Transformasi Dilatasi Garis k Sejajar Sumbu Y dan X Mengubah Posisi

Transformasi Dilatasi Garis k Sejajar Sumbu Y dan X mungkin terdengar seperti konsep matematika yang kaku, namun sebenarnya ia adalah kunci untuk memahami bagaimana dunia dapat “diperbesar” atau “dikecilkan” secara sistematis. Bayangkan Anda memiliki garis batas taman yang lurus, lalu ingin memperluas seluruh rancangan tanpa mengubah arahnya. Di sinilah konsep ini berperan, mengajak kita melihat geometri bukan sebagai rumus mati, melainkan sebagai alat dinamis yang elegan.

Pada dasarnya, dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran objek berdasarkan titik pusat dan sebuah faktor skala bernilai k. Ketika objek tersebut adalah garis vertikal seperti x = a atau horizontal seperti y = b, perilakunya menjadi sangat menarik dan terprediksi. Melalui artikel ini, kita akan membedah bagaimana garis-garis sejajar sumbu ini bertransformasi, baik dari pusat (0,0) maupun titik sembarang, lengkap dengan dampak nyata dari pemilihan nilai k terhadap hasil akhirnya.

Konsep Dasar Transformasi Dilatasi pada Bidang Kartesius

Bayangkan kamu memiliki foto digital di layar komputer. Ketika kamu menge-zoom in atau zoom out, gambar itu membesar atau mengecil. Itulah analogi sederhana dari dilatasi dalam matematika. Dilatasi adalah salah satu transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek, baik diperbesar maupun diperkecil, dengan bentuk yang tetap serupa (similar).

Dua komponen utama yang mengendalikan transformasi ini adalah pusat dilatasi dan faktor skala. Pusat dilatasi berperan sebagai titik acuan atau “jangkar” dari mana proses penskalaan dimulai. Sementara itu, faktor skala, biasanya dilambangkan dengan k, adalah bilangan yang menentukan seberapa besar perubahan ukuran. Nilai k ini menarik untuk diamati: jika k > 1, objek akan mengalami pembesaran; jika 0 < k < 1, objek justru mengecil.

Lalu, bagaimana jika k negatif? Hasilnya adalah objek yang tidak hanya berubah ukuran, tetapi juga terletak pada sisi yang berlawanan relatif terhadap pusat dilatasi, seperti efek pantulan yang digabung dengan penskalaan.

Ilustrasi Dilatasi dengan Pusat Berbeda

Untuk memahami peran pusat dilatasi, mari kita ambil contoh objek segitiga siku-siku dengan titik sudut A(1,1), B(1,3), dan C(3,1). Jika kita lakukan dilatasi dengan faktor skala k=2 tetapi dengan pusat yang berbeda, hasilnya akan dramatis. Dengan pusat (0,0), segitiga baru akan memiliki koordinat A'(2,2), B'(2,6), dan C'(6,2); segitiga itu membesar dan menjauh dari titik asal. Namun, jika pusatnya kita pindah ke titik (1,1) yang merupakan salah satu titik sudutnya, maka titik A akan tetap di tempatnya, sementara B dan C bergerak menjauh, seolah-olah segitiga itu membesar dari sudut A.

Perbedaan ini menunjukkan bahwa pusat dilatasi adalah penentu “lokasi” hasil transformasi, bukan hanya ukurannya.

Pemahaman Dilatasi Garis dengan Pusat di Titik Asal (0,0)

Source: slidesharecdn.com

Ketika pusat dilatasi berada di titik asal koordinat (0,0), rumus transformasinya menjadi sangat elegan dan mudah diingat. Setiap titik (x, y) pada objek asal akan dipetakan ke titik baru (x’, y’) dengan aturan: x’ = kx dan y’ = ky. Rumus ini adalah jantung dari proses penskalaan dari titik nol.

Mari kita terapkan pada persamaan garis lurus, misalnya y = 2x +
3. Prosesnya dimulai dengan menyatakan hubungan x’ dan y’. Karena x’ = kx, maka x = x’/k. Demikian pula, y = y’/k. Substitusikan ini ke persamaan awal: (y’/k) = 2(x’/k) + 3.

Selanjutnya, kalikan seluruh persamaan dengan k untuk menghilangkan penyebut, sehingga diperoleh y’ = 2x’ + 3k. Persamaan baru ini, y = 2x + 3k, adalah hasil dilatasi garis y = 2x + 3 dengan faktor skala k dan pusat (0,0).

Dampak Dilatasi pada Koordinat dan Gradien

Untuk melihat efeknya secara konkret, perhatikan tabel perbandingan koordinat beberapa titik pada garis y = 2x + 3 sebelum dan setelah dilatasi dengan dua nilai k yang berbeda.

Dari tabel dan persamaan hasil, kita bisa menarik dua kesimpulan penting. Pertama, gradien atau kemiringan garis tidak berubah. Pada contoh, gradien tetap 2. Kedua, yang berubah adalah konstanta atau titik potong sumbu Y. Nilai konstanta tersebut dikalikan dengan faktor skala k.

Jadi, dilatasi dari (0,0) pada garis lurus menghasilkan garis yang sejajar dengan garis asal, tetapi bergeser sepanjang sumbu Y.

Transformasi Dilatasi Garis yang Sejajar Sumbu Y (x = a)

Garis vertikal memiliki karakteristik khusus karena tidak dapat dinyatakan sebagai fungsi y terhadap x. Persamaannya sederhana: x = a, di mana a adalah konstanta yang menunjukkan jarak garis dari sumbu Y. Garis ini tegak lurus terhadap sumbu X dan semua titik di garis tersebut memiliki nilai absis yang sama, yaitu a.

Mendilatasi garis x = a dengan pusat (0,0) mengikuti logika yang sama. Kita terapkan rumus dasar x’ = kx. Pada garis asal, nilai x untuk setiap titik adalah a. Maka, hubungannya menjadi x’ = k
– a. Karena k dan a adalah konstanta, hasilnya x’ juga sebuah konstanta.

Ini mengindikasikan bahwa hasil transformasinya tetap berupa garis vertikal.

Karakteristik Hasil Dilatasi Garis Vertikal, Transformasi Dilatasi Garis k Sejajar Sumbu Y dan X

• Bentuk garis tetap vertikal (sejajar sumbu Y).
• Posisi garis berubah dari x = a menjadi x = k
  – a.
• Jika k > 1, garis menjauh dari sumbu Y. Jika 0 < k < 1, garis mendekati sumbu Y. Jika k negatif, garis akan berada di sisi berlawanan sumbu Y.
• Proses ini tidak melibatkan koordinat y karena garis vertikal memanjang tak terhingga ke arah sumbu Y, dan penskalaan dari (0,0) hanya menggeser posisinya secara horizontal.

Pola hasil transformasi ini dapat dilihat dengan jelas dari contoh numerik berikut:

Contoh 1: Garis x = 4 didilatasi dengan k = 3, pusat (0,0).
Hasil: x’ = 3

4 = 12 → Persamaan baru

x = 12.

Contoh 2: Garis x = -6 didilatasi dengan k = 1/2, pusat (0,0).
Hasil: x’ = (1/2)

(-6) = -3 → Persamaan baru

x = -3.

Transformasi Dilatasi Garis yang Sejajar Sumbu X (y = b): Transformasi Dilatasi Garis K Sejajar Sumbu Y Dan X

Berlawanan dengan garis vertikal, garis horizontal dinyatakan dengan persamaan y = b, di mana b adalah konstanta. Garis ini sejajar dengan sumbu X dan semua titik pada garis memiliki ordinat yang sama. Transformasi dilatasi terhadap garis jenis ini memberikan dinamika yang mirip, tetapi terjadi pada sumbu yang berbeda.

Dengan pusat dilatasi di (0,0), kita gunakan rumus y’ = ky. Pada garis asal y = b, substitusi langsung memberikan y’ = k
– b. Karena k dan b konstan, nilai y’ juga konstan. Ini membuktikan bahwa garis horizontal setelah didilatasi dari titik asal akan tetap menjadi garis horizontal.

Perbandingan Persamaan Garis Horizontal Sebelum dan Sesudah Dilatasi

Tabel berikut menyajikan perubahan persamaan garis untuk berbagai nilai b dan k. Perhatikan pola yang konsisten pada kolom hasil.

Diskusi dari tabel ini menguatkan analisis sebelumnya. Garis horizontal memang tetap horizontal karena nilai ordinatnya yang baru juga seragam untuk semua titik. Perubahan hanya terjadi pada nilai konstanta b, yang dikalikan dengan faktor skala k. Perkalian dengan k negatif akan memindahkan garis ke sisi berlawanan dari sumbu X, sesuai dengan tanda hasil kalinya.

Dilatasi Garis Sejajar Sumbu dengan Pusat Dilatasi Sembarang (p,q)

Dunia menjadi lebih menarik ketika pusat dilatasi tidak lagi di titik asal, tetapi di sebuah titik sembarang P(p, q). Rumus transformasinya pun menjadi sedikit lebih kompleks: x’ = p + k(x – p) dan y’ = q + k(y – q). Inti dari rumus ini adalah penskalaan jarak suatu titik terhadap pusat (p,q). Bagian (x-p) dan (y-q) adalah jarak relatif titik terhadap pusat, yang kemudian dikalikan k, dan akhirnya ditambahkan kembali ke koordinat pusat.

Menerapkan rumus ini pada garis khusus seperti x = a dan y = b memerlukan analisis yang cermat. Untuk garis vertikal x = a, kita substitusi x = a ke dalam rumus: x’ = p + k(a – p). Karena a dan p konstan, x’ juga konstan. Artinya, garis hasil tetap vertikal di posisi x = p + k(a – p).

Logika serupa berlaku untuk garis horizontal y = b, yang akan menghasilkan garis horizontal baru di y = q + k(b – q).

Ilustrasi dan Perbandingan dengan Pusat (0,0)

Bayangkan sebuah garis vertikal x = 4 dan sebuah garis horizontal y = 2 pada bidang kartesius. Pusat dilatasi kita letakkan di titik (1, 1) yang berada di kuadran I. Dengan faktor skala k=3, kita hitung: garis vertikal baru akan berada di x’ = 1 + 3(4 – 1) = 1 + 9 = 10. Garis horizontal baru di y’ = 1 + 3(2 – 1) = 1 + 3 = 4.

Hasilnya, garis vertikal bergeser jauh ke kanan (x=10) dan garis horizontal bergeser ke atas (y=4). Penskalaan seolah-olah “menarik” garis-garis tersebut menjauh dari pusat (1,1).

• Perbandingan Pusat (0,0) vs. Pusat (p,q): Dengan pusat (0,0), garis x=4 dan k=3 berubah menjadi x=12. Dengan pusat (1,1), hasilnya x=10. Perbedaan ini menunjukkan bahwa objek “ditarik” dari posisi pusat yang berbeda, sehingga hasil akhir pergeserannya tidak sama.
• Pengaruh Posisi Pusat: Jika pusat dilatasi berada tepat pada garis tersebut, misalnya mendilatasi x=4 dengan pusat (4,0), maka hasilnya tetap x=4 untuk semua nilai k (kecuali k=0). Garis tersebut bertindak sebagai poros yang tidak bergerak.
• Fleksibilitas Pemodelan: Pusat sembarang memberikan fleksibilitas yang jauh lebih besar untuk memodelkan situasi nyata di mana proses penskalaan tidak selalu berpusat pada satu titik paten seperti titik asal.

Aplikasi dan Contoh Soal Terintegrasi

Konsep dilatasi garis sejajar sumbu, meskipun terlihat abstrak, menemukan relevansinya ketika dikombinasikan dengan transformasi lain atau dalam pemecahan masalah bertingkat. Kemampuan untuk menganalisis bagaimana sebuah garis khusus berubah melalui serangkaian transformasi adalah keterampilan penting dalam geometri analitik.

Contoh Soal Bertingkat

Mudah: Garis y = 7 didilatasi dengan faktor skala k = 2 dan pusat (0,0). Tentukan persamaan garis hasilnya.
Sedang: Garis x = -3 didilatasi dengan pusat di P(2, -1) dan faktor skala k = -1. Tentukan persamaan garis hasil dilatasi dan jelaskan posisinya relatif terhadap garis asal.
Sulit: Garis y = 5 ditranslasikan oleh T = (2, -3), kemudian hasilnya didilatasi dengan faktor skala 0.5 dan pusat (1, 1).

Tentukan persamaan garis akhir setelah kedua transformasi tersebut.

Mari kita selesaikan soal tingkat sedang secara rinci. Tabel berikut merinci langkah-langkahnya.

Studi Kasus: Perencanaan Tata Kota

Seorang perencana kota sedang mendesain sebuah taman berbentuk persegi panjang di sekitar sebuah monumen yang dijadikan pusat. Denah awal menetapkan pagar timur-barat pada garis y = 100 m dan y = -100 m, serta pagar utara-selatan pada x = 150 m dan x = -150 m. Untuk memperluas area hijau, pemerintah memutuskan untuk melakukan perluasan (dilatasi) seluruh taman dengan faktor skala 1.5 dan berpusat di monumen (0,0).

Dengan konsep dilatasi garis sejajar sumbu, perencana dapat dengan cepat menghitung pagar baru: pagar horizontal menjadi y = 150 dan y = -150, sedangkan pagar vertikal menjadi x = 225 dan x = -225. Ini menunjukkan bagaimana model matematika sederhana dapat memberikan solusi cepat untuk perencanaan spasial.

Strategi Umum Penyelesaian Masalah

Strategi utama dalam menyelesaikan masalah dilatasi pada garis khusus adalah dengan memisahkan variabel. Untuk garis vertikal (x=a), fokuskan hanya pada rumus transformasi koordinat x. Untuk garis horizontal (y=b), fokus pada rumus transformasi koordinat y. Selalu identifikasi dengan jelas pusat dilatasi (p,q) dan faktor skala k. Jika transformasi dilakukan berurutan (komposisi), kerjakan step-by-step, dan pastikan untuk mengoperasikan hasil transformasi sebelumnya sebagai objek baru untuk transformasi berikutnya.

Pendekatan sistematis ini akan memandu penyelesaian bahkan untuk soal-soal yang paling kompleks sekalipun.

Akhir Kata

Jadi, setelah menelusuri penjelasan mendetail, terlihat bahwa Transformasi Dilatasi Garis k Sejajar Sumbu Y dan X pada hakikatnya adalah tentang konsistensi dan skalabilitas. Garis vertikal tetap vertikal, garis horizontal tetap horizontal; yang berubah hanyalah jaraknya dari pusat dilatasi sesuai besaran faktor k. Pemahaman ini bukan sekadar untuk menyelesaikan soal ujian, melainkan membentuk kerangka berpikir logis dalam memandang perubahan skala pada berbagai bidang, dari desain grafis hingga perencanaan teknis.

Dengan menguasai konsep ini, Anda telah melengkapi diri dengan satu alat berpikir yang presisi untuk mengurai kompleksitas bentuk dan ruang di sekeliling kita.

FAQ Terkini

Apakah hasil dilatasi garis vertikal x = a bisa menjadi garis miring?

Tidak bisa. Dengan pusat dilatasi di mana pun, garis vertikal (x = a) akan selalu menghasilkan garis vertikal baru (x = a’). Perubahan hanya terjadi pada nilai konstannya, yang bergantung pada nilai k dan pusat dilatasi.

Bagaimana jika faktor skala k = 1 atau k = -1?

Jika k = 1, dilatasi tidak mengubah apa pun; garis hasil akan berimpit dengan garis awal. Jika k = -1 dengan pusat (0,0), hasilnya adalah pencerminan terhadap titik pusat. Garis x = a akan menjadi x = -a, dan garis y = b akan menjadi y = -b.

Apakah mungkin garis hasil dilatasi justru lebih dekat ke pusat daripada garis asalnya?

Ya, sangat mungkin. Ini terjadi ketika faktor skala k bernilai antara 0 dan 1 (0 < k < 1). Dalam kasus ini, terjadi pengecilan, sehingga setiap titik pada garis bergerak mendekati pusat dilatasi.

Bagaimana cara menentukan persamaan garis hasil jika pusat dilatasi tidak di (0,0) tetapi pada garis itu sendiri?

Jika pusat dilatasi (p,q) terletak pada garis awal (misalnya, pada x = a maka p harus sama dengan a), maka setiap titik pada garis akan bergerak menjauhi atau mendekati pusat sepanjang garis itu sendiri. Hasilnya, garis akan tetap sama, karena titik pusatnya ada di garis tersebut dan tidak bergeser.