan rasional dan persamaan dapat difaktorkan dengan mudah.
D = 0 (Nol): Persamaan memiliki dua akar real yang sama (akar kembar). Grafik parabola menyinggung sumbu-x di tepat satu titik (titik puncak berada di sumbu-x).
Menghitung diskriminan dari persamaan x²‑12x+20=0, yakni D = b²‑4ac = 144‑80 = 64, memberikan gambaran jelas tentang jumlah akar solusi. Proses analitis ini serupa dengan cara kita mengurai peran Fungsi Komponen Fisik dalam Lingkungan Hidup untuk memahami keseimbangan ekosistem. Keduanya sama-sama memerlukan pendekatan sistematis, di mana pemahaman mendalam terhadap komponen, baik dalam rumus maupun alam, menjadi kunci utama untuk mencapai solusi yang tepat dan berkelanjutan, sebagaimana terbukti dari nilai diskriminan positif tadi.
D < 0 (Negatif): Persamaan tidak memiliki akar bilangan real. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks/khayal yang berbentuk a ± bi. Grafik parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu-x sama sekali; ia berada sepenuhnya di atas atau di bawah sumbu-x.
Karena D=64 yang kita peroleh adalah positif dan merupakan kuadrat sempurna (8²), dapat disimpulkan bahwa persamaan x²‑12x+20=0 memiliki dua akar real rasional yang berbeda. Fakta ini juga menjelaskan mengapa persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi (x-10)(x-2)=0.
Aplikasi dan Contoh Variasi Soal: Hitung Diskriminan Persamaan X²‑12x+20=0
Untuk menguasai konsep ini, melihat variasi contoh menjadi penting. Dengan membandingkan persamaan yang menghasilkan nilai diskriminan berbeda, pemahaman kita akan menjadi lebih holistik dan aplikatif. Berikut adalah beberapa contoh persamaan kuadrat beserta analisis diskriminannya.
Tabel di bawah ini menyajikan tiga contoh yang mewakili tiga kemungkinan nilai diskriminan, dilengkapi dengan kesimpulan tentang jenis akarnya.
Perhitungan diskriminan persamaan x²‑12x+20=0, yakni D = (-12)² – 4120 = 64, mengungkap dua akar real yang berbeda. Prinsip perbedaan mendasar ini analog dengan dunia biologi, di mana Sel Hewan Lebih Lentur Daripada Sel Tumbuhan Karena Struktur Berbeda , suatu fakta yang ditentukan oleh ketiadaan dinding sel kaku. Sama seperti nilai diskriminan yang krusial, perbedaan struktur seluler tersebut menjadi penentu fundamental sifat dan perilaku kedua jenis sel tersebut dalam ekosistem kehidupan.
| Persamaan Kuadrat | Nilai a, b, c | Diskriminan (D) | Jenis Akar |
|---|---|---|---|
| 2x² + 3x – 5 = 0 | a=2, b=3, c=-5 | D = 3² – 4*2*(-5) = 9 + 40 = 49 | Dua akar real berbeda (D>0 dan kuadrat sempurna). |
| x² – 6x + 9 = 0 | a=1, b=-6, c=9 | D = (-6)² – 4*1*9 = 36 – 36 = 0 | Dua akar real kembar (D=0). |
| x² + 2x + 5 = 0 | a=1, b=2, c=5 | D = 2²
Menghitung diskriminan persamaan x²‑12x+20=0, yakni D = b² – 4ac = 144 – 80 = 64, memberikan pemahaman kuantitatif yang mirip dengan logika memecahkan masalah sehari-hari, seperti menganalisis Harga 3 Buku dan 1 Pensil Berdasarkan Harga Buku Sama 3 Pensil. Keduanya memerlukan penyusunan hubungan variabel secara sistematis. Nilai diskriminan positif 64 ini, yang mengindikasikan dua akar real berbeda, akhirnya menguatkan bahwa solusi pasti dapat ditemukan melalui pendekatan matematika yang terstruktur.
|
Akar-akar kompleks/khayal (D<0). |
Demonstrasi Penyelesaian Singkat, Hitung diskriminan persamaan x²‑12x+20=0
Mari kita tunjukkan penyelesaian untuk contoh pertama, 2x² + 3x – 5 = 0, dengan memanfaatkan informasi diskriminannya. Karena D=49 (kuadrat sempurna), akar-akarnya rasional dan persamaan dapat difaktorkan. Namun, kita juga bisa langsung menggunakan rumus kuadrat.
Rumus kuadrat: x = [-b ± √D] / (2a). Dengan substitusi b=3, D=49, dan a=2, kita peroleh:
x = [-3 ± √49] / (2*2) = [-3 ± 7] /
4. Maka, dua akarnya adalah:
x₁ = (-3 + 7)/4 = 4/4 = 1, dan
x₂ = (-3 – 7)/4 = -10/4 = -5/2.
Proses ini menunjukkan bagaimana nilai diskriminan yang telah dihitung sebelumnya mempermudah pencarian akar-akar persamaan.
Simpulan Akhir
Dengan demikian, perhitungan diskriminan untuk x²‑12x+20=0 yang menghasilkan nilai 64 telah memberikan konfirmasi yang tegas. Persamaan ini memiliki dua akar riil yang berbeda, yakni 2 dan 10, yang dapat diverifikasi melalui pemfaktoran atau rumus kuadrat. Lebih dari sekadar angka, diskriminan menawarkan efisiensi dan kejelasan, memampukan kita untuk mengklasifikasikan solusi suatu persamaan kuadrat tanpa harus menyelesaikannya secara lengkap terlebih dahulu. Penguasaan konsep ini menjadi fondasi penting untuk menjelajahi masalah matematika yang lebih kompleks dan aplikasinya dalam berbagai bidang ilmu.
Kumpulan Pertanyaan Umum
Apa bedanya diskriminan dengan determinan?
Diskriminan (biasa dilambangkan D) adalah nilai yang menentukan sifat akar persamaan kuadrat. Sementara determinan adalah nilai skalar khusus yang dihitung dari matriks persegi, digunakan dalam aljabar linear untuk berbagai keperluan seperti mengetahui kebalikan suatu matriks.
Apakah nilai diskriminan bisa berupa bilangan desimal atau pecahan?
Ya, nilai diskriminan bisa berupa bilangan apa saja—bulat, desimal, pecahan, atau irasional—tergantung nilai koefisien a, b, dan c. Jenis akarnya ditentukan oleh apakah D positif, nol, atau negatif, bukan oleh bentuk bilangannya.
Bagaimana jika koefisien a pada persamaan kuadrat bernilai negatif, apakah rumus diskriminan berubah?
Tidak, rumus diskriminan tetap D = b²
-4ac, terlepas dari tanda (positif atau negatif) dari koefisien a, b, dan c. Nilai a yang negatif akan mempengaruhi hasil perhitungan D, tetapi rumus dan cara interpretasinya tetap sama.
Apakah diskriminan hanya berguna untuk persamaan kuadrat?
Konsep diskriminan paling umum dan mendasar digunakan untuk persamaan kuadrat. Namun, terdapat generalisasi konsep diskriminan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, yang juga berfungsi memberikan informasi tentang sifat akar-akarnya.
