Contoh Soal dan Penjelasan Jawaban Dilatasi Vertikal seringkali jadi titik terang bagi banyak yang sedang bergulat dengan transformasi geometri fungsi. Topik ini sebenarnya bukan sekadar rumus kaku yang harus dihafal, melainkan sebuah cara elegan untuk meregangkan atau mengempiskan grafik fungsi secara vertikal, layaknya menarik atau mendorong sebuah gambar karet dari sumbu-x. Bayangkan Anda punya kurva biasa, lalu dengan faktor skala tertentu, Anda bisa membuatnya lebih curam, lebih landai, atau bahkan membaliknya—semua perubahan itu terjadi hanya pada arah vertikal, sementara posisi horizontalnya tetap teguh berdiri.
Pemahaman mendalam tentang dilatasi vertikal membuka pintu untuk menguasai berbagai jenis transformasi fungsi lainnya. Melalui contoh-contoh bertingkat, dari yang sederhana hingga kompleks, kita akan menelusuri bagaimana parameter ‘k’ yang sederhana itu mampu mengubah wajah sebuah fungsi secara dramatis. Proses ini tidak hanya tentang mengganti variabel dalam rumus, tetapi juga tentang melatih intuisi visual untuk memprediksi bagaimana grafik akan berubah sebelum kita bahkan menggambarnya di kertas.
Pengantar dan Konsep Dasar Dilatasi Vertikal
Bayangkan grafik fungsi itu seperti adonan kue yang bisa kita regangkan atau tekan. Nah, dilatasi vertikal adalah salah satu cara untuk melakukan itu, khususnya dari atas ke bawah. Dalam dunia transformasi geometri fungsi, dilatasi vertikal adalah operasi yang mengubah jarak setiap titik pada grafik dari sumbu-x dengan mengalikan ordinatnya (nilai y) dengan suatu bilangan konstan, yang kita sebut faktor skala ‘k’.
Intinya, kita membuat grafiknya lebih “gemuk” ke arah vertikal atau lebih “kurus”, tanpa menggeser posisi dasarnya.
Transformasi ini hidup berdampingan dengan jenis transformasi lain seperti translasi (pergeseran) dan refleksi (pencerminan). Untuk melihat perbedaannya dengan lebih jelas, mari kita lihat tabel perbandingan singkat ini.
| Jenis Transformasi | Perubahan Utama | Parameter Kunci | Efek Visual pada Grafik |
|---|---|---|---|
| Dilatasi Vertikal | Mengubah jarak titik dari sumbu-x. | Faktor skala k. | Grafik memanjang atau memendek secara vertikal. |
| Translasi (Vertikal/Horizontal) | Menggeser posisi seluruh grafik. | Besarnya pergeseran a atau b. | Grafik bergeser ke atas/bawah atau kiri/kanan tanpa berubah bentuk. |
| Refleksi | Mencerminkan grafik terhadap suatu garis. | Sumbu pencerminan (sumbu-x, sumbu-y). | Grafik berbalik posisi seperti bayangan di cermin. |
Rumus Umum dan Pengaruh Faktor Skala
Rumus umum untuk dilatasi vertikal dengan faktor skala k sangatlah sederhana. Jika kita memiliki fungsi asli f(x), maka fungsi hasil transformasinya, kita sebut g(x), adalah:
g(x) = k · f(x)
Parameter k inilah yang menjadi aktor utama. Angka ini menentukan seberapa dramatis perubahan yang terjadi. Jika k > 1, grafik akan meregang menjauhi sumbu-x, terlihat lebih curam atau tinggi. Jika 0 < k < 1, grafik justru akan memampat mendekati sumbu-x, terlihat lebih landai atau pendek. Sementara itu, jika k bernilai negatif, terjadi dua hal sekaligus: dilatasi dan refleksi terhadap sumbu-x.
Aturan dan Sifat Matematis Dilatasi Vertikal
Memahami aturan main dari faktor skala k adalah kunci untuk menguasai dilatasi vertikal. Nilai k bukan sekadar angka pengali biasa; ia membawa konsekuensi spesifik yang langsung terlihat pada bentuk dan perilaku grafik fungsi.
Syarat dan Dampak Nilai Faktor Skala ‘k’
Perilaku grafik sangat bergantung pada rentang nilai k:
- k > 1: Grafik mengalami peregangan vertikal. Setiap titik pada grafik f(x) bergerak menjauhi sumbu-x. Misalnya, titik (2, 4) pada f(x) dengan k=3 akan berpindah ke (2, 12) pada g(x).
- 0 < k < 1: Grafik mengalami kompresi atau pemanpatan vertikal. Titik-titik grafik bergerak mendekati sumbu-x. Titik (2, 4) dengan k=0.5 akan menjadi (2, 2).
- k negatif (k < 0): Di sini terjadi kombinasi. Pertama, grafik direfleksikan terhadap sumbu-x (dibalik). Setelah itu, baru dilakukan dilatasi berdasarkan nilai absolut |k|. Jadi, k = -2 artinya grafik dibalik lalu diregangkan dengan faktor 2.
Sifat-Sifat Grafik Pasca-Dilatasi Vertikal
Setelah dilatasi vertikal, beberapa karakteristik grafik berubah secara sistematis. Titik-titik ekstrem seperti titik puncak parabola atau titik lembah akan berubah ordinatnya (nilai y) sebesar faktor k, sementara absisnya (nilai x) tetap. Untuk asimtot, asimtot horizontal akan bergeser jika dikalikan dengan k, sedangkan asimtot vertikal umumnya tidak berubah karena terkait dengan nilai x. Perpotongan dengan sumbu-x (akar fungsi) akan tetap karena nilai y-nya nol, dan nol dikali berapapun tetap nol.
Hal-Hal yang Tidak Berubah (Invariant)
Meski terlihat berubah, ada beberapa aspek penting dari fungsi yang justru tetap sama setelah dilatasi vertikal. Mengetahui ini bisa menjadi pengecekan cepat atau petunjuk dalam menyelesaikan soal.
- Akar-akar atau titik potong dengan sumbu-x: Karena pada titik ini f(x)=0, maka g(x)=k*0=0. Posisi x dari akar-akar fungsi tidak berubah.
- Asimtot vertikal: Posisi garis asimtot vertikal, yang berkaitan dengan nilai x yang tidak terdefinisi, tetap pada tempatnya.
- Interval kemonotonan: Fungsi akan tetap naik atau turun pada interval x yang sama seperti fungsi aslinya. Hanya “kecuraman” naik/turunnya yang berubah.
- Perilaku ujung (end behavior): Untuk fungsi polinomial, arah grafik saat x menuju tak hingga atau negatif tak hingga akan tetap sama, meskipun “kecepatan” mencapainya berubah.
Prosedur dan Langkah-Langkah Pengerjaan
Menerapkan dilatasi vertikal pada sebuah fungsi sebenarnya adalah proses yang sangat terstruktur. Dengan mengikuti langkah-langkah sistematis, kita bisa mengubah fungsi apa pun dengan akurat dan memahami implikasinya.
Langkah-Langkah Sistematis
Berikut adalah prosedur standar yang bisa kamu ikuti:
- Identifikasi fungsi asal: Tuliskan dengan jelas fungsi awal, f(x).
- Tentukan faktor skala: Pastikan nilai k untuk dilatasi vertikal sudah diketahui.
- Kalikan seluruh fungsi dengan k: Terapkan rumus g(x) = kf(x). Perhatikan bahwa k mengalikan keseluruhan ekspresi f(x). Jika f(x) berupa polinomial, setiap suku harus dikalikan dengan k.
- Sederhanakan fungsi hasil: Lakukan penyederhanaan aljabar jika memungkinkan untuk menulis g(x) dalam bentuk yang paling ringkas.
- Analisis dampak (opsional, tapi disarankan): Periksa apa yang terjadi pada titik-titik penting seperti titik potong sumbu, titik puncak, atau asimtot.
Perbandingan Prosedur pada Berbagai Jenis Fungsi
Prinsip dasarnya tetap sama: kalikan fungsi dengan k. Namun, cara penerapannya pada berbagai jenis fungsi memiliki ciri khasnya sendiri, seperti terlihat pada tabel berikut.
| Jenis Fungsi | Fungsi Asal f(x) | Prosedur Dilatasi (k=3) | Fungsi Hasil g(x) |
|---|---|---|---|
| Aljabar | x² – 2x + 1 | Kalikan setiap suku polinomial dengan 3. | 3x² – 6x + 3 |
| Trigonometri | sin(x) | Kalikan ekspresi trigonometri dengan 3. Amplitudo gelombang berubah. | 3 sin(x) |
| Eksponensial | 2x | Kalikan keseluruhan ekspresi eksponensial dengan 3. | 3 · 2x |
Notasi Transformasi
Source: kibrispdr.org
Setelah kita mendapatkan fungsi hasil, penting untuk menuliskannya dengan notasi yang benar. Biasanya, kita menyatakan transformasi yang terjadi. Contohnya, jika fungsi asal adalah f(x) = x² dan kita melakukan dilatasi vertikal dengan faktor 2, kita bisa menuliskannya sebagai:
g(x) = 2f(x) = 2x²
atau
Dilatasi vertikal f(x) dengan faktor skala 2 menghasilkan g(x) = 2x².
Contoh Soal dan Pembahasan Berjenjang
Mari kita uji pemahaman dengan mengerjakan beberapa contoh soal yang dirancang dari tingkat mudah hingga sulit. Pembahasan rinci akan mengungkap logika di balik setiap langkah pengerjaan.
Contoh Soal Tingkat Mudah
Diketahui fungsi f(x) = 3x + 6. Tentukan fungsi g(x) yang merupakan hasil dilatasi vertikal dari f(x) dengan faktor skala 1/3.
Pembahasan: Dilatasi vertikal dengan faktor k = 1/3 berarti kita mengalikan seluruh fungsi f(x) dengan 1/3.
g(x) = k
– f(x) = (1/3)
– (3x + 6) = (1/3)*3x + (1/3)*6 = x + 2.
Jadi, fungsi hasilnya adalah g(x) = x + 2.
Contoh Soal Tingkat Sedang, Contoh Soal dan Penjelasan Jawaban Dilatasi Vertikal
Sebuah parabola memiliki persamaan y = x²
-4x + 5. Parabola tersebut didilatasikan secara vertikal dengan faktor skala -2. Tentukan koordinat titik puncak parabola hasil dilatasi dan persamaannya.
Pembahasan:
Pertama, cari titik puncak f(x) = x²
-4x + 5. Dengan rumus sumbu simetri x = -b/(2a) = 4/(2*1) = 2. Nilai y-nya adalah f(2) = 2²
-4*2 + 5 = 1. Jadi titik puncak awal adalah (2, 1).
Kedua, lakukan dilatasi: g(x) = k
– f(x) = -2
– (x²
-4x + 5) = -2x² + 8x –
10.
Ketiga, cari titik puncak g(x). Absisnya TETAP, yaitu x = 2 (karena dilatasi vertikal tidak mengubah nilai x titik ekstrem). Ordinat barunya adalah g(2) = -2*(2)² + 8*2 – 10 = -8 + 16 – 10 = –
2. Bisa juga dengan mengalikan ordinat lama dengan k: 1
– (-2) = -2.
Jadi, titik puncak baru adalah (2, -2) dan persamaan parabola hasil dilatasi adalah g(x) = -2x² + 8x – 10.
Tips: Untuk mencari titik ekstrem setelah dilatasi vertikal, kamu tidak perlu selalu mencari ulang dari fungsi hasil. Cukup cari titik ekstrem fungsi awal, lalu kalikan nilai y-nya dengan faktor skala k. Nilai x-nya akan selalu sama.
Contoh Soal Tingkat Sulit
Fungsi f(x) = 2 x didilatasikan secara vertikal sehingga melalui titik (3, 24). Tentukan faktor skala dilatasi tersebut dan tuliskan persamaan fungsi hasilnya.
Pembahasan: Kita tahu fungsi hasil dilatasi adalah g(x) = k
– f(x) = k
– 2 x. Diketahui grafik g(x) melalui titik (3, 24), artinya g(3) =
24.
Substitusikan ke dalam persamaan: k
– 2 3 = 24 → k
– 8 = 24 → k = 3.
Jadi, faktor skalanya adalah k = 3, dan persamaan fungsi hasil dilatasi adalah g(x) = 3
– 2 x.
Analisis Kesalahan Umum
Beberapa jebakan sering menjerat saat mengerjakan soal dilatasi vertikal. Berikut daftarnya agar kamu bisa menghindarinya.
- Hanya Mengalikan Suku Pertama: Kesalahan fatal adalah hanya mengalikan suku pertama fungsi dengan k, misalnya mengubah f(x)=x+2 menjadi g(x)=kx+2. Ingat, k harus mengalikan SELURUH ekspresi f(x).
- Bingung dengan k Negatif: Saat k negatif, beberapa siswa lupa bahwa terjadi refleksi. Mereka hanya melihat peregangan/kompresi berdasarkan nilai absolutnya tanpa membalik grafik.
- Mengubah Nilai x Titik Ekstrem: Sering diasumsikan titik puncak atau titik minimum bergeser secara horizontal setelah dilatasi vertikal. Padahal, hanya ordinat (y) yang berubah.
- Kesalahan dalam Fungsi Komposisi: Jika fungsi asalnya sudah berbentuk transformasi, misalnya f(x)=2(x-1)², pastikan k mengalikan seluruh bentuk 2(x-1)², bukan hanya bagian (x-1)² saja.
Visualisasi dan Interpretasi Grafik
Memahami dilatasi vertikal akan lebih lengkap jika kita bisa membayangkan perubahan visual pada grafik. Mari kita ambil contoh klasik fungsi kuadrat f(x) = x².
Deskripsi Perubahan Visual Grafik f(x) = x²
Grafik asli f(x) = x² adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncak di (0,0). Bayangkan kurva yang landai dan melebar. Sekarang, kita beri faktor skala berbeda:
Dengan k = 3 (g(x)=3x²), parabola mengalami peregangan vertikal. Kurva menjadi lebih “ramping” dan curam. Untuk nilai x yang sama, nilai y-nya tiga kali lebih besar.
Misalnya, titik (1,1) pada f(x) melonjak ke (1,3) pada g(x).
Dengan k = 1/2 (g(x)=0.5x²), terjadi kompresi vertikal. Parabola terlihat lebih “gemuk” dan mendatar, seolah-olah ditekan ke arah sumbu-x. Titik (2,4) pada f(x) turun ke (2,2) pada g(x).
Dengan k = -2 (g(x)=-2x²), terjadi refleksi dan peregangan.
Parabola awal dibalik sehingga terbuka ke bawah, lalu diregangkan secara vertikal dengan faktor 2, membuatnya terlihat lebih curam ke arah bawah.
Perbandingan Posisi Titik-Titik Kunci
Tabel berikut menunjukkan transformasi beberapa titik pada f(x)=x² akibat faktor skala yang berbeda.
| Titik pada f(x)=x² | g(x)=3x² (k=3) | g(x)=½x² (k=0.5) | g(x)=-2x² (k=-2) |
|---|---|---|---|
| (-2, 4) | (-2, 12) | (-2, 2) | (-2, -8) |
| (-1, 1) | (-1, 3) | (-1, 0.5) | (-1, -2) |
| (0, 0) | (0, 0) | (0, 0) | (0, 0) |
| (1, 1) | (1, 3) | (1, 0.5) | (1, -2) |
| (2, 4) | (2, 12) | (2, 2) | (2, -8) |
Interpretasi dalam Konteks Aplikasi
Dalam konteks nyata, dilatasi vertikal bisa dimaknai sebagai perubahan skala intensitas. Misalnya, dalam fisika, jika f(x) mewakili energi potensial sebuah sistem, dilatasi vertikal dengan k > 1 bisa berarti kita meningkatkan energi awal seluruh sistem tersebut. Dalam ekonomi, jika sebuah kurva permintaan didilatasikan vertikal, itu bisa mengindikasikan perubahan selera konsumen yang membuat mereka bersedia membayar harga lebih tinggi untuk setiap jumlah barang yang sama.
Intinya, dilatasi vertikal mengubah “output” atau “nilai” dari fungsi untuk setiap “input” yang diberikan, tanpa mengubah pola dasar hubungan antara input dan output tersebut.
Latihan dan Aplikasi Lanjutan
Untuk mengasah kemampuan, cobalah kerjakan latihan mandiri berikut. Soal-soal ini dirancang untuk menguji penerapan konsep pada situasi yang lebih variatif.
Latihan Soal Mandiri
- Diketahui f(x) = √x. Tentukan persamaan fungsi hasil dilatasi vertikal f(x) dengan faktor skala 4.
- Fungsi h(x) merupakan hasil dilatasi vertikal dari p(x) = cos(x) dengan faktor skala -½. Tentukan nilai h(π).
- Jika grafik fungsi eksponensial y = a·bx didilatasikan vertikal dengan faktor 3 dan menghasilkan grafik y = 12·b x, tentukan nilai dari ‘a’.
- Sebuah garis lurus dengan persamaan 2y – 3x = 12 didilatasikan secara vertikal dengan faktor k sehingga melalui titik (4, 15). Tentukan nilai k.
Penerapan pada Fungsi Piecewise (Bersyarat)
Dilatasi vertikal juga berlaku untuk fungsi bersyarat. Caranya adalah mengalikan setiap bagian (piece) dari fungsi dengan faktor skala k yang sama. Tabel berikut memberikan gambaran.
| Fungsi Awal (Piecewise) | Faktor Skala (k) | Prosedur | Fungsi Hasil (Piecewise) |
|---|---|---|---|
| f(x) = x+1, untuk x < 0 x², untuk x ≥ 0 |
2 | Kalikan setiap rumus bagian dengan 2. | g(x) = 2(x+1), untuk x < 0 2x², untuk x ≥ 0 |
| f(x) = 5, untuk x ≤ -1 -x, untuk x > -1 |
-1 | Kalikan setiap rumus bagian dengan –
1. (Efek refleksi terhadap sumbu-x). |
g(x) = -5, untuk x ≤ -1 x, untuk x > -1 |
Strategi Identifikasi Parameter dari Grafik
Seringkali soal memberikan grafik sebelum dan sesudah transformasi, lalu menanyakan faktor skala k. Strateginya adalah:
Pertama, cari titik yang mudah dibaca pada kedua grafik, usahakan titik yang bukan titik potong sumbu-x (karena y=0 tidak memberi informasi tentang k).
Kedua, misalkan titik (x₁, y₁) pada grafik asal berubah menjadi (x₁, y₂) pada grafik hasil.
Karena hanya dilatasi vertikal, nilai x-nya sama.
Ketiga, hubungannya adalah y₂ = k
– y₁. Jadi, faktor skala dapat ditemukan dengan k = y₂ / y₁.
Pastikan untuk memeriksa lebih dari satu titik untuk memastikan konsistensi, dan perhatikan tanda (positif/negatif) untuk menentukan apakah k bernilai negatif.
Ringkasan Akhir
Pada akhirnya, menguasai Contoh Soal dan Penjelasan Jawaban Dilatasi Vertikal adalah tentang membangun fondasi yang kokoh. Fondasi ini bukan cuma untuk menyelesaikan soal ujian, tetapi lebih sebagai alat berpikir untuk menganalisis perubahan dan pola dalam konteks matematika yang lebih luas. Setelah memahami prinsip peregangan dan penekanan vertikal ini, Anda akan melihat grafik fungsi dengan cara yang baru—setiap kurva menceritakan kisah transformasinya sendiri, dan dilatasi vertikal adalah salah satu bab penting dalam kisah itu.
Jadi, anggaplah setiap soal yang diselesaikan sebagai langkah kecil untuk melejitkan kemampuan analitis matematika Anda ke dimensi yang lebih tinggi.
FAQ dan Solusi: Contoh Soal Dan Penjelasan Jawaban Dilatasi Vertikal
Apakah dilatasi vertikal bisa diterapkan pada fungsi yang tidak kontinu atau memiliki “lubang” di grafiknya?
Ya, bisa. Dilatasi vertikal memengaruhi nilai y dari setiap titik pada fungsi asli. Jika fungsi asli tidak terdefinisi di suatu nilai x (memiliki lubang atau asimtot vertikal), maka setelah dilatasi, fungsi hasilnya juga akan tidak terdefinisi pada nilai x yang sama. Lubang atau diskontinuitas tersebut akan tetap ada, hanya posisi vertikalnya (nilai y-nya) yang akan dikalikan dengan faktor skala k.
Bagaimana jika faktor skala k = 0 pada dilatasi vertikal? Apa yang terjadi pada grafik fungsi?
Jika k = 0, maka rumus transformasi menjadi g(x) = 0
– f(x) = 0. Artinya, seluruh grafik fungsi akan “runtuh” atau dipetakan ke sumbu-x, menghasilkan garis horizontal y = 0 untuk semua nilai x di domain f(x). Transformasi ini menghilangkan semua informasi bentuk asli fungsi kecuali domainnya.
Dalam konteks aplikasi dunia nyata, apa contoh sederhana dari peristiwa dilatasi vertikal?
Bayangkan grafik yang merepresentasikan keuntungan penjualan sebuah produk sebelum dan setelah perubahan harga jual. Jika harga dinaikkan dengan faktor tertentu, grafik keuntungan mungkin akan mengalami peregangan vertikal (jika hubungannya linear positif). Atau, dalam konteks fisika, mengubah amplitudo gelombang sinusoidal (seperti gelombang suara) adalah bentuk dilatasi vertikal di mana faktor k mengontrol keras lemahnya suara.
Apakah urutan melakukan transformasi (misal, dilatasi vertikal dulu baru translasi) memengaruhi hasil akhir?
Ya, sangat memengaruhi. Urutan transformasi umumnya tidak komutatif. Melakukan dilatasi vertikal terlebih dahulu, lalu translasi vertikal, akan menghasilkan grafik yang berbeda jika dibandingkan dengan melakukan translasi dulu baru dilatasi. Hal ini karena translasi setelah dilatasi akan menggeser grafik yang sudah diregangkan, sedangkan translasi sebelum dilatasi akan membuat titik yang digeser ikut diregangkan oleh faktor k.
