Persamaan bayangan f(x)=3x+6 dilatasi faktor 6 di (0,0) – Persamaan bayangan f(x)=3x+6 dilatasi faktor 6 di (0,0) bukan sekadar soal matematika biasa, melainkan pintu masuk untuk memahami bagaimana sebuah garis lurus bisa diregangkan atau dikempiskan dari titik pusatnya. Bayangkan garis itu seperti karet elastis yang ditarik dari titik nol; setiap titik di atasnya menjauh dengan faktor pengali yang sama, mengubah penampakan grafisnya secara dramatis namun tetap mempertahankan sifat kelurusannya.
Proses ini adalah inti dari transformasi geometri yang disebut dilatasi, sebuah konsep yang elegan dan penuh daya aplikasi.
Mengurai persoalan ini, kita akan menyelami langkah-langkah aljabar yang sistematis untuk menemukan persamaan barunya, sekaligus mengamati perubahan visual yang terjadi pada grafik. Dari kemiringan yang tetap hingga pergeseran titik potong sumbu, setiap perubahan memiliki logika matematisnya sendiri. Analisis mendetail ini akan memberikan fondasi yang kuat untuk memahami efek skala besar pada fungsi linear, jauh melampaui sekadar menghafal rumus.
Pengertian Dasar Dilatasi pada Fungsi Linear
Dalam dunia transformasi geometri, dilatasi adalah operasi yang mengubah ukuran suatu objek, baik memperbesar maupun memperkecil, tanpa mengubah bentuk dasarnya. Bayangkan kita sedang memperbesar foto di layar ponsel dengan dua jari, itulah konsep dilatasi dalam aksi. Ketika pusat dilatasi berada di titik asal koordinat (0,0), proses perhitungannya menjadi lebih terstruktur dan mudah dipahami.
Untuk fungsi linear seperti f(x) = ax + b, dilatasi dengan faktor skala k dan pusat (0,0) dapat dilakukan dalam dua cara: vertikal dan horizontal. Dilatasi vertikal secara langsung mengalikan seluruh output fungsi (nilai y) dengan faktor k, menghasilkan bayangan g(x) = k
– f(x). Sementara itu, dilatasi horizontal bekerja pada input fungsi (nilai x), di mana x diganti dengan (x/k), menghasilkan bayangan g(x) = f(x/k).
Perbedaan ini menghasilkan efek visual yang berbeda pada grafik, meskipun faktor skalanya sama.
Efek Faktor Skala pada Grafik Linear
Pemahaman tentang efek faktor skala kunci untuk menguasai dilatasi. Jika kita mengambil fungsi linear sederhana, misalnya y = x, dampaknya menjadi sangat jelas. Untuk k > 1, baik dilatasi vertikal maupun horizontal akan “menarik” grafik menjauhi titik pusat, membuatnya tampak lebih curam (pada dilatasi vertikal) atau lebih landai (pada dilatasi horizontal). Sebaliknya, jika 0 < k < 1, grafik justru "ditekan" mendekati titik pusat, membuatnya lebih landai (vertikal) atau lebih curam (horizontal). Intinya, dilatasi dengan k > 1 berarti perbesaran, sedangkan 0 < k < 1 berarti pengecilan terhadap jarak setiap titik ke pusat (0,0).
Analisis Langsung Persamaan f(x)=3x+6 yang Didilatasi Faktor 6
Mari kita terapkan konsep tadi pada kasus nyata: fungsi f(x) = 3x + 6 yang didilatasi dengan faktor skala 6 di titik (0,0). Pertanyaan yang sering muncul adalah, ini dilatasi vertikal atau horizontal? Dalam konteks umum dan soal yang umum, jika tidak disebutkan secara spesifik, dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala k terhadap suatu fungsi atau kurva sering diartikan sebagai dilatasi vertikal sekaligus horizontal, atau dengan kata lain, dilatasi pada bidang.
Rumus transformasi untuk titik (x, y) adalah (x’, y’) = (kx, ky). Untuk menemukan persamaan bayangannya, kita substitusi hubungan ini ke dalam persamaan asli.
Langkah Aljabar Menemukan Persamaan Bayangan
Source: googleapis.com
Proses aljabarnya sistematis dan dapat diikuti langkah demi langkah. Kita mulai dari hubungan dasar dilatasi: x’ = 6x dan y’ = 6y. Dari sini, kita nyatakan x dan y dalam bentuk x’ dan y’, yaitu x = x’/6 dan y = y’/6. Selanjutnya, kita substitusi ekspresi ini ke dalam persamaan fungsi asli y = 3x + 6.
y = 3x + 6
(y’/6) = 3*(x’/6) + 6
y’/6 = (3x’/6) + 6
y’/6 = x’/2 + 6
y’ = 6*(x’/2 + 6)
y’ = 3x’ + 36
Karena x’ dan y’ adalah koordinat pada bayangan, kita bisa ganti kembali menjadi x dan y, sehingga diperoleh persamaan bayangan g(x) = 3x + 36. Perhatikan bahwa kemiringan garis (gradien) tetap 3, tetapi konstanta atau titik potong sumbu-Y berubah dari 6 menjadi 36, tepat 6 kali lipatnya.
Tabel Perbandingan Nilai Fungsi Asli dan Bayangan, Persamaan bayangan f(x)=3x+6 dilatasi faktor 6 di (0,0)
Data numerik berikut memberikan gambaran konkret tentang perubahan yang terjadi. Tabel ini membandingkan nilai fungsi asli f(x) dengan nilai fungsi hasil dilatasi g(x) untuk beberapa titik x yang sama.
| Nilai x | f(x) = 3x+6 (Asli) | g(x) = 3x+36 (Bayangan) | Perbandingan y’ / y |
|---|---|---|---|
| -2 | 0 | 30 | – |
| 0 | 6 | 36 | 6 |
| 2 | 12 | 42 | 3.5 |
| 4 | 18 | 48 | ≈2.67 |
Data pada tabel mengonfirmasi bahwa titik (0,6) pada fungsi asli berubah menjadi (0,36) pada bayangan, mengalami perkalian faktor 6 secara vertikal. Untuk titik lain, rasio y’/y tidak konstan karena dilatasi ini adalah transformasi pada bidang yang mengubah jarak titik ke pusat (0,0) menjadi 6 kali lipat, bukan sekadar mengalikan nilai y-nya dengan 6. Itulah mengapa hanya titik di sumbu-Y yang nilai y-nya langsung dikali 6.
Interpretasi Geometris dan Visualisasi Grafik
Secara visual, grafik fungsi bayangan g(x) = 3x + 36 adalah garis lurus yang sejajar dengan garis asli f(x) = 3x + 6. Keduanya memiliki kemiringan yang identik, yaitu 3. Perubahan utama terjadi pada posisi garis tersebut di bidang kartesius. Garis bayangan terletak jauh lebih tinggi dibandingkan garis asli, ditandai dengan pergeseran titik potong sumbu-Y dari koordinat (0,6) ke (0,36).
Jika kita ambil satu titik pada garis asli, misalnya A(2,12), bayangannya setelah dilatasi adalah A'(12,72). Jarak titik A ke pusat (0,0) adalah √(2² + 12²) = √148. Jarak titik A’ ke pusat adalah √(12² + 72²) = √5328. Ternyata √5328 = √(36
– 148) = 6√148. Ini membuktikan bahwa setiap titik pada garis asli memang mengalami perpanjangan jarak sebesar faktor 6 dari titik pusat dilatasi.
Perbedaan Utama Grafik Sebelum dan Sesudah Dilatasi
- Kemiringan (Gradien): Tetap sama, yaitu 3. Dilatasi dengan pusat (0,0) tidak mengubah kemiringan garis linear.
- Posisi Garis: Garis bayangan mengalami pergeseran vertikal yang sangat signifikan, menjauh dari sumbu-X.
- Jarak dari Pusat: Setiap titik pada garis baru berjarak tepat 6 kali lebih jauh dari titik (0,0) dibandingkan titik asalnya.
- Perpotongan Sumbu-Y: Nilai titik potong sumbu-Y berubah dari 6 menjadi 36, mengikuti hubungan perkalian terhadap pusat dilatasi.
Penerapan dan Contoh Variasi Soal Serupa
Untuk menguasai konsep ini, latihan dengan variasi soal adalah kuncinya. Soal-soal dilatasi pada fungsi linear bisa dikembangkan dari tingkat dasar hingga menantang, seringkali dikombinasikan dengan transformasi lain. Memahami prosedur universal akan membuat kita mampu menyelesaikan berbagai variasi.
Prosedur Universal Dilatasi Pusat (0,0) Faktor k:
1. Tentukan hubungan
x’ = kx dan y’ = ky.
- Nyatakan x dan y dalam x’, y’: x = x’/k, y = y’/k.
- Substitusi nilai x dan y ini ke dalam persamaan fungsi asli y = f(x).
- Sederhanakan persamaan untuk mendapatkan hubungan y’ = g(x’).
- Ganti notasi (x’, y’) dengan (x, y) untuk persamaan akhir bayangan.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1 (Dasar): Tentukan bayangan fungsi h(x) = -2x + 4 setelah didilatasi faktor ½ di (0,0).
Pembahasan: Dengan k=½, maka x = x’/(½)= 2x’ dan y = y’/(½)= 2y’. Substitusi: 2y’ = -2(2x’) + 4 → 2y’ = -4x’ + 4 → y’ = -2x’ + 2. Jadi, bayangannya adalah j(x) = -2x + 2.
Contoh 2 (Menengah): Suatu garis didilatasi faktor 3 dari (0,0) menghasilkan bayangan 2y = 6x – 18. Tentukan persamaan garis asalnya.
Pembahasan: Kita cari invers transformasinya. Dari bayangan y’ = 3x’
–
9. Karena (x’, y’) = (3x, 3y), maka (x, y) = (x’/3, y’/3).
Substitusi: y’/3 = 3*(x’/3)
-9 → y’/3 = x’
-9 → y’ = 3x’
-27. Persamaan asli (dalam x,y) adalah y = 3x – 27.
Contoh 3 (Kombinasi): Fungsi p(x) = x + 5 ditranslasikan oleh T=(-1,2), kemudian hasilnya didilatasi faktor 2 di (0,0). Tentukan persamaan akhir.
Pembahasan: Pertama, translasi: (x’, y’) = (x-1, y+2). Bayangan setelah translasi: y’+2 = (x’-1) + 5 → y’ = x’ +
2. Kedua, dilatasi faktor 2: x” = 2x’, y” = 2y’ → x’=x”/2, y’=y”/
2.
Substitusi: y”/2 = (x”/2) + 2 → y” = x” + 4. Jadi, hasil akhirnya adalah y = x + 4.
Kesalahan Umum dan Koreksi
Satu kesalahan yang sering terjadi adalah hanya mengalikan seluruh ruas persamaan fungsi dengan faktor k. Itu hanya benar untuk dilatasi vertikal murni. Pada dilatasi bidang dengan pusat (0,0), kita harus melakukan substitusi variabel seperti pada prosedur universal. Kesalahan lain adalah lupa mengubah notasi variabel bayangan (x’,y’) kembali ke (x,y) di akhir, yang sebenarnya tidak fatal selama konsisten, tetapi penting untuk penulisan jawaban akhir yang rapi.
Hubungan dengan Transformasi Geometri Lainnya: Persamaan Bayangan F(x)=3x+6 Dilatasi Faktor 6 Di (0,0)
Transformasi geometri seperti dilatasi, translasi, dan refleksi jarang berdiri sendiri. Seringkali dalam soal, beberapa transformasi dikomposisikan. Memahami bagaimana setiap transformasi memodifikasi fungsi akan membantu kita menganalisis hasil akhir dari serangkaian operasi yang kompleks sekalipun.
Misalnya, jika hasil dilatasi f(x)=3x+6 menjadi g(x)=3x+36 kita translasikan 3 satuan ke kanan, maka kita akan mengganti x dengan (x-3) pada g(x), menghasilkan h(x)=3(x-3)+36=3x+27. Urutan komposisi transformasi sangat penting karena umumnya tidak komutatif. Menerapkan translasi dulu baru dilatasi akan memberikan hasil yang berbeda dengan dilatasi dulu baru translasi.
Perbandingan Efek Dilatasi, Translasi, dan Refleksi
Masing-masing transformasi meninggalkan “jejak” yang khas pada persamaan fungsi linear. Refleksi terhadap sumbu-X, misalnya, akan mengubah tanda koefisien y, sementara refleksi terhadap sumbu-Y mengubah tanda variabel x. Translasi akan menggeser grafik tanpa mengubah bentuk atau orientasinya.
| Jenis Transformasi | Efek pada Gradien (m) | Efek pada Konstanta (c) di y=mx+c | Sifat Khas |
|---|---|---|---|
| Dilatasi Faktor k di (0,0) | Tidak Berubah | Berubah, menjadi k kali lipat | Jarak semua titik ke (0,0) berubah faktor k. |
| Translasi (a, b) | Tidak Berubah | Berubah, menjadi c + b – ma | Geser seragam, jarak relatif antar titik tetap. |
| Refleksi sumbu-X | Berubah tanda (-m) | Berubah tanda (-c) | Pembalikan vertikal seperti cermin di sumbu-X. |
| Refleksi sumbu-Y | Berubah tanda (-m) | Tidak Berubah (c) | Pembalikan horizontal seperti cermin di sumbu-Y. |
Dari tabel terlihat jelas keunikan dilatasi: ia adalah satu-satunya transformasi dasar yang dapat mengubah “skala” objek relatif terhadap suatu titik pusat, sementara translasi hanya menggeser dan refleksi hanya membalik. Pemahaman perbandingan ini memudahkan identifikasi jenis transformasi yang telah terjadi hanya dengan melihat perubahan persamaan fungsinya.
Terakhir
Jadi, setelah menelusuri setiap langkah, terlihat jelas bahwa dilatasi faktor 6 terhadap f(x)=3x+6 menghasilkan bayangan g(x)=18x+36. Transformasi ini bukan hanya perkalian koefisien secara membabi buta, melainkan pembesaran seragam yang menjaga orisinalitas bentuk garis. Garis baru itu seolah-olah adalah versi “zoom in” ekstrem dari garis asli, di mana setiap jarak dari titik pusat (0,0) membesar enam kali lipat. Pemahaman mendalam ini menjadi kunci untuk menguasai transformasi geometri yang lebih kompleks, membuktikan bahwa dari soal yang tampak spesifik, kita bisa menarik benang merah pengetahuan yang sangat luas dan aplikatif.
FAQ dan Informasi Bermanfaat
Apakah hasil dilatasi ini akan sama jika pusat dilatasi bukan di (0,0)?
Tidak sama. Jika pusat dilatasi dipindah, misalnya ke titik (a,b), rumus dan proses perhitungannya menjadi lebih kompleks karena melibatkan pergeseran sumbu koordinat. Hasil akhirnya akan berupa garis yang berbeda, baik dari segi kemiringan maupun titik potongnya.
Mengapa kemiringan (gradien) garis juga berubah menjadi 18, padahal garis hanya “diperbesar”?
Karena dilatasi dengan pusat (0,0) mengalikan
-setiap* koordinat y dengan faktor skala 6. Fungsi asli y = 3x + 6, setelah y’ = 6y, menjadi y’ = 6(3x + 6) = 18x + 36. Gradien berasal dari perubahan y terhadap x, dan karena y sekarang 6 kali lebih besar untuk setiap x, maka laju perubahannya (gradien) juga menjadi 6 kali lipat.
Bagaimana cara membedakan dilatasi vertikal dan horizontal pada fungsi?
Dilatasi vertikal mengalikan nilai f(x) atau y dengan faktor k (y’ = k
– f(x)), sedangkan dilatasi horizontal mengalikan variabel x dengan faktor 1/k (dari x’ = k
– x, sehingga fungsi bayangannya f'(x) = f(x/k)). Pada soal ini, yang diterapkan adalah dilatasi vertikal sekaligus horizontal dengan faktor sama dari pusat (0,0), yang efeknya setara dengan mengalikan seluruh fungsi (setiap suku) dengan 6.
Apakah mungkin faktor dilatasi berupa bilangan negatif, dan apa efeknya?
Mungkin. Faktor dilatasi negatif, misalnya -6, akan menghasilkan pembesaran 6 kali lipat
-dan* pencerminan terhadap titik pusat (0,0). Garis bayangan akan berada di kuadran yang berseberangan dengan garis asli, memiliki kemiringan dan intercept yang bernilai negatif dari hasil kali sebelumnya.
