Penyelesaian Cos2x – Sinx + 2 = 0 untuk 0°–360° itu kayak puzzle trigonometri yang menantang, tapi jangan khawatir, kita bakal bongkar bareng-bareng sampai ke akar-akarnya. Persamaan yang keliatannya ribet ini sebenernya bisa ditaklukkan dengan trik sederhana: memanfaatkan identitas trigonometri yang tepat. Yuk, kita ubah bentuknya jadi sesuatu yang lebih ramah dan gampang dipecahkan.
Inti dari menyelesaikan persamaan ini adalah mengubah cos2x menjadi bentuk yang melibatkan sinx saja. Dengan begitu, persamaan campuran cosinus dan sinus bisa kita rangkul menjadi persamaan kuadrat murni dalam sinx. Dari situ, perjalanan mencari sudut-sudut ajaib di lingkaran 0 hingga 360 derajat akan jadi jauh lebih terang dan terarah.
Pengantar dan Identifikasi Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri yang menggabungkan fungsi cosinus dan sinus seringkali tampak menakutkan, seperti teka-teki yang sulit dipecahkan. Namun, kunci utamanya adalah mengenali pola dan memiliki keberanian untuk memanipulasi bentuknya. Persamaan kita kali ini, cos2x - sinx + 2 = 0, adalah contoh sempurna. Kita tidak bisa menyelesaikannya begitu saja dengan mencari sudut dari tabel trigonometri. Kehadiran sudut 2x dan x sekaligus membuatnya perlu diseragamkan.
Langkah pertama yang paling logis adalah menyederhanakan cos2x. Ingat, identitas sudut rangkap untuk cosinus punya beberapa wajah: cos2x = cos²x - sin²x, cos2x = 2cos²x - 1, atau cos2x = 1 - 2sin²x. Pilihan identitas mana yang akan digunakan sangat menentukan kemudahan langkah selanjutnya. Karena dalam persamaan kita juga ada - sinx, maka memilih identitas yang melibatkan sinx adalah langkah strategis untuk menyatukan variabel.
Substitusi Identitas Cos2x
Mari kita terapkan identitas cos2x = 1 - 2sin²x ke dalam persamaan awal. Substitusi ini akan mengubah seluruh persamaan menjadi hanya berisi fungsi sinx, sehingga lebih mudah dikelola.
cos2x – sinx + 2 = 0
(1 – 2sin²x)
- sinx + 2 = 0
- – 2sin²x – sinx + 2 = 0
- 2sin²x – sinx + 3 = 0
Penyederhanaan Persamaan ke Bentuk Kuadrat
Source: amazonaws.com
Setelah substitusi, kita peroleh persamaan -2sin²x - sinx + 3 = 0. Agar lebih rapi dan mudah difaktorkan, kalikan seluruh persamaan dengan -1. Hasilnya adalah persamaan kuadrat yang elegan dalam variabel sinx.
-2sin²x – sinx + 3 = 0 (dikali -1)
sin²x + sinx – 3 = 0
Pemilihan identitas cos2x yang berbeda akan membawa kita pada bentuk persamaan yang lain. Perbandingan singkatnya bisa dilihat pada tabel berikut.
| Identitas cos2x yang Digunakan | Bentuk Persamaan Awal Setelah Substitusi | Variabel Dominan | Tingkat Kesulitan Penyederhanaan |
|---|---|---|---|
| cos2x = 1 – 2sin²x | 2sin²x + sinx – 3 = 0 | sin x | Mudah (langsung menjadi kuadrat dalam sin x) |
| cos2x = 2cos²x – 1 | 2cos²x – sinx + 1 = 0 | cos x dan sin x | Lebih Rumit (perlu substitusi cos²x = 1 – sin²x) |
| cos2x = cos²x – sin²x | cos²x – sin²x – sinx + 2 = 0 | cos x dan sin x | Rumit (campuran dua fungsi) |
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam sin x
Persamaan 2sin²x + sinx - 3 = 0 kini adalah persamaan kuadrat sederhana. Kita bisa memfaktorkannya dengan mudah. Bayangkan sinx sebagai variabel p, sehingga persamaannya menjadi 2p² + p - 3 = 0.
2p² + p – 3 = 0
(2p + 3)(p – 1) = 0
Dari faktorisasi ini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi untuk sinx.
- sin x = 1: Nilai ini sangat valid karena berada dalam rentang [-1, 1] yang merupakan range fungsi sinus.
- sin x = -3/2 atau -1.5: Nilai ini tidak valid dan harus ditolak. Alasannya sederhana namun fundamental: nilai sinus dan cosinus untuk sudut mana pun tidak mungkin kurang dari -1 atau lebih dari 1. Jadi, -1.5 berada di luar jangkauan fungsi sinus.
Menentukan Sudut Solusi dalam Interval 0° hingga 360°
Dari proses penyaringan, kita hanya punya satu kandidat kuat: sin x = 1. Sekarang, tugas kita adalah mencari sudut x di kuadran manakah yang memiliki nilai sinus tepat sama dengan 1. Dalam lingkaran satuan, nilai sinus 1 terjadi ketika titik berada di puncak tertinggi lingkaran, yaitu pada sumbu y positif.
Dalam rentang 0° sampai 360°, hanya ada satu sudut yang memenuhi kondisi ini. Sifat periodik sinus memang akan memberikan solusi lain jika intervalnya diperlebar, tetapi untuk kebutuhan soal kita kali ini, solusinya unik.
| Nilai sin x | Kuadran yang Mungkin | Sudut Referensi | Solusi x (0° ≤ x ≤ 360°) |
|---|---|---|---|
| 1 | I (dan titik di antara kuadran) | 90° | 90° |
| -3/2 | Tidak ada | Tidak ada | Tidak ada (tidak valid) |
Verifikasi Solusi dan Interpretasi Geometris, Penyelesaian Cos2x – Sinx + 2 = 0 untuk 0°–360°
Sebelum dinyatakan final, mari kita verifikasi solusi x = 90° dengan mensubstitusinya kembali ke persamaan awal. Ini langkah penting untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung.
Untuk x = 90°:
cos(2*90°)
-sin(90°) + 2 = cos(180°)
-(1) + 2 = (-1)
-1 + 2 = 0. Persamaan terpenuhi.
Coba juga nilai lain, misal x = 30° sebagai pembanding: cos(60°)
-sin(30°) + 2 = 0.5 – 0.5 + 2 = 2 (bukan nol). Ini mengonfirmasi bahwa hanya 90° yang solusi.
Secara geometris, solusi ini berarti grafik dari fungsi y = cos2x - sinx + 2 memotong sumbu x (y=0) tepat di satu titik pada interval 0° sampai 360°, yaitu ketika x = 90°. Bayangkan sebuah gelombang yang kompleks hasil dari penggabungan cosinus dan sinus, ia hanya menyentuh garis dasar sekali dalam satu putaran penuh.
Rangkuman solusi persamaan cos2x – sinx + 2 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah:x = 90°.Ini merupakan satu-satunya solusi yang memenuhi baik secara aljabar maupun geometris dalam rentang yang ditentukan.
Aplikasi dan Variasi dalam Soal Serupa
Pola penyelesaian ini bisa diterapkan pada berbagai variasi persamaan. Misalnya, hadapi soal: cos2x + 3sinx - 1 = 0. Strateginya tetap sama: gunakan identitas cos2x = 1 - 2sin²x untuk menyatukan variabel menjadi hanya sinx.
Substitusi akan menghasilkan: (1 - 2sin²x) + 3sinx - 1 = 0, yang disederhanakan menjadi -2sin²x + 3sinx = 0 atau 2sin²x - 3sinx = 0. Faktorkan menjadi sinx(2sinx - 3) = 0. Dari sini, akan didapat sinx = 0 (valid) dan sinx = 3/2 (tidak valid). Penyelesaian selanjutnya tinggal mencari sudut yang sinusnya nol dalam interval yang diminta.
Ilustrasi grafik untuk persamaan awal kita, y = cos2x - sinx + 2, menggambarkan sebuah kurva yang dimulai dari nilai y=2 saat x=0°, kemudian turun, tepat menyentuh y=0 di x=90°, sebelum naik kembali. Sentuhan itu singkat dan tepat, layaknya sebuah parabola kuadrat yang akarnya nyata dan tunggal, tetapi diekspresikan dalam bentuk gelombang trigonometri.
Penutupan Akhir: Penyelesaian Cos2x – Sinx + 2 = 0 Untuk 0°–360°
Jadi, begitulah ceritanya. Persamaan cos2x – sinx + 2 = 0 akhirnya menyerah juga dan mengungkap rahasianya: hanya ada satu solusi valid, yaitu x = 270°. Proses ini mengajarkan kita bahwa di balik bentuk yang tampak kompleks, sering kali tersembunyi pola sederhana yang menunggu untuk disederhanakan. Ingat, kunci utamanya adalah memilih identitas yang tepat dan tidak takut untuk bermain-main dengan aljabar.
Nah, sekarang kamu punya senjata baru untuk menghadapi soal-soal trigonometri sejenis. Coba terapkan langkah-langkah tadi ke persamaan lain, misalnya yang melibatkan cos2x + 3sinx – 1 = 0. Percayalah, sekali kamu paham polanya, menyelesaikan persamaan trigonometri bakal terasa seperti menyusun puzzle yang memuaskan. Selamat mencoba dan jangan lupa, selalu verifikasi jawabanmu di lingkaran satuan!
FAQ Umum
Mengapa harus menggunakan identitas cos2x = 1 – 2sin²x dan bukan identitas lainnya?
Karena identitas itu mengubah cos2x menjadi bentuk yang hanya mengandung sin²x, sehingga persamaan awal yang punya cos2x dan sinx bisa diubah menjadi persamaan kuadrat murni dalam variabel sinx. Ini jauh lebih mudah diselesaikan daripada bentuk campuran.
Apakah solusi dari persamaan ini bisa lebih dari dua dalam rentang 0°–360°?
Bisa saja, tergantung hasil persamaan kuadratnya. Jika persamaan kuadrat menghasilkan dua nilai sinus yang valid (antara -1 dan 1), maka masing-masing nilai biasanya memberikan dua sudut di kuadran yang berbeda, total bisa sampai empat solusi. Namun untuk persamaan spesifik ini, hanya menghasilkan satu nilai sinus valid yang memberikan satu solusi.
Menyelesaikan persamaan trigonometri cos2x – sinx + 2 = 0 di interval 0°–360° itu kayak belajar menerima fakta bahwa solusinya nggak ada, karena hasilnya selalu di atas nol. Nah, mirip banget sama Kondisi tidak dapat menerima sesuatu yang sering bikin kita buntu. Tapi dalam matematika, justru dari kondisi “tidak ada solusi” ini kita jadi paham batasan fungsi, dan kembali fokus menganalisis mengapa cos2x – sinx + 2 = 0 tidak terpenuhi dalam rentang sudut manapun.
Bagaimana jika saya lupa rentang nilai sinus yang valid?
Fungsi sinus, untuk sudut berapa pun, hanya akan menghasilkan nilai antara -1 dan 1 inklusif. Jadi, jika dari persamaan kuadrat kamu mendapatkan nilai sinx = 1.5 atau sinx = -3, nilai itu harus dibuang karena tidak mungkin ada sudut yang sinusnya segitu.
Apakah metode penyelesaian ini bisa dipakai untuk persamaan bentuk cos(nx) ± sin(mx) + c = 0?
Tidak selalu langsung. Metode ini efektif jika sudut pada cosinus dan sinus bisa dihubungkan dengan identitas. Misalnya, jika n=2 dan m=1 seperti di soal, kita bisa pakai identitas cos2x. Kalau sudutnya berbeda, seperti cos3x dan sinx, perlu manipulasi yang lebih kreatif atau mungkin metode lain.
Mengapa solusi x = 90° tidak memenuhi persamaan walau sin 90° = 1?
Karena persamaan tidak hanya berisi sinx, tapi juga cos2x. Untuk x=90°, cos2x = cos180° = –
1. Jika disubstitusi: (-1)
-(1) + 2 = 0, memang benar hasilnya
0. Ternyata x=90° BUKAN solusi karena pada langkah penyelesaian, nilai sinx=1 dari persamaan kuadrat kita tolak. Ada kesalahan?
Nah, soal trigonometri kayak cos2x – sinx + 2 = 0 di rentang 0°–360° itu memang bikin mikir, tapi seru banget kalau udah ketemu polanya. Proses berpikir sistematis kayak gini yang bikin kita apresiasi betapa berharganya kekayaan intelektual dan warisan budaya, mirip kayak yang dibahas di Penduduk Asia Tenggara Memiliki Apa. Jadi, setelah ngulik persamaan tadi, kita jadi makin paham bahwa menyelesaikan masalah, baik di matematika maupun di kehidupan nyata, selalu butuh pendekatan yang cermat dan kreatif.
Cek lagi: setelah disederhanakan, persamaan kuadratnya adalah 2sin²x + sinx – 3 = 0, yang faktornya (2sinx + 3)(sinx – 1)=
0. Nilai sinx=1 adalah solusi yang valid. Jadi, x=90° dan x=270° (karena sin 270° = -1? Tunggu, sin 270° = -1, bukan 1) perlu diverifikasi. Mari kita hitung untuk sinx=1: x = 90°.
Cos2(90°)=cos180°=-
1. Maka -1 – 1 + 2 = 0 (BENAR). Tapi kenapa di Artikel sepertinya hanya dapat x=270°? Kemungkinan ada kesalahan dalam Artikel atau proses pemfaktoran. Untuk persamaan asli, setelah substitusi cos2x = 1-2sin²x, menjadi: 1-2sin²x – sinx + 2 = 0 -> -2sin²x – sinx + 3 = 0 -> kalikan -1: 2sin²x + sinx – 3 =
0.
Faktornya: (2sinx+3)(sinx-1)=0. Jadi sinx = -3/2 (tidak valid) atau sinx=1 (valid). Solusi sinx=1 di rentang 0°–360° adalah x = 90°. Jadi, solusinya adalah x=90°, bukan 270°. FAQ ini mengungkap potensi ambiguitas dalam penyelesaian.
