Gambarlah Grafik Fungsi f(x)=x(x+1)(x-2) untuk a) 1+f(-x) b) ‑f(x+5). Topik ini mungkin terdengar seperti sekadar latihan aljabar biasa, namun di baliknya tersimpan sebuah narasi visual yang menarik tentang bagaimana sebuah bentuk dapat berubah, dicerminkan, dan digeser hanya dengan memanipulasi beberapa simbol matematika. Bayangkan grafik dasar sebagai bahan mentah, lalu dengan dua resep transformasi yang berbeda, kita akan menyaksikan kelahiran dua bentuk kurva baru yang memiliki karakter dan cerita koordinatnya sendiri.
Mari kita telusuri perjalanan grafik polinomial kubik sederhana ini. Fungsi f(x)=x(x+1)(x-2) dengan titik potong di x = -1, 0, dan 2 adalah titik awal petualangan kita. Dari sini, kita akan mengaplikasikan dua modifikasi berbeda: yang pertama melibatkan pencerminan dan pengangkatan vertikal melalui 1+f(-x), sementara yang kedua adalah perpaduan antara pergeseran horizontal dan pencerminan melalui -f(x+5). Setiap langkah transformasi ini bukanlah sihir, melainkan logika geometri yang dapat dipetakan dan dipahami secara sistematis.
Memahami Fungsi Dasar f(x)=x(x+1)(x-2)
Sebelum kita membahas transformasi yang lebih kompleks, mari kita kenali dulu karakter utama dalam cerita ini: fungsi polinomial f(x) = x(x+1)(x-2). Fungsi ini disajikan dalam bentuk faktorisasi, yang sebenarnya adalah sebuah petunjuk berharga. Dengan mengalikan ketiga faktor tersebut, kita akan mendapatkan bentuk polinomial standarnya, yang memberikan gambaran lebih jelas tentang derajat dan koefisien utamanya.
Mengalikan faktor-faktornya secara bertahap akan menghasilkan: pertama, kalikan x dengan (x+1) menjadi x² + x. Selanjutnya, kalikan hasil ini dengan (x-2). Prosesnya adalah (x² + x)(x – 2) = x³
-2x² + x²
-2x. Setelah disederhanakan, kita peroleh bentuk standar:
f(x) = x³
- x²
- 2x
Dari sini, kita tahu ini adalah fungsi kubik dengan koefisien utama positif (+1 untuk x³). Grafiknya akan memiliki bentuk lengkung “S” yang khas. Titik potong dengan sumbu X terjadi ketika f(x)=0, yaitu saat x=0, x=-1, dan x=2. Sementara titik potong dengan sumbu Y didapat dengan mensubstitusi x=0, menghasilkan f(0)=0. Perilaku ujung grafiknya, karena pangkat tertinggi ganjil dan koefisien positif, akan menuju negatif tak hingga saat x menuju negatif tak hingga, dan menuju positif tak hingga saat x menuju positif tak hingga.
Contoh Nilai dan Titik pada Grafik Dasar, Gambarlah Grafik Fungsi f(x)=x(x+1)(x-2) untuk a) 1+f(-x) b) ‑f(x+5)
Untuk membayangkan bentuk kurvanya, mari kita lihat beberapa nilai fungsi pada titik-titik strategis. Tabel berikut memberikan gambaran numerik yang membantu dalam membuat sketsa awal.
| Nilai x | Perhitungan f(x) | Nilai f(x) | Keterangan Titik |
|---|---|---|---|
| -2 | (-2)*(-1)*(-4) | -8 | Titik di kuadran III, jauh di bawah sumbu X. |
| -1 | (-1)*(0)*(-3) | 0 | Titik potong sumbu X pertama. |
| -0.5 | (-0.5)*(0.5)*(-2.5) | 0.625 | Titik puncak lokal di antara x=-1 dan x=0. |
| 0 | (0)*(1)*(-2) | 0 | Titik potong sumbu X dan Y. |
| 1 | (1)*(2)*(-1) | -2 | Titik lembah lokal di antara x=0 dan x=2. |
| 2 | (2)*(3)*(0) | 0 | Titik potong sumbu X ketiga. |
| 3 | (3)*(4)*(1) | 12 | Titik di kuadran I, naik dengan curam. |
Transformasi Grafik: Konsep f(-x) dan Pergeseran
Operasi aljabar pada variabel x atau pada fungsi keseluruhan tidak hanya mengubah rumus, tetapi juga menggeser, membalik, atau memutar grafik di bidang koordinat. Dua operasi dasar yang akan kita temui adalah pencerminan dan translasi. Memahami efek masing-masing operasi adalah kunci untuk menggambar grafik transformasi tanpa harus menghitung banyak titik dari nol.
Operasi f(-x) secara geometris berarti mencerminkan setiap titik pada grafik f(x) terhadap sumbu Y. Jika titik (a, b) ada di grafik f(x), maka titik (-a, b) akan ada di grafik f(-x). Selanjutnya, penambahan konstanta 1 di luar fungsi, menjadi 1 + f(-x), akan menggeser seluruh grafik f(-x) yang telah dicerminkan tersebut secara vertikal ke atas sejauh 1 satuan. Ini adalah transformasi bertahap yang logis urutannya.
Contoh Perhitungan untuk 1 + f(-x)
Mari kita verifikasi konsep tersebut dengan menghitung beberapa nilai untuk transformasi 1 + f(-x). Kita akan menggunakan titik-titik kunci dari grafik asli dan menerapkan transformasinya.
- Untuk x = 1 (berkaitan dengan titik (1, -2) pada f(x)): Hitung f(-1) = 0, maka 1 + f(-1) = 1 + 0 =
1. Titik baru: (1, 1). - Untuk x = -1 (berkaitan dengan titik (-1, 0) pada f(x)): Hitung f(1) = -2, maka 1 + f(1) = 1 + (-2) = –
1. Titik baru: (-1, -1). - Untuk x = 2 (berkaitan dengan titik (2, 0)): Hitung f(-2) = -8, maka 1 + f(-2) = 1 + (-8) = –
7. Titik baru: (2, -7). - Untuk x = 0: Hitung f(0) = 0, maka 1 + f(0) =
1. Titik baru: (0, 1).
Analisis dan Penggambaran Grafik untuk 1 + f(-x)
Dengan pemahaman konsep transformasi, menggambar grafik 1 + f(-x) menjadi proses yang sistematis. Langkah pertama adalah menggambar atau membayangkan grafik dasar f(x) = x³
-x²
-2x. Langkah kedua, cerminkan grafik tersebut terhadap sumbu Y untuk mendapatkan grafik f(-x). Terakhir, geser seluruh grafik hasil pencerminan itu ke atas sebanyak 1 satuan.
Visual grafik akhir 1 + f(-x) akan terlihat seperti kurva kubik yang telah dibalik secara horizontal dan kemudian diangkat. Titik potong dengan sumbu X yang baru tidak lagi di x = -1, 0, dan 2, tetapi tercermin dan bergeser. Sebagai contoh, titik (2,0) pada f(x) menjadi (-2,0) pada f(-x), lalu menjadi (-2,1) pada 1+f(-x)—bukan lagi titik potong sumbu X. Titik potong sumbu Y yang awalnya di (0,0) sekarang berpindah ke (0,1).
Arah lengkungannya tetap mempertahankan sifat kubik, tetapi orientasi puncak dan lembahnya berubah posisi akibat pencerminan.
Perbedaan utama antara grafik f(x) dan 1+f(-x) terletak pada simetri dan posisinya. Grafik asli f(x) memotong sumbu di -1, 0, dan 2, dan mengarah dari kiri-bawah ke kanan-atas. Grafik 1+f(-x) adalah bayangan cermin horizontal yang kemudian diangkat, sehingga perilaku ujungnya terbalik: ia menuju dari kiri-atas (karena dicerminkan dan ditambah 1) ke kanan-bawah, dengan titik potong sumbu yang sama sekali berbeda.
Transformasi Grafik: Konsep -f(x) dan Pergeseran Horizontal
Selain operasi pada variabel x, pemberian tanda negatif pada seluruh fungsi juga memiliki makna geometris yang kuat. Ketika kita menulis -f(x), artinya kita mengalikan setiap keluaran fungsi dengan -1. Secara visual, ini menghasilkan pencerminan grafik f(x) terhadap sumbu X. Setiap titik (a, b) berubah menjadi (a, -b).
Sementara itu, operasi di dalam kurung, f(x+5), mengindikasikan pergeseran horizontal. Perlu diperhatikan bahwa f(x+5) akan menggeser grafik ke arah kiri sejauh 5 satuan, bukan ke kanan. Ini karena untuk mendapatkan nilai fungsi yang sama dengan f(x) di x=a, pada f(x+5) kita perlu memasukkan x = a – 5. Transformasi gabungan -f(x+5) berarti kita pertama-tama menggeser grafik asli f(x) ke kiri 5 satuan, kemudian mencerminkan hasil pergeseran tersebut terhadap sumbu X.
Urutan Operasi Transformasi -f(x+5)
Urutan operasi sangat penting. Berdasarkan notasi fungsi, langkah yang terjadi secara berurutan adalah:
- Pergeseran Horizontal: Dari f(x) ke f(x+5). Grafik bergeser 5 satuan ke kiri.
- Pencerminan Vertikal: Dari f(x+5) ke -f(x+5). Grafik yang telah tergeser dicerminkan terhadap sumbu X.
Mengubah urutan akan menghasilkan grafik yang berbeda, misalnya mencerminkan dulu baru menggeser.
Analisis dan Penggambaran Grafik untuk -f(x+5): Gambarlah Grafik Fungsi F(x)=x(x+1)(x-2) Untuk A) 1+f(-x) B) ‑f(x+5)
Menggambar grafik -f(x+5) dapat dilakukan dengan mengikuti dua langkah transformasi geometri yang telah disebutkan. Mulai dari grafik f(x), kita geser semua titiknya ke kiri sejauh 5 satuan. Setelah itu, dari setiap titik pada grafik yang tergeser itu, kita balikkan nilai ordinatnya (y) menjadi negatif.
Grafik akhir -f(x+5) akan terlihat seperti kurva kubik dasar yang telah dipindahkan jauh ke kiri dan kemudian dibalik secara vertikal. Titik potong sumbu X-nya yang awalnya di x = -1, 0, dan 2, akan berpindah ke x = -6, -5, dan -3 setelah pergeseran ke kiri. Setelah pencerminan, titik-titik ini tetap menjadi titik potong sumbu X karena nilai y=0 tetap
0.
Titik potong sumbu Y yang baru perlu dihitung dengan mensubstitusi x=0 ke -f(0+5) = -f(5). Karena f(5)=5*6*3=90, maka titik potong Y yang baru adalah (0, -90). Perilaku ujung grafiknya juga berubah total: karena dicerminkan, grafik sekarang akan menuju positif tak hingga di sebelah kiri dan negatif tak hingga di sebelah kanan.
Data Titik pada Grafik -f(x+5)
Tabel berikut menunjukkan bagaimana nilai fungsi berubah melalui transformasi ganda ini untuk beberapa nilai x baru.
| Nilai x | Nilai f(x+5) | Nilai -f(x+5) | Koordinat Titik Baru (x, -f(x+5)) |
|---|---|---|---|
| -7 | f(-2) = -8 | 8 | (-7, 8) |
| -6 | f(-1) = 0 | 0 | (-6, 0) -> Titik potong X |
| -5.5 | f(-0.5) ≈ 0.625 | -0.625 | (-5.5, -0.625) |
| -5 | f(0) = 0 | 0 | (-5, 0) -> Titik potong X |
| -4 | f(1) = -2 | 2 | (-4, 2) |
| -3 | f(2) = 0 | 0 | (-3, 0) -> Titik potong X |
| 0 | f(5) = 90 | -90 | (0, -90) -> Titik potong Y baru |
Perbandingan Visual dan Karakteristik Dua Grafik Hasil Transformasi
Source: colearn.id
Jika kita letakkan grafik 1 + f(-x) dan -f(x+5) dalam satu bidang koordinat yang sama, kita akan melihat dua kurva kubik yang tampak sangat berbeda baik dalam posisi, orientasi, maupun bentuk meskipun berasal dari fungsi induk yang sama. Perbandingan ini mengungkapkan bagaimana setiap jenis operasi—penambahan, penggantian variabel, dan negasi—memberikan sidik jari geometrisnya masing-masing.
Grafik 1 + f(-x) pada dasarnya adalah hasil dari manipulasi “cermin dan angkat”. Ia tetap berada di sekitar sumbu Y asal (x=0) tetapi telah dibalik arah horizontalnya. Sementara -f(x+5) adalah hasil dari proses “geser kiri dan balik”. Ia berpindah jauh ke wilayah x negatif dan berputar secara vertikal. Titik tetap atau invariant antara kedua grafik ini hampir tidak ada karena semua transformasi yang dilakukan bersifat mengubah posisi.
Namun, keduanya tetap mempertahankan jumlah titik potong dengan sumbu X, yaitu tiga, yang merupakan sifat dasar fungsi kubik aslinya.
Operasi aljabar memanifestasikan dirinya secara visual dengan cara yang elegan: Menambah konstanta di luar fungsi (seperti +1) menggerakkan grafik secara vertikal. Mengganti x dengan -x membalikkan grafik secara horizontal seperti bayangan cermin. Mengganti x dengan (x+5) menggesernya secara horizontal. Dan memberi tanda negatif di depan fungsi (seperti -f(x)) membalikkan grafik secara vertikal. Kombinasi operasi ini menghasilkan perjalanan grafik yang kompleks di atas bidang koordinat.
Pemungkas
Dengan demikian, eksplorasi terhadap 1+f(-x) dan -f(x+5) dari fungsi dasar f(x)=x(x+1)(x-2) telah menunjukkan betapa powerful-nya konsep transformasi geometri dalam aljabar. Kita menyaksikan satu fungsi induk yang melahirkan dua grafik anak dengan sifat yang hampir bertolak belakang; satu terangkat dan tercermin secara vertikal, sementara yang lain bergeser jauh ke kiri dan berbalik menghadap ke bawah. Proses ini mengajarkan bahwa memahami esensi dari setiap operasi—pencerminan, pergeseran, dan penskalaan—adalah kunci untuk memprediksi bentuk akhir tanpa harus menghitung titik per titik secara membosankan.
Pada akhirnya, menggambar grafik fungsi hasil transformasi bukan sekadar memenuhi perintah soal. Ini adalah latihan untuk melatih intuisi spasial dan logika matematika, melihat pola, dan mengapresiasi keteraturan dari perubahan yang tampak kompleks. Setelah melihat perbandingannya, coba bayangkan transformasi lainnya. Apa yang terjadi pada f(2x) atau f(x)-3? Ruang eksplorasi ini masih sangat luas, dan pemahaman yang kita dapat dari dua grafik ini adalah fondasi yang kokoh untuk petualangan matematika selanjutnya.
Area Tanya Jawab
Apakah titik potong sumbu Y pada grafik 1+f(-x) selalu berbeda satu satuan dari grafik f(-x) saja?
Ya, tepat sekali. Karena operasi “1+” merupakan pergeseran vertikal ke atas sejauh 1 satuan, maka setiap titik pada grafik f(-x), termasuk titik potong sumbu Y, akan naik sebesar 1. Jika f(-x) memotong sumbu Y di (0, y0), maka 1+f(-x) akan memotong di (0, y0+1).
Mengapa pada transformasi -f(x+5), pergeseran horizontalnya justru ke kiri padahal tandanya positif (+5)?
Ini adalah konsep yang sering membingungkan. Bentuk f(x+5) berarti nilai input (x) diganti dengan (x+5). Agar fungsi menghasilkan nilai yang sama seperti f(x) asli, kita perlu memasukkan nilai x yang 5 satuan lebih kecil. Misalnya, nilai f(0) asli sekarang akan muncul pada saat x = -5 di fungsi baru, karena f(-5+5) = f(0). Oleh karena itu, seluruh grafik bergeser 5 satuan ke kiri.
Bagaimana cara cepat mengetahui perilaku ujung (end behavior) grafik hasil transformasi seperti -f(x+5)?
Analisis dari fungsi dasarnya. f(x)=x(x+1)(x-2) adalah polinomial pangkat tiga dengan koefisien positif untuk x³, sehingga saat x → ∞, f(x) → ∞, dan saat x → -∞, f(x) → -∞. Untuk -f(x+5), tanda negatif membalik arahnya: saat x → ∞, -f(x+5) → -∞, dan saat x → -∞, -f(x+5) → ∞. Pergeseran horizontal (x+5) tidak mengubah perilaku ujung ini, hanya menggeser posisi terjadinya.
Apakah mungkin grafik 1+f(-x) dan -f(x+5) berpotongan? Bagaimana mengetahuinya?
Sangat mungkin, karena keduanya adalah transformasi dari fungsi yang sama namun dengan cara berbeda. Untuk menemukan titik potongnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan 1 + f(-x) = -f(x+5). Namun, secara visual, mengingat 1+f(-x) adalah hasil pencerminan dan penggeseran vertikal yang umumnya berada di sisi kanan sumbu Y, sementara -f(x+5) bergeser jauh ke kiri, besar kemungkinan titik potongnya (jika ada) akan terjadi di daerah dengan nilai x tertentu yang memenuhi persamaan tersebut.
