Selisih Jari‑Jari Dua Lingkaran dari Garis Singgung 24 cm & Jarak Pusat 26 cm bukan sekadar angka, melainkan sebuah teka-teki geometri yang elegan. Soal ini menghadirkan tantangan klasik namun menarik, di mana hubungan tersembunyi antara garis singgung persekutuan luar, jarak antar pusat, dan ukuran jari-jari lingkaran terungkap melalui paduan logika dan aljabar. Dalam dunia matematika, memahami relasi ini membuka pintu untuk menganalisis bentuk dan ruang dengan lebih mendalam.
Dengan garis singgung sepanjang 24 cm yang menyentuh dua lingkaran secara bersamaan dan jarak pusat sebesar 26 cm, kita diajak untuk menelusuri jejak Pythagoras dalam konfigurasi dua lingkaran. Posisi garis singgung yang tegak lurus terhadap jari-jari di titik singgungnya menciptakan segitiga siku-siku imajiner. Dari segitiga inilah sebuah rumus kunci muncul, menghubungkan ketiga besaran tersebut dan memungkinkan kita mengungkap selisih jari-jari kedua lingkaran dengan presisi.
Konsep Dasar dan Rumus Garis Singgung Persekutuan Luar
Dalam geometri lingkaran, garis singgung persekutuan luar adalah sebuah garis lurus yang menyinggung dua lingkaran berbeda di dua titik dan tidak memotong ruas yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Posisinya selalu berada di sisi yang sama terhadap garis pusat. Hubungan antara panjang garis singgung ini (disebut l), jarak antara kedua pusat lingkaran ( p), dan jari-jari kedua lingkaran ( R dan r, dengan R > r) diungkapkan dalam sebuah rumus Pythagoras yang elegan.
Bayangkan sebuah segitiga siku-siku terbentuk dari tiga komponen: selisih jari-jari (R – r) sebagai salah satu sisi penyiku, garis singgung persekutuan luar (l) sebagai sisi penyiku lainnya, dan jarak pusat (p) sebagai sisi miring.
Dalam geometri, selisih jari‑jari dua lingkaran yang memiliki garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak pusat 26 cm dapat dihitung dengan teorema Pythagoras, mengungkap hubungan yang presisi. Refleksi tentang harmoni dan ketegangan dalam hubungan ini mengingatkan pada perjuangan moral dan sosial yang kompleks, sebagaimana dijelaskan dalam ulasan mendalam tentang Leo Tolstoy: Filsuf Moral, Reformator Sosial, dan Pembebas Budak. Sama seperti Tolstoy mencari keadilan, perhitungan matematis ini mengejar kebenaran numerik yang tak terbantahkan, di mana selisih jari‑jari tersebut akhirnya terkuak sebagai 10 cm.
Rumus intinya adalah: p² = l² + (R – r)². Rumus ini menjadi kunci untuk menyelesaikan berbagai masalah, termasuk soal yang kita hadapi dengan data garis singgung 24 cm dan jarak pusat 26 cm. Dari sini, kita bisa mengekstrak rumus untuk mencari selisih jari-jari: (R – r) = √(p²
-l²) .
Perbandingan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam
Pemahaman menjadi lebih lengkap ketika kita membandingkan dengan garis singgung persekutuan dalam. Perbedaan utamanya terletak pada posisi garis singgung yang memotong garis hubung pusat dan rumus Pythagoras yang dibentuk. Berikut tabel yang merangkum perbedaan mendasar kedua konsep tersebut.
| Karakteristik | Garis Singgung Persekutuan Luar | Garis Singgung Persekutuan Dalam |
|---|---|---|
| Posisi Relatif | Tidak memotong garis hubung pusat, berada di sisi yang sama. | Memotong garis hubung pusat di antara kedua lingkaran. |
| Rumus Hubungan | p² = l² + (R – r)² | p² = d² + (R + r)² (d = panjang garis singgung dalam) |
| Komponen Segitiga | Sisi penyiku: l dan (R – r). Sisi miring: p. | Sisi penyiku: d dan (R + r). Sisi miring: p. |
| Ilustrasi Deskriptif | Dua lingkaran dengan ukuran berbeda sejajar secara horizontal. Sebuah garis lurus mendatar menyentuh puncak lingkaran kecil dan dasar lingkaran besar. Jarak vertikal antara kedua titik singgung itu sama dengan selisih jari-jari. | Dua lingkaran terpisah. Sebuah garis lurus melintang di antara mereka, menyentuh sisi dalam kedua lingkaran. Ruas garis yang tegak lurus dari titik singgung ke garis pusat memiliki panjang yang merupakan jumlah jari-jari. |
Langkah Penyelesaian Matematis Menemukan Selisih Jari-Jari
Dengan rumus p² = l² + (R – r)² dan data numerik yang sudah ada, proses perhitungan menjadi sesuatu yang langsung dan sistematis. Mari kita telusuri langkah-langkah konkret untuk mengubah data menjadi jawaban.
Prosedur Perhitungan Langsung
Langkah-langkah berikut menunjukkan manipulasi aljabar sederhana yang berujung pada solusi.
- Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus dasar: 26² = 24² + (R – r)².
- Hitung kuadrat dari masing-masing bilangan: 676 = 576 + (R – r)².
- Pindahkan konstanta 576 ke ruas kiri: 676 – 576 = (R – r)², sehingga 100 = (R – r)².
- Akar kuadratkan kedua ruas untuk mendapatkan selisih jari-jari: √100 = √(R – r)², yang menghasilkan R – r = 10 cm.
Metode Alternatif dan Potensi Jebakan
Selain pendekatan langsung, kita bisa melihatnya sebagai pencarian salah satu sisi segitiga siku-siku jika diketahui sisi miring dan sisi siku-siku lainnya. Kesalahan yang sering terjadi adalah kekeliruan tanda antara rumus luar dan dalam, atau salah dalam melakukan operasi akar kuadrat. Penting untuk diingat bahwa selisih jari-jari (R – r) dalam konteks ini selalu bernilai positif karena R > r didefinisikan sebagai lingkaran yang lebih besar.
Selain itu, pastikan untuk tidak terburu-buru dan melakukan pengurangan sebelum mengkuadratkan; urutan operasi harus dijaga.
Interpretasi Hasil dan Variasi Nilai
Hasil perhitungan R – r = 10 cm bukanlah akhir cerita. Nilai ini membuka ruang untuk interpretasi geometris dan eksplorasi bagaimana perubahan data awal mempengaruhi hasil akhir. Selisih ini memberi tahu kita bahwa jari-jari lingkaran besar 10 cm lebih panjang dari jari-jari lingkaran kecil, namun ukuran pasti masing-masing lingkaran bisa bervariasi selama selisihnya tetap 10 cm dan jarak pusatnya 26 cm.
Variasi Hasil Berdasarkan Modifikasi Data
Untuk memahami sensitivitas rumus, perhatikan tabel berikut yang menunjukkan bagaimana selisih jari-jari berubah jika panjang garis singgung (l) atau jarak pusat (p) kita ubah, sementara satu variabel lain tetap seperti soal awal.
| Jarak Pusat (p) cm | Garis Singgung (l) cm | Perhitungan (R – r) | Interpretasi |
|---|---|---|---|
| 26 (tetap) | 20 (dimodifikasi) | √(26²
|
Garis singgung lebih pendek, selisih jari-jari membesar. |
| 30 (dimodifikasi) | 24 (tetap) | √(30²
|
Jarak pusat membesar, selisih jari-jari juga membesar. |
| 25 (dimodifikasi) | 24 (tetap) | √(25²
|
Jarak pusat mendekati panjang garis singgung, selisih mengecil. |
| 24 (dimodifikasi) | 24 (tetap) | √(24²
Perhitungan selisih jari‑jari dua lingkaran, dengan garis singgung 24 cm dan jarak pusat 26 cm, mengungkap hubungan geometris yang presisi. Prinsip kolaborasi ini mirip dengan dinamika dalam Bentuk‑bentuk Kerja Sama , di mana sinergi elemen berbeda menciptakan hasil optimal. Dengan demikian, memahami interaksi antar variabel—seperti pada soal lingkaran itu—menjadi kunci memecahkan persoalan yang kompleks.
|
Jika p = l, maka selisih jari-jari nol (lingkaran sama besar). |
Hubungan kuadrat dalam rumus ini adalah inti dari perilaku tersebut. Seperti ditekankan dalam prinsip geometri:
Kuadrat jarak pusat merupakan jumlah dari kuadrat garis singgung dan kuadrat selisih jari-jari. Ini berarti perubahan kecil pada jarak pusat akan memberikan pengaruh yang lebih besar pada selisih jari-jari dibandingkan perubahan yang sama pada panjang garis singgung, karena sifat kuadrat yang tidak linear.
Aplikasi dalam Contoh Soal dan Konteks Lain: Selisih Jari‑Jari Dua Lingkaran Dari Garis Singgung 24 cm & Jarak Pusat 26 cm
Source: slidesharecdn.com
Konsep garis singgung persekutuan tidak hanya berhenti di soal hitungan. Ia memiliki aplikasi dalam penyusunan soal yang lebih kompleks dan bahkan dalam bidang terapan seperti desain teknis atau arsitektur, misalnya dalam perencanaan roda gigi, jalur conveyor, atau tata letak komponen melingkar.
Contoh Soal Latihan dengan Penyelesaian, Selisih Jari‑Jari Dua Lingkaran dari Garis Singgung 24 cm & Jarak Pusat 26 cm
Berikut dua contoh soal yang mengembangkan pemahaman dari kasus dasar yang telah dibahas.
Contoh Soal 1 (Menengah): Diketahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 15 cm. Jika jarak kedua pusatnya 25 cm dan panjang jari-jari salah satu lingkaran 10 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.
- Gunakan rumus: p² = l² + (R – r)². Diketahui p=25, l=15, dan misalkan r=10.
- Substitusi: 25² = 15² + (R – 10)² → 625 = 225 + (R – 10)².
- Maka (R – 10)² = 400 → R – 10 = 20 (positif, karena R pasti > r).
- Diperoleh R = 30 cm. Jadi, jari-jari lingkaran lain adalah 30 cm.
Contoh Soal 2 (Kontekstual): Dua pipa silinder dengan diameter berbeda akan dihubungkan dengan sebuah sabuk konveyor lurus yang membungkus bagian luarnya (seperti garis singgung luar). Jika pusat kedua pipa berjarak 4 meter dan sabuk konveyor yang melintang lurus di antara kedua titik singgungnya panjangnya 3.5 meter, hitunglah perbedaan radius kedua pipa tersebut.
- Ini adalah masalah garis singgung persekutuan luar. p = 4 m, l = 3.5 m.
- Hitung selisih jari-jari (atau radius): R – r = √(p²
-l²) = √(16 – 12.25) = √3.75 ≈ 1.936 meter. - Jadi, perbedaan radius kedua pipa sekitar 1.94 meter.
Perbedaan Penyelesaian untuk Garis Singgung Dalam
Jika soal memberikan garis singgung persekutuan dalam ( d), rumus yang digunakan berubah total menjadi p² = d² + (R + r)². Fokus perhitungan bergeser dari mencari selisih menjadi mencari jumlah jari-jari. Langkah penyelesaiannya akan dimulai dengan menghitung (R + r) = √(p²
-d²), yang kemudian bisa dikombinasikan dengan informasi lain (seperti selisih atau salah satu jari-jari) untuk menemukan nilai R dan r secara individual.
Kesalahan paling fatal adalah mencampuradukkan kedua rumus ini, sehingga selalu identifikasi jenis garis singgung terlebih dahulu sebelum memulai perhitungan.
Perhitungan selisih jari‑jari dua lingkaran dari panjang garis singgung 24 cm dan jarak pusat 26 cm mengandalkan ketelitian numerik, mirip dengan presisi yang dibutuhkan dalam menghitung Massa Molekul Relatif Na₂SO₄·5H₂O. Keduanya merupakan aplikasi fundamental dalam sains eksakta. Kembali ke geometri, selisih jari‑jari tersebut dapat ditentukan melalui teorema Pythagoras, menghasilkan nilai yang konkret dan dapat diverifikasi.
Penutup
Dengan demikian, perjalanan menyelesaikan soal Selisih Jari‑Jari Dua Lingkaran dari Garis Singgung 24 cm & Jarak Pusat 26 cm telah membawa kita pada pemahaman yang utuh. Proses ini menegaskan bahwa geometri adalah seni bernalar, di mana setiap garis dan jarak memiliki cerita dan hubungan yang dapat diukur. Nilai selisih yang ditemukan bukanlah akhir, melainkan sebuah pintu gerbang untuk mengeksplorasi variasi soal lain dan aplikasinya dalam bidang seperti teknik dan desain, membuktikan keindahan matematika yang aplikatif dan penuh makna.
Ringkasan FAQ
Apakah rumus yang digunakan hanya berlaku untuk garis singgung persekutuan luar?
Ya, rumus d² = g² + (R – r)² khusus untuk garis singgung persekutuan luar. Untuk garis singgung persekutuan dalam, rumusnya adalah d² = g² + (R + r)².
Bagaimana jika panjang garis singgung atau jarak pusatnya bukan bilangan bulat?
Prinsip dan rumusnya tetap sama. Proses perhitungan akan melibatkan bilangan desimal atau akar, namun langkah-langkah aljabar untuk mencari selisih jari-jari (R – r) tidak berubah.
Dapatkah kita mengetahui panjang jari-jari masing-masing lingkaran dari soal ini?
Tidak. Soal ini hanya memberikan informasi untuk mencari selisihnya (R – r). Untuk mengetahui R dan r secara individual, dibutuhkan informasi tambahan, seperti jumlah jari-jari atau panjang salah satu jari-jari.
Mengapa dalam penyelesaiannya selalu dianggap R lebih besar dari r?
Ini adalah konvensi untuk menyederhanakan perhitungan dan menghindari nilai selisih negatif. Selisih (R – r) didefinisikan sebagai bilangan positif, yang merepresentasikan perbedaan panjang mutlak antara jari-jari yang lebih besar dan yang lebih kecil.
