Nilai (a+1)(a-1) bila a=√50‑5√8 Hasilnya Mengejutkan

Nilai (a+1)(a-1) bila a=√50‑5√8, terdengar seperti teka-teki aljabar yang bikin pusing, ya? Tapi jangan kabur dulu. Soal seperti ini sebenarnya adalah jebakan betmen yang manis. Di balik tampang sangarnya yang penuh akar dan kurung, tersembunyi jalan pintas yang bakal bikin kamu manggut-manggut. Kita akan membongkar semuanya, mulai dari menyederhanakan si ‘a’ yang terlihat ruwet sampai menemukan trik aljabar cerdik yang mengubah perhitungan panjang jadi hitungan singkat yang hasilnya…

well, siap-siap terkejut.

Intinya, ini soal tentang kecerdikan, bukan sekadar menghitung. Kita punya ekspresi aljabar yang tampak kompleks, tapi dengan pendekatan yang tepat, semuanya bisa menjadi sangat sederhana dan elegan. Mari kita telusuri langkah demi langkah, karena proses menemukan jawabannya seringkali lebih memuaskan daripada jawaban itu sendiri. Percayalah, setelah ini, kamu akan melihat soal-soal serupa dengan mata yang berbeda.

Pengenalan Ekspresi Aljabar dan Penyederhanaan Bentuk Akar

Sebelum kita terjun ke dalam perhitungan yang diminta, mari kita pahami dulu bahan bakunya. Soal memberikan kita nilai a = √50 - 5√8. Sekilas, bentuk ini terlihat rumit dan berantakan. Tapi dalam matematika, seperti membersihkan kamar yang berantakan, langkah pertama selalu adalah menyederhanakan. Bentuk akar seperti √50 dan √8 bisa dan harus disederhanakan menjadi bentuk yang lebih elegan dan mudah diolah.

Ini bukan sekadar estetika, tapi strategi praktis untuk menghindari kesalahan hitung.

Prinsip dasarnya adalah memecah bilangan di dalam akar menjadi faktor-faktor, di mana salah satu faktornya adalah bilangan kuadrat sempurna. Mengapa? Karena akar kuadrat dari bilangan kuadrat sempurna (seperti 4, 9, 16, 25) adalah bilangan bulat yang rapi. Dengan memisahkannya, kita bisa mengeluarkan bagian yang “rapi” itu ke luar tanda akar.

Proses Penyederhanaan Bentuk Akar

Mari kita bedah √50 dan √8 secara sistematis. Untuk memudahkan pemahaman, proses ini bisa kita lihat dalam tabel perbandingan berikut.

Perhatikan, 5√8 berarti 5 dikali dengan √8. Karena √8 = 2√2, maka 5√8 = 5 × 2√2 = 10√2.

Dengan demikian, nilai a yang semula √50 - 5√8 berubah menjadi bentuk yang jauh lebih bersih: a = 5√2 - 10√2. Sekarang kita hanya berurusan dengan suku-suku sejenis (keduanya mengandung √2). Pengurangan menjadi sangat sederhana: a = (5 - 10)√2 = -5√2.

Sebagai latihan pemantapan, coba sederhanakan ekspresi seperti √72 - 3√18. Faktorisasi √72 menjadi √(36×2) = 6√2, dan √18 menjadi √(9×2) = 3√
2. Jadi, 3√18 = 3 × 3√2 = 9√
2. Hasilnya adalah 6√2 – 9√2 = -3√
2. Polanya selalu sama: sederhanakan dulu, baru gabungkan.

Penerapan Identitas Aljabar (a+1)(a-1)

Source: amazonaws.com

Sekarang kita punya a = -5√2. Tugas kita adalah mencari nilai dari (a+1)(a-1). Kalau kita nekat mengalikan langsung bentuk ini, kita akan melakukan perkalian antara dua suku yang masing-masing mengandung bentuk akar dan bilangan bulat. Itu bisa dilakukan, tapi agak ribet dan rawan salah. Di sinilah keindahan identitas aljabar muncul sebagai penyelamat.

Identitas (a+1)(a-1) sebenarnya adalah kasus khusus dari rumus selisih kuadrat: (x + y)(x - y) = x²
-y² . Dengan mengambil x = a dan y = 1, kita langsung mendapatkan (a+1)(a-1) = a²
-(1)² = a²
-1 . Soal kita yang awalnya perkalian dua binomial langsung berubah menjadi pengurangan dua suku yang jauh lebih sederhana.

Keuntungan Menggunakan Identitas Aljabar, Nilai (a+1)(a-1) bila a=√50‑5√8

Mengapa beralih ke a²
-1 lebih menguntungkan? Berikut beberapa poin kuncinya:

• Minimalkan Kesalahan Tanda: Perkalian langsung (a+1)(a-1) rentan terhadap kesalahan tanda saat mengalikan suku tengah (inner dan outer). Dengan identitas, risiko itu hilang karena tidak ada suku tengah yang perlu dijumlahkan.
• Fokus pada Satu Kuadrat: Perhatian kita hanya terpusat pada menghitung a² saja. Ini lebih mudah, terutama jika a sudah dalam bentuk yang disederhanakan seperti -5√2.
• Efisiensi Waktu: Langkah perhitungan menjadi lebih sedikit dan lebih cepat, baik di atas kertas maupun dalam pikiran.
• Kejelasan Struktur: Bentuk a²
-1 membuat struktur soal menjadi transparan. Kita langsung tahu bahwa hasil akhir akan berbentuk “sesuatu dikurangi satu”.

Dengan nilai a = -5√2, substitusi ke identitas menjadi sangat mudah: (a+1)(a-1) = a²
-1 = (-5√2)²
-1 .

Bayangkan sebuah diagram alur yang dimulai dari kotak bertuliskan “(a+1)(a-1)”. Dari sana, ada panah yang mengarah ke kotak kedua bertuliskan “Gunakan Identitas → a²
-1″. Kotak kedua ini bercabang dua: satu panah mengarah ke “Substitusi a = -5√2” yang mengarah ke “Hitung (-5√2)²”, dan panah satunya langsung ke “- 1”. Kedua cabang ini kemudian bertemu di kotak terakhir untuk proses perhitungan akhir.

Alur ini menggambarkan transformasi soal dari yang kompleks menjadi tahapan yang terstruktur dan sederhana.

Perhitungan dan Penyelesaian Numerik Akhir

Kita sudah sampai di tahap kalkulasi: menghitung (-5√2)²
-1 . Ini adalah momen yang menentukan. Mengkuadratkan bentuk seperti -5√2 harus dilakukan dengan hati-hati. Ingat, kuadrat berlaku pada seluruh suku, baik koefisien numeriknya maupun bagian akarnya.

Rumus dasarnya adalah (m√n)² = m²
- (√n)² = m²
- n . Dalam kasus kita, m = -5 dan n = 2.

Langkah Kritis Perhitungan:

1. Kuadratkan koefisien

(-5)² =

25. 2. Kuadratkan akar

(√2)² =

2. 3. Kalikan hasilnya

25 × 2 =

50. 4. Terapkan pengurangan

Nih, kalau kita hitung nilai (a+1)(a-1) untuk a=√50‑5√8, jawabannya ternyata -50, lho. Sederhana, tapi prosesnya butuh ketelitian, mirip seperti ketika para founding fathers merumuskan Tujuan Utama Pembentukan Komite Nasional Indonesia Pusat (KNIP) demi mengawal pemerintahan baru. Nah, balik lagi ke soal tadi, hasil akhir -50 itu sudah fix, dan perhitungannya bikin kita paham bahwa terkadang hal yang rumit bisa berujung pada jawaban yang elegan.

50 – 1 = 49.

Jadi, (-5√2)²
-1 = 50 - 1 = 49 .

Perhatikan bahwa hasil akhirnya adalah bilangan bulat, 49. Ini bukan kebetulan. Penyederhanaan akar yang tuntas dan penggunaan identitas aljabar seringkali mengantar kita pada hasil yang rapi. Kesalahan umum yang sering terjadi di sini adalah hanya mengkuadratkan koefisiennya saja (-5 menjadi 25) lalu lupa mengkuadratkan bagian √2, sehingga perhitungan menjadi 25 – 1 = 24 (salah). Kesalahan lain adalah salah menangani tanda negatif, misalnya menganggap (-5√2)² = -25
– 2 = -50.

Ingat, bilangan negatif apa pun yang dikuadratkan akan menghasilkan bilangan positif.

Eksplorasi Variasi Soal dan Konteks Penerapan: Nilai (a+1)(a-1) Bila A=√50‑5√8

Pola soal seperti ini bukanlah satu-satunya. Identitas selisih kuadrat (a+b)(a-b) = a²
-b² adalah alat yang sangat ampuh dan sering muncul dalam berbagai konteks, mulai dari menyederhanakan ekspresi aljabar, merasionalkan penyebut pecahan, hingga membuktikan sifat-sifat bilangan dalam teori bilangan. Kemampuannya mengubah perkalian menjadi pengurangan adalah kunci efisiensi.

Berikut adalah beberapa variasi soal yang mengikuti logika serupa, tetapi dengan sedikit modifikasi.

Untuk melatih keterampilan ini, coba kerjakan tiga latihan berikut dengan tingkat kesulitan yang berbeda.

• Mudah: Jika b = √8 + √2, hitunglah (b+1)(b-1). (Sederhanakan b jadi 3√2 terlebih dahulu).
• Sedang: Diketahui c = √18 – √50. Tentukan nilai dari (c+√2)(c-√2). (Perhatikan, bentuknya (c+d)(c-d) dengan d=√2).
• Sulit: Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif x dan y, nilai dari (√x + √y)(√x – √y) + (√x – √y)² selalu merupakan kelipatan dari √x.

Tips cepat untuk mengenali pola: Setiap kali Anda melihat bentuk perkalian dua binomial di mana suku-suku pertamanya sama dan suku-suku terakhirnya hanya berbeda tanda (plus-minus), segera pikirkan identitas selisih kuadrat. Itu adalah lampu hijau untuk beralih ke bentuk a²
-b² tanpa harus memusingkan perkalian bersusun yang panjang. Ini adalah trik klasik yang tetap relevan dari level aljabar dasar hingga masalah yang lebih kompleks.

Simpulan Akhir

Jadi, begitulah ceritanya. Dari bentuk akar yang berantakan, kita berhasil menemukan jawaban akhir yang rapi, yaitu -49. Proses ini bukan cuma sekadar menyelesaikan soal, tapi lebih tentang melatih pola pikir untuk melihat kemudahan di balik kerumitan. Identitas aljabar (a+b)(a-b) = a²
-b² adalah senjata rahasia yang ampuh, dan menyederhanakan bentuk akar adalah langkah wajib sebelum bertempur.

Ingat, banyak soal matematika itu seperti puzzle. Kuncinya adalah mengenali polanya. Sekali kamu tahu triknya, semua jadi terasa mudah dan bahkan menyenangkan. Jadi, lain kali ketemu soal mirip, jangan langsung panik. Tarik napas, cari bentuk yang bisa disederhanakan, dan lihat apakah ada identitas ajaib yang bisa dipakai.

Selamat berlatih, dan semoga makin jago melihat keindahan matematika dalam kesederhanaannya!

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Mengapa harus menyederhanakan bentuk akar seperti √50 dan √8 terlebih dahulu?

Penyederhanaan bentuk akar membuat angka lebih kecil dan mudah dikelola, mengurangi risiko kesalahan hitung saat melakukan operasi selanjutnya seperti pengurangan atau pengkuadratan.

Apakah boleh langsung mensubstitusi a=√50‑5√8 ke dalam (a+1)(a-1) tanpa menyederhanakan?

Boleh secara teori, tetapi akan sangat berantakan dan rumit. Kita harus mengalikan dua suku yang masing-masing mengandung bentuk akar, yang membutuhkan banyak langkah dan peluang salahnya jauh lebih besar.

Identitas (a+1)(a-1) = a²
-1 hanya berlaku untuk angka 1?

Tidak. Identitas umumnya adalah (a+b)(a-b) = a²
-b². Kasus (a+1)(a-1) hanyalah contoh spesifik di mana b = 1. Jadi, identitas ini bisa digunakan untuk bilangan atau bentuk aljabar apapun sebagai pengganti ‘b’.

Bagaimana jika soalnya diubah menjadi (a+2)(a-2) dengan nilai a yang sama?

Prinsipnya sama. Gunakan identitas (a+2)(a-2) = a²
-4. Setelah menyederhanakan a menjadi 5√2 – 10√2 = -5√2, kita hitung a² = (-5√2)² = 25*2 = 50. Maka hasilnya adalah 50 – 4 = 46.

Apakah hasil akhir yang berupa bilangan bulat (-49) ini suatu kebetulan?

Tidak sepenuhnya kebetulan. Ini adalah konsekuensi alami dari penyederhanaan bentuk akar dan penerapan identitas aljabar yang tepat. Soal dirancang agar setelah disederhanakan, komponen akarnya “hilang” saat dikuadratkan, menyisakan bilangan bulat.