Sederhanakan √(21‑4√20) menjadi bentuk paling sederhana—kalimat ini mungkin langsung memunculkan bayangan soal matematika yang rumit. Tapi jangan khawatir, di balik tampilannya yang seperti teka-teki, sebenarnya ada pola rapi yang bisa kita urai dengan pendekatan yang tepat. Mari kita telusuri bersama, karena menyederhanakan bentuk akar ganda semacam ini bukanlah sihir, melainkan aplikasi logis dari aljabar dasar yang elegan.
Bentuk seperti √(21‑4√20) dikenal sebagai nested radical atau akar bersarang, di mana terdapat operasi akar di dalam akar. Tujuan penyederhanaannya adalah mengungkap bentuk yang lebih bersih, seringkali dalam format √p – √q, sehingga lebih mudah untuk dihitung atau digunakan dalam operasi lanjutan. Prosesnya melibatkan identifikasi pola dan pencarian dua bilangan yang hubungannya spesifik, yang akan kita bahas secara mendetail.
Memahami Bentuk Akar Sederhana dan Akar Ganda
Dalam matematika, terutama aljabar, kita sering berjumpa dengan ekspresi yang mengandung akar kuadrat. Bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi beberapa kriteria: radikan (bilangan di dalam akar) tidak memiliki faktor kuadrat sempurna selain satu, tidak ada pecahan di dalam radikan, dan tidak ada akar di dalam penyebut pecahan. Tujuan penyederhanaan adalah untuk membuat ekspresi lebih mudah dibaca, dihitung, dan dioperasikan.
Sebuah tantangan menarik muncul ketika kita menemui bentuk akar ganda, yaitu akar kuadrat yang di dalamnya mengandung akar kuadrat lain, seperti √(a ± b√c). Bentuk ini terlihat kompleks, namun seringkali bisa diurai menjadi penjumlahan atau pengurangan dua akar sederhana, yaitu √p ± √q. Tidak semua bentuk akar ganda bisa disederhanakan seperti ini. Syarat utamanya adalah ekspresi a²
-b²c harus merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Contoh Bentuk Akar yang Dapat dan Tidak Dapat Disederhanakan, Sederhanakan √(21‑4√20) menjadi bentuk paling sederhana
Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, mari kita lihat beberapa contoh konkret. Tabel berikut menunjukkan perbandingan beberapa bentuk akar ganda, status penyederhanaannya, alasan di balik status tersebut, dan bentuk sederhana yang mungkin didapat.
| Bentuk Akar | Status | Alasan | Bentuk Sederhana |
|---|---|---|---|
| √(7 – 4√3) | Dapat | 7²
|
2 – √3 |
| √(10 + 2√21) | Dapat | 10²
|
√7 + √3 |
| √(5 – √13) | Tidak | Koefisien b bukan bilangan genap, sehingga pola √(a – 2√b) tidak langsung berlaku. Periksa: 5²
|
Tidak dapat diubah ke √p – √q |
| √(8 + 4√3) | Dapat | Dapat ditulis sebagai √(8 + 2√12). 8²
|
√6 + √2 |
Metode Sistematis Menyederhanakan √(a – b√c): Sederhanakan √(21‑4√20) Menjadi Bentuk Paling Sederhana
Fokus kita sekarang adalah pada bentuk √(a – b√c) dengan tujuan menyatakannya sebagai √x – √y, di mana x > y. Langkah-langkahnya bersifat algoritmis dan dapat diandalkan jika kondisi terpenuhi. Kunci dari metode ini adalah menemukan dua bilangan, sebut saja x dan y, yang memenuhi dua persamaan dasar.
Pertama, kita asumsikan bahwa √(a – b√c) = √x – √y. Ketika kedua ruas dikuadratkan, kita akan mendapatkan a – b√c = x + y – 2√(xy). Dari persamaan ini, kita dapat menyamakan bagian yang tidak mengandung akar dan bagian yang mengandung akar. Ini menghasilkan sistem persamaan: x + y = a dan 2√(xy) = b√c, atau dengan kata lain, 4xy = b²c.
Pola umum untuk bentuk √(a – 2√b) adalah: Cari dua bilangan yang jumlahnya a dan hasil kalinya b. Bentuk sederhananya adalah √(bilangan besar)
√(bilangan kecil).
Prosedur untuk menyelesaikan √(21‑4√20) menjadi √x – √y dapat dirangkum sebagai berikut:
- Identifikasi nilai a, b, dan c dari bentuk √(a – b√c).
- Sederhanakan koefisien dan radikan di dalam akar ganda jika memungkinkan.
- Cari dua bilangan (x dan y) yang jumlahnya sama dengan a dan hasil kali dari x dan y sama dengan (b²c)/4.
- Tulis solusi sebagai √x – √y, dengan x > y.
- Verifikasi hasil dengan mengkuadratkan √x – √y untuk memastikan kembali ke bentuk awal.
Analisis Langkah demi Langkah untuk √(21‑4√20)
Mari kita terapkan metode tersebut secara detail pada soal kita. Langkah pertama adalah observasi. Kita lihat bahwa √20 di dalam akar ganda bisa disederhanakan karena 20 memiliki faktor kuadrat sempurna 4. Jadi, √20 = √(4*5) = 2√5. Ekspresi awal kita berubah menjadi √(21 – 4
– (2√5)) = √(21 – 8√5).
Sekarang kita memiliki bentuk yang lebih bersih: √(a – b√c) = √(21 – 8√5), dengan a=21, b=8, dan c=
5. Kita asumsikan bentuk sederhananya adalah √x – √y. Berdasarkan sistem persamaan yang kita bahas sebelumnya, kita punya:
x + y = 21
4xy = b²c = 8²
– 5 = 64
– 5 = 320, sehingga xy = 80.
Kita perlu mencari dua bilangan yang jumlahnya 21 dan hasil kalinya 80. Pasangan faktor dari 80 adalah (1,80), (2,40), (4,20), (5,16), (8,10). Pasangan yang jumlahnya 21 adalah 5 dan 16 (karena 5+16=21 dan 5*16=80). Jadi, x=16 dan y=5, atau sebaliknya. Karena bentuknya √x – √y dan kita ingin hasilnya positif, kita ambil x > y, sehingga √16 – √5 = 4 – √5.
Proses ini seperti membuka sebuah kotak yang bertumpuk. Bayangkan akar ganda √(21‑8√5) sebagai sebuah paket tertutup. Dengan mengkuadratkan asumsi √x – √y, kita menemukan “kode” pembukanya: jumlah dan hasil kali dari x dan y. Setelah kode ditemukan (21 dan 80), kita mencari kombinasi angka yang tepat. Ketika ditemukan (16 dan 5), paket itu terbuka menjadi dua akar terpisah yang lebih sederhana, yaitu 4 dan √5.
Verifikasi dan Bentuk Alternatif
Hasil penyederhanaan harus selalu diverifikasi. Cara termudah adalah dengan mengkuadratkan kembali bentuk sederhana yang kita dapatkan, yaitu 4 – √5.
(4 – √5)² = 4² + (√5)²
-2
– 4
– √5 = 16 + 5 – 8√5 = 21 – 8√
5. Tepat sama dengan bentuk radikan setelah kita menyederhanakan √20 menjadi 2√
5. Jadi, verifikasi berhasil: √(21 – 8√5) = 4 – √5.
Beberapa mungkin bertanya, mengapa bukan √5 – 4? Hasil kuadrat dari (√5 – 4) juga 21 – 8√5, namun nilai numerik √5 – 4 adalah negatif (sekitar -1.764), sedangkan √(21‑4√20) bernilai positif (sekitar 2.236). Dalam matematika, simbol √ menunjukkan akar kuadrat utama (non-negatif). Oleh karena itu, kita harus memilih bentuk yang juga bernilai non-negatif, yaitu 4 – √5 (≈ 2.236).
Berikut adalah perbandingan beberapa ekspresi ekuivalen dan alasan mengapa 4 – √5 dianggap paling sederhana.
| Bentuk Ekuivalen | Tingkat Kesederhanaan | Alasan |
|---|---|---|
| 4 – √5 | Paling Sederhana | Bentuk tanpa akar ganda, radikan √5 sudah prima, dan ekspresi bernilai positif. |
| √5 – 4 | Tidak Sederhana | Meski ekuivalen secara kuadrat, nilai ekspresi ini negatif, tidak sesuai dengan nilai utama akar kuadrat awal. |
| √(21 – 8√5) | Kompleks | Masih mengandung akar ganda, yang menyulitkan perhitungan numerik atau aljabar lebih lanjut. |
| √(20)
1 |
Kurang Sederhana | Meski benar bahwa (√20 – 1)² = 21 – 2√20 = 21 – 4√5? Perhitungan
(√20 -1)² = 20+1-2√20=21-4√5. Ini berbeda dengan 21-8√5. Jadi, ini bukan bentuk ekuivalen. |
Latihan dan Penerapan Konsep
Untuk menguasai teknik ini, latihan adalah kunci. Cobalah menyelesaikan beberapa soal dengan tingkat kerumitan berbeda.
Soal-soal berikut dirancang untuk mengasah kemampuan mengenali pola dan menerapkan langkah-langkah sistematis yang telah dipelajari.
- Sederhanakan bentuk √(14 – 6√5).
- Sederhanakan bentuk √(17 + 12√2).
- Tentukan apakah bentuk √(6 – √11) dapat disederhanakan menjadi bentuk √a – √b. Jelaskan alasannya.
Mari kita bahas panduan penyelesaian untuk soal nomor
1. Pertama, kita tulis ulang menjadi bentuk standar: 6√5 = 2
– 3√5. Namun, perhatikan bahwa 3√5 = √(9*5)=√45. Bentuknya menjadi √(14 – 2√45). Sekarang kita cari dua bilangan dengan jumlah 14 dan hasil kali 45.
Pasangan yang tepat adalah 9 dan 5. Karena bentuknya pengurangan, hasil sederhananya adalah √9 – √5 = 3 – √5.
Panduan Soal 1: √(14 – 6√5) = √(14 – 2√(9*5)) = √(14 – 2√45). Cari bilangan berjumlah 14 dan berhasil kali
- Ditemukan 9 dan
- Maka bentuk sederhananya adalah √9 – √5 = 3 – √
5. Verifikasi
(3-√5)² = 9+5-6√5=14-6√5.
Beberapa kesalahan umum sering terjadi. Kesalahan pertama adalah lupa menyederhanakan radikan di dalam akar ganda terlebih dahulu (seperti √20 menjadi 2√5). Kesalahan kedua adalah salah dalam menyusun sistem persamaan, khususnya pada bagian 4xy = b²c. Kesalahan ketiga adalah memilih urutan yang salah untuk √x dan √y sehingga menghasilkan nilai akhir yang negatif.
- Tip dan trik untuk mengenali pola: Selalu periksa apakah koefisien b dari b√c adalah bilangan genap. Jika ya, bentuk tersebut sangat mungkin mengikuti pola √(a – 2√b).
- Setelah menemukan x dan y, pastikan untuk menguji mana yang lebih besar agar hasil pengurangan akarnya positif.
- Latihlah dengan memfaktorkan bilangan kuadrat sempurna dari radikan dalam akar ganda; ini sering membuka jalan untuk melihat pola.
- Verifikasi adalah langkah wajib yang tidak boleh dilewatkan untuk memastikan tidak ada kesalahan aljabar.
Ringkasan Penutup
Dengan demikian, perjalanan kita menyederhanakan √(21‑4√20) telah berakhir pada hasil yang rapi: √20 – 1 atau 2√5 – 1. Proses ini lebih dari sekadar manipulasi angka; ini adalah latihan dalam mengenali pola, berpikir sistematis, dan mengapresiasi struktur matematika yang tersembunyi. Kemampuan ini tidak hanya berguna untuk menyelesaikan satu soal, tetapi membuka pintu untuk memahami berbagai persoalan aljabar yang lebih kompleks.
Jadi, lain kali bertemu bentuk akar yang tampak menakutkan, ingatlah bahwa seringkali ada bentuk yang lebih sederhana yang menunggu untuk ditemukan.
Area Tanya Jawab
Apakah semua bentuk √(a ± b√c) bisa disederhanakan?
Tidak. Bentuk tersebut dapat disederhanakan menjadi bentuk √p ± √q hanya jika ekspresi a²
-b²c adalah kuadrat sempurna. Jika tidak, bentuk tersebut sudah merupakan bentuk yang paling sederhana.
Mengapa hasil akhirnya √20 – 1 dan bukan 1 – √20?
Karena √20 (≈4.47) lebih besar dari 1, maka √20 – 1 bernilai positif. Bentuk 1 – √20 akan bernilai negatif, sedangkan nilai dari √(21‑4√20) asli adalah positif. Kita harus memilih susunan yang mempertahankan tanda hasil yang benar.
Bagaimana jika di dalam akar ada tanda plus, seperti √(21 + 4√20)?
Metodenya serupa. Untuk bentuk √(a + b√c), kita cari dua bilangan yang jumlahnya a dan hasil kalinya (b²c)/4. Hasil penyederhanaannya akan berbentuk √p + √q. Untuk contoh tersebut, hasilnya adalah √20 + 1.
Apakah penyederhanaan ini berguna dalam aplikasi nyata?
Ya, sangat berguna. Bentuk sederhana seperti √p ± √q sering muncul dalam penyelesaian persamaan kuadrat, rumus trigonometri, perhitungan geometri (seperti diagonal atau jarak tertentu), dan menyederhanakan hasil integral atau limit dalam kalkulus.
