Tentukan titik pusat dan jari‑jari lingkaran X²+y²-4x-6y+4=0 bukan sekadar perintah dalam buku matematika, melainkan sebuah petualangan kecil untuk mengungkap rahasia bentuk geometris yang tersembunyi di balik susunan angka dan variabel. Soal ini seringkali menjadi gerbang pemahaman bagi banyak siswa untuk menguasai konsep irisan kerucut, khususnya lingkaran, yang aplikasinya menjangkau dari desain teknik hingga perhitungan astronomi.
Dengan mengubah persamaan umum tersebut ke dalam bentuk baku, kita dapat secara langsung membaca posisi pusat dan ukuran jari-jari lingkaran. Proses ini melibatkan teknik melengkapi kuadrat sempurna, sebuah metode aljabar elegan yang mentransformasi bentuk yang tampak kompleks menjadi informasi geometris yang jelas dan siap divisualisasikan pada bidang koordinat.
Memahami Bentuk Umum dan Bentuk Baku Persamaan Lingkaran
Sebelum menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan yang diberikan, penting untuk memahami dua bentuk utama persamaan lingkaran. Dua bentuk ini, yaitu bentuk umum dan bentuk baku, sebenarnya menyatakan hal yang sama namun disajikan dengan cara yang berbeda. Pemahaman ini menjadi kunci untuk mengungkap informasi geometris yang tersembunyi di balik susunan aljabar.
Bentuk umum persamaan lingkaran dituliskan sebagai x² + y² + Ax + By + C = 0. Bentuk ini seringkali langsung diperoleh dari perumusan masalah. Sementara itu, bentuk baku memiliki struktur (x - a)² + (y - b)² = r². Keunggulan utama bentuk baku terletak pada kemudahannya; kita dapat langsung membaca koordinat titik pusat lingkaran di (a, b) dan panjang jari-jari (r) tanpa perlu perhitungan tambahan.
Mengubah Persamaan ke Bentuk Baku dengan Melengkapi Kuadrat
Untuk mengubah persamaan x² + y² ke bentuk baku, kita gunakan teknik melengkapi kuadrat sempurna. Langkah pertama adalah mengelompokkan suku-suku x dan y:
-4x - 6y + 4 = 0 (x². Selanjutnya, kita lengkapi kuadrat untuk masing-masing kelompok. Untuk suku x, kita tambahkan
-4x) + (y²
-6y) = -4 (-4/2)² = 4, dan untuk suku y, kita tambahkan (-6/2)² = 9. Karena kita menambahkan 4 dan 9 di ruas kiri, kita juga harus menambahkan bilangan yang sama di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga.
(x²
- 4x + 4) + (y²
- 6y + 9) = -4 + 4 + 9
(x – 2)² + (y – 3)² = 9
Dari bentuk baku (x - 2)² + (y - 3)² = 9, informasi geometris lingkaran pun langsung terlihat jelas.
Perbandingan Bentuk Umum dan Bentuk Baku
Berikut adalah tabel yang merangkum perbedaan mendasar antara kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, dilengkapi dengan contoh untuk mempermudah pemahaman.
| Bentuk Persamaan | Ciri-ciri | Kelebihan | Contoh |
|---|---|---|---|
| Bentuk Umum x² + y² + Ax + By + C = 0 |
Semua suku berada di satu ruas dan sama dengan nol. Koefisien x² dan y² biasanya 1. Memuat suku linear (Ax dan By) dan konstanta (C). | Mudah diturunkan dari kondisi geometris atau masalah kontekstual. Bentuk yang paling umum ditemui dalam soal. | x² + y²
|
| Bentuk Baku (x – a)² + (y – b)² = r² |
Berbentuk kuadrat sempurna untuk variabel x dan y. Ruas kanan selalu bernilai positif (r²). | Titik pusat (a, b) dan jari-jari (r) dapat dibaca secara langsung. Sangat cocok untuk visualisasi dan analisis geometri. | (x + 1)² + (y – 5)² = 16 |
Sebagai contoh lain, ambil persamaan umum x² + y² + 2x - 8y + 1 = 0. Dengan melengkapi kuadrat: (x² + 2x + 1) + (y², diperoleh bentuk baku
-8y + 16) = -1 + 1 + 16 (x + 1)² + (y - 4)² = 16. Dari sini, pusatnya adalah (-1, 4) dan jari-jarinya 4.
Menentukan Titik Pusat dan Jari-jari dari Persamaan yang Diberikan: Tentukan Titik Pusat Dan Jari‑jari Lingkaran X²+y²-4x-6y+4=0
Setelah memahami proses transformasi ke bentuk baku, kita dapat merumuskan cara langsung untuk menentukan pusat dan jari-jari dari bentuk umum tanpa harus melalui langkah melengkapi kuadrat secara lengkap setiap saat. Pendekatan ini didasarkan pada pola yang konsisten dari hasil melengkapi kuadrat.
Untuk persamaan lingkaran dalam bentuk umum x² + y² + Ax + By + C = 0, kita identifikasi koefisien A, B, dan konstanta C. Dari persamaan x² + y², kita peroleh A = -4, B = -6, dan C = 4.
-4x - 6y + 4 = 0
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran X²+y²-4x-6y+4=0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna menghasilkan titik (2,3) dan radius 3. Proses regenerasi ini, layaknya mekanisme alami pada tumbuhan, sangat bergantung pada kerja Hormon yang Mengatur Regenerasi Batang Pohon Setelah Pengambilan Kulit. Dengan memahami kedua konsep ini, baik dalam matematika maupun biologi, kita diajak untuk melihat pola dan pemulihan, sebagaimana lingkaran yang utuh kembali dari bentuk persamaannya.
Rumus Titik Pusat dan Jari-jari dari Bentuk Umum
Melalui proses aljabar melengkapi kuadrat, dapat diturunkan rumus umum untuk titik pusat (a, b) dan panjang jari-jari (r). Koordinat titik pusat diberikan oleh a = -A/2 dan b = -B/2. Sementara itu, kuadrat dari jari-jari memenuhi persamaan r² = (A/2)² + (B/2)². Rumus ini merupakan jalan pintas yang sangat efisien.
-C
Titik Pusat: ( -A/2 , -B/2 )
Jari-jari: r = √[ (A/2)² + (B/2)² – C ]
Perhitungan untuk Persamaan x² + y²
4x – 6y + 4 = 0
4x – 6y + 4 = 0
Mari terapkan rumus tersebut pada persamaan kita. Dengan A = -4 dan B = -6, maka:
- Titik Pusat: a = -(-4)/2 = 2, dan b = -(-6)/2 = 3. Jadi, pusatnya di (2, 3).
- Jari-jari: r² = (-4/2)² + (-6/2)²
-4 = (4) + (9)
-4 = 9. Maka, r = √9 = 3.
Hasil ini persis sama dengan yang kita dapatkan dari bentuk baku (x - 2)² + (y - 3)² = 9.
Prosedur Langkah demi Langkah
Berikut adalah prosedur sistematis untuk menentukan pusat dan jari-jari dari sembarang persamaan lingkaran bentuk umum.
- Pastikan persamaan sudah dalam bentuk umum baku: x² + y² + Ax + By + C = 0, dengan koefisien x² dan y² sama dengan 1.
- Identifikasi nilai koefisien A (dari suku x), B (dari suku y), dan konstanta C.
- Hitung koordinat titik pusat menggunakan rumus: P(a, b) = ( -A/2 , -B/2 ).
- Hitung nilai dari r² = (A/2)² + (B/2)²
-C. - Jika r² > 0, maka lingkaran nyata dengan jari-jari r = √(r²). Jika r² = 0, lingkaran berupa titik (lingkaran titik). Jika r² < 0, lingkaran merupakan lingkaran imajiner.
Visualisasi dan Interpretasi Geometris
Mengetahui bahwa lingkaran x² + y² berpusat di (2, 3) dengan jari-jari 3 memungkinkan kita untuk membayangkan dan menggambarkannya dengan tepat pada bidang koordinat. Visualisasi ini membantu memahami posisi dan hubungan geometris lingkaran dengan elemen lain.
-4x - 6y + 4 = 0
Lingkaran tersebut dapat digambarkan dengan menempatkan titik pusat di koordinat (2, 3). Dari titik ini, ukur jarak sejauh 3 satuan ke atas, bawah, kiri, dan kanan untuk mendapatkan titik-titik bantu. Titik-titik tersebut adalah (2, 6), (2, 0), (-1, 3), dan (5, 3). Kemudian, gambarkan kurva lingkaran yang melewati keempat titik tersebut dengan pusat di (2, 3). Lingkaran ini akan memotong sumbu-y di sekitar y=0.76 dan y=5.24, serta sumbu-x di sekitar x=0.27 dan x=3.73, yang diperoleh dari perhitungan substitusi.
Posisi Relatif terhadap Sumbu Koordinat, Tentukan titik pusat dan jari‑jari lingkaran X²+y²-4x-6y+4=0
Lingkaran ini terletak di kuadran pertama bidang koordinat, meskipun sebagian kecil juga masuk ke kuadran kedua dan keempat karena perpotongannya dengan sumbu. Titik pusat (2, 3) berada 2 satuan di kanan sumbu-y dan 3 satuan di atas sumbu-x. Jarak terdekat lingkaran ke titik asal (0,0) dapat dihitung dengan rumus jarak dari pusat ke titik asal dikurangi jari-jari, yaitu √(2²+3²)
-3 = √13 – 3 ≈ 0.606.
Artinya, lingkaran tidak melalui maupun memuat titik asal.
Perbandingan dengan Lingkaran Berpusat di (0,0)
Lingkaran dengan persamaan baku (x – a)² + (y – b)² = r², seperti contoh kita, memberikan informasi pusat secara eksplisit. Sementara lingkaran berpusat di titik asal memiliki bentuk sederhana x² + y² = r², yang merupakan kasus khusus dengan a=0 dan b=0. Meski lebih sederhana, lingkaran berpusat di (0,0) kurang fleksibel dalam merepresentasikan lingkaran yang terletak di bagian lain bidang koordinat. Identifikasi unsur pada lingkaran berpusat di (0,0) memang lebih cepat, tetapi untuk lingkaran yang bergeser, bentuk baku tetap menjadi cara terjelas untuk membaca sifat-sifat geometrinya.
Dampak Perubahan Jari-jari
Jika jari-jari lingkaran kita diubah, misalnya diperbesar menjadi 5, maka persamaannya menjadi (x – 2)² + (y – 3)² = 25. Secara geometris, lingkaran akan membesar secara konsentris (mempertahankan pusat yang sama) sehingga mencakup area yang lebih luas dan mungkin memotong sumbu koordinat di titik yang berbeda. Sebaliknya, jika jari-jari diperkecil menjadi 1, lingkaran menyusut dan berada seluruhnya di dalam kuadran pertama.
Perubahan jari-jari tidak menggeser posisi pusat, tetapi secara signifikan mengubah ukuran dan titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat.
Aplikasi dan Variasi Soal Terkait
Source: amazonaws.com
Untuk menentukan titik pusat dan jari‑jari lingkaran dari persamaan X²+y²-4x-6y+4=0, kita perlu melengkapi kuadrat sempurna. Proses ini mengingatkan kita pada pentingnya titik pusat dalam suatu sistem, layaknya pemahaman tentang Pengertian Matahari sebagai pusat tata surya yang memberikan energi. Dengan cara serupa, setelah diubah ke bentuk baku (x-2)²+(y-3)²=9, pusat lingkaran ditemukan di (2,3) dengan jari‑jari 3 satuan.
Kemampuan menentukan pusat dan jari-jari lingkaran adalah fondasi untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika yang lebih kompleks, mulai dari soal latihan aljabar hingga penerapan dalam konteks dunia nyata. Berikut beberapa variasi untuk mengasah pemahaman.
Variasi Soal Latihan
Berikut tiga soal dengan tingkat kesulitan berbeda untuk melatih keterampilan menentukan titik pusat dan jari-jari.
Menentukan titik pusat dan jari‑jari lingkaran x²+y²-4x-6y+4=0 melibatkan teknik melengkapkan kuadrat sempurna, sebuah metode dasar dalam geometri analitik. Proses transformasi geometri seperti yang dijelaskan dalam artikel Refleksi dan Rotasi Garis y=2x+1 terhadap y=-x, Cari Persamaan Bayangan juga mengandalkan pemahaman aljabar yang serupa. Dengan demikian, penguasaan konsep ini menjadi kunci untuk menyelesaikan berbagai persoalan koordinat, termasuk mengidentifikasi bahwa lingkaran tersebut berpusat di (2,3) dengan jari‑jari 3.
- Dasar: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x² + y² + 6x – 10y – 2 = 0.
- Menengah: Diketahui lingkaran dengan persamaan 2x² + 2y²8x + 12y – 24 = 0. Tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jarinya.
- Lanjutan: Jika suatu lingkaran berpusat di (1, -2) dan menyinggung garis x = 5, tentukan persamaan umum lingkaran tersebut.
Masalah Kontekstual
Sebuah menara pemancar radio memiliki jangkauan sinyal berbentuk lingkaran dengan radius 15 km. Pada peta koordinat, menara tersebut terletak di titik (3, -4). Sebuah rumah sakit berada di koordinat (10, 8). Tentukan apakah sinyal dari menara tersebut dapat diterima dengan baik di rumah sakit tersebut? Untuk menyelesaikannya, kita tentukan persamaan lingkaran jangkauan sinyal: (x – 3)² + (y + 4)² = 15² = 225.
Kemudian, hitung jarak rumah sakit (10, 8) ke pusat menara (3, -4). Jika jarak ini kurang dari atau sama dengan 15 km, maka sinyal dapat diterima.
Analisis Kasus Khusus
Rumus jari-jari r² = (A/2)² + (B/2)²
-C dapat menghasilkan tiga kemungkinan:
- r² > 0: Merepresentasikan lingkaran nyata dengan jari-jari r.
- r² = 0: Misalnya pada x² + y²
-4x + 4y + 8 = 0, yang menghasilkan pusat (2, -2) dan r=0. Ini disebut lingkaran titik, yang hanya terdiri dari satu titik (pusatnya sendiri). - r² < 0: Misalnya x² + y² + 4x + 6y + 20 = 0, menghasilkan r² = -7. Dalam geometri analitik real, ini merepresentasikan lingkaran imajiner, yang tidak memiliki titik real di bidang koordinat biasa.
Contoh Berbagai Variasi Lingkaran
| Persamaan Lingkaran | Titik Pusat | Jari-jari | Sketsa Singkat |
|---|---|---|---|
| x² + y² = 25 | (0, 0) | 5 | Lingkaran konsentris dengan pusat di titik asal, memotong sumbu di (±5,0) dan (0,±5). |
| (x + 3)² + (y – 1)² = 16 | (-3, 1) | 4 | Berpusat di kuadran kedua, memotong sumbu-y di dua titik dan mungkin sumbu-x. |
x² + y²
|
(4, -2) | 3 | Berpusat di (4,-2), seluruh bagian lingkaran berada di sebelah kanan sumbu-y. |
| x² + y² + 2x + 4y + 5 = 0 | (-1, -2) | 0 | Lingkaran titik. Hanya merepresentasikan satu koordinat, yaitu (-1, -2). |
Pemungkas
Dengan demikian, menguraikan persamaan X²+y²-4x-6y+4=0 telah membawa kita pada temuan bahwa lingkaran ini berpusat di (2, 3) dengan jari-jari 3 satuan. Penguasaan terhadap langkah-langkah penyelesaian ini tidak hanya menjawab satu soal, tetapi membekali kita dengan kerangka berpikir untuk menganalisis berbagai bentuk persamaan lingkaran lainnya. Pada akhirnya, matematika sekali lagi menunjukkan keindahannya dalam mengubah abstraksi aljabar menjadi gambaran geometris yang nyata dan aplikatif.
Panduan FAQ
Bagaimana jika koefisien x² dan y² bukan 1?
Jika koefisien x² dan y² sama tetapi bukan 1 (misalnya 2x²+2y²+…), seluruh persamaan harus dibagi terlebih dahulu dengan koefisien tersebut agar menjadi 1. Jika koefisiennya berbeda, maka bentuk tersebut bukan persamaan lingkaran.
Apa artinya jika hasil perhitungan jari-jari (r) bernilai nol?
Jika r = 0, lingkaran merosot menjadi sebuah titik tunggal (titik pusat itu sendiri). Lingkaran dengan jari-jari nol disebut sebagai lingkaran titik.
Apa artinya jika hasil perhitungan jari-jari (r) bernilai imajiner (akar dari bilangan negatif)?
Dalam konteks geometri koordinat real, tidak ada lingkaran yang nyata jika jari-jarinya imajiner. Persamaan tersebut tidak merepresentasikan kurva apa pun pada bidang kartesius.
Apakah langkah-langkahnya sama untuk semua persamaan lingkaran bentuk umum?
Ya, prosedur intinya selalu sama: 1) Pastikan koefisien x² dan y² adalah 1, 2) Kelompokkan suku x dan y, 3) Lengkapi kuadrat sempurna untuk masing-masing kelompok, 4) Pindahkan konstanta ke ruas kanan. Dari bentuk baku yang dihasilkan, pusat dan jari-jari dapat langsung dibaca.
