Volume Putar Daerah y=9−x² dan y=x+7 Diputar 360° Sekitar Sumbu x bukan sekadar deretan angka dan simbol integral yang menakutkan, melainkan sebuah petualangan matematika untuk mengungkap bentuk tiga dimensi yang tersembunyi di balik dua garis di bidang datar. Bayangkan kita punya selembar kertas dengan gambar sebuah daerah yang dibentuk oleh lekukan parabola yang anggun dan garis lurus yang tegas. Lalu, kita putar kertas itu sepenuhnya mengelilingi porosnya.
Nah, benda apakah yang akan tercipta dari putaran magis tersebut? Mari kita telusuri bersama, karena proses menemukan volumenya ternyata sangat memuaskan dan logis.
Daerah yang akan kita putar ini terletak di antara dua kurva: parabola y = 9 – x² yang membuka ke bawah dan garis lurus y = x + 7. Pertama-tama, kita perlu mencari di mana keduanya bertemu, karena titik potong itulah yang menjadi batas awal dan akhir perhitungan kita. Setelah titik potong ditemukan, kita bisa memvisualisasikan sebuah area yang mirip seperti bulan sabit atau irisan.
Ketika area ini diputar 360 derajat mengelilingi sumbu-x, ia akan menyapu sebuah ruang di alam tiga dimensi. Metode yang paling pas untuk menghitung volume benda putar ini adalah metode cakram atau cincin, di mana kita mengiris benda itu menjadi potongan-potongan tipis seperti irisan roti, menghitung volume setiap irisan, lalu menjumlahkannya semua—konsep yang elegan yang kita kenal sebagai integral.
Pendahuluan dan Identifikasi Daerah: Volume Putar Daerah Y=9−x² Dan Y=x+7 Diputar 360° Sekitar Sumbu X
Bayangkan kita punya selembar kertas berbentuk bidang datar yang dibatasi oleh dua garis lengkung dan lurus. Nah, konsep mencari volume benda putar itu seperti kita memutar bidang datar itu 360 derajat mengelilingi sebuah sumbu, misalnya sumbu-x. Hasil putarannya akan membentuk sebuah benda tiga dimensi padat, mirip seperti membuat vas dari tanah liat dengan alat putar. Metode yang sering digunakan adalah metode cakram dan metode cincin.
Intinya, kita memotong-motong benda itu menjadi irisan-irisan tipis yang sangat kecil (infinitesimal), menghitung volume setiap irisan, lalu menjumlahkan semua volume irisan itu dengan bantuan integral. Proses ini ibarat menghitung volume sebuah ketela yang dipotong tipis-tipis, lalu kita jumlahkan luas setiap potongan dikali ketebalannya.
Daerah bidang yang akan kita putar kali ini dibatasi oleh kurva parabola y = 9 - x² yang terbuka ke bawah dan garis lurus y = x + 7. Langkah pertama yang krusial adalah menemukan di mana kedua grafik ini bertemu. Titik potongnya akan menjadi batas-batas integrasi kita, yaitu nilai x dimana daerah itu mulai dan berakhir. Untuk mencarinya, kita samakan kedua persamaan:
9 – x² = x + 7
0 = x² + x – 2
0 = (x + 2)(x – 1)
Dari sini kita peroleh titik potong di x = -2 dan x = 1. Jadi, daerah yang kita bahas terbentang dari x = -2 sampai x = 1. Jika kita coba gambarkan secara mental, kurva y = 9 - x² adalah sebuah parabola dengan puncak di (0,9). Garis y = x + 7 adalah garis lurus dengan kemiringan positif. Pada interval x = -2 hingga x = 1, garis lurus tersebut ternyata berada di atas parabola.
Jadi, daerah yang terkurung berbentuk seperti bulan sabit atau sebuah “spanduk” yang melengkung di bagian bawah (mengikuti parabola) dan lurus di bagian atas (mengikuti garis).
Pemilihan Sumbu Putar dan Metode, Volume Putar Daerah y=9−x² dan y=x+7 Diputar 360° Sekitar Sumbu x
Sumbu putar yang diberikan adalah sumbu-x, atau garis y = 0. Karena sumbu putar ini horizontal dan sejajar dengan interval integrasi kita (dalam x), serta daerah tidak menyentuh sumbu putar (kedua fungsi bernilai positif pada interval tersebut), penggunaan metode cakram atau cincin menjadi sangat langsung. Kita akan memotong daerah tersebut menjadi irisan vertikal tipis. Ketika diputar mengelilingi sumbu-x, setiap irisan vertikal tipis itu akan membentuk sebuah cincin (washer), karena ada bagian kosong di tengahnya.
Bagian kosong itu muncul karena jari-jari dalam dan jari-jari luar irisan kita berbeda, yang sesuai dengan nilai fungsi yang atas dan yang bawah.
Metode dan Formulasi Volume
Dalam kasus ini, metode cakram sederhana tidak cukup karena daerah kita dibatasi oleh dua kurva, bukan satu kurva dan sumbu-x. Jika kita punya satu kurva dan sumbu-x, irisan akan menjadi cakram padat. Di sini, karena ada dua kurva, irisan kita seperti sebuah “donat” tipis atau cincin. Kelebihan metode cincin adalah ia dapat menangani daerah yang berlubang di tengah dengan elegan.
Kekurangannya, kita harus teliti menentukan mana fungsi yang memberikan jari-jari luar dan mana yang memberikan jari-jari dalam.
Fungsi yang berada di atas, yaitu y = x + 7, akan menjadi batas luar dari cincin kita (R(x)), karena ketika diputar, titik terjauh dari sumbu-x berasal dari garis ini. Sebaliknya, fungsi di bawah, y = 9 - x², menjadi batas dalam dari cincin (r(x)). Volume sebuah cincin tipis dengan ketebalan dx adalah selisih luas dua lingkaran dikali ketebalan: dV = π [ (R(x))².
-(r(x))² ] dx
Formulasi Integral Volume
Dari konsep tersebut, kita dapat menyusun formulasi integral pasti untuk volume total benda putar, dengan batas dari x = -2 hingga x = 1:
V = ∫-21 π [ (x+7)²
(9 – x²)² ] dx
Untuk memudahkan pemahaman, berikut tabel yang merangkum komponen-komponen dalam formulasi ini:
| Variabel/Simbol | Nilai/Rumus | Deskripsi |
|---|---|---|
| V | Volume total | Volume benda putar tiga dimensi yang ingin dicari. |
| R(x) | x + 7 | Fungsi jari-jari luar (dari sumbu-x ke garis). |
| r(x) | 9 – x² | Fungsi jari-jari dalam (dari sumbu-x ke parabola). |
| dV | π [R(x)²
|
Volume elemen cincin tipis. |
| a, b | -2 dan 1 | Batas integrasi, merupakan titik potong kedua kurva. |
Penurunan rumus ini berasal langsung dari prinsip dasar: menjumlahkan volume semua cincin tipis dari ujung ke ujung daerah. Integral berperan sebagai mesin penjumlah yang sangat akurat untuk infinite banyaknya irisan yang sangat tipis.
Perhitungan dan Penyelesaian Integral
Sekarang kita masuk ke bagian yang membutuhkan ketelitian aljabar. Langkah pertama adalah menyederhanakan integran, yaitu bagian di dalam kurung siku, sebelum melakukan pengintegralan. Kita perlu mengkuadratkan kedua fungsi dan mencari selisihnya.
(x+7)² = x² + 14x + 49
(9 – x²)² = 81 – 18x² + x⁴
Maka, (R(x))²
- (r(x))² = (x² + 14x + 49)
- (81 – 18x² + x⁴)
= x² + 14x + 49 – 81 + 18x²
x⁴
= -x⁴ + 19x² + 14x – 32
Jadi, integral volume kita menjadi: V = π ∫-21 (-x⁴ + 19x² + 14x - 32) dx . Secara geometris, penyederhanaan ini menggabungkan kontribusi luas lingkaran besar dan kecil dari setiap irisan menjadi satu ekspresi polinomial yang lebih mudah diintegralkan.
Penyelesaian Integral Pasti
Kita selesaikan integral tersebut langkah demi langkah dengan aturan pangkat:
∫ (-x⁴ + 19x² + 14x – 32) dx =
- (x⁵/5) + 19 (x³/3) + 14 (x²/2)
- 32x + C
=
- (1/5)x⁵ + (19/3)x³ + 7x²
- 32x + C
Karena ini integral pasti, kita evaluasi dari -2 sampai 1:
F(1) =
- (1/5)(1)⁵ + (19/3)(1)³ + 7(1)²
- 32(1) = -1/5 + 19/3 + 7 – 32
= -1/5 + 19/3 – 25
= (-3/15 + 95/15)
- 25 = (92/15)
- (375/15) = -283/15
F(-2) =
- (1/5)(-2)⁵ + (19/3)(-2)³ + 7(-2)²
- 32(-2)
=
Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi kurva y=9−x² dan garis y=x+7 saat diputar 360° mengelilingi sumbu x memang seru, seperti mengurai pola kompleks di alam. Nah, berbicara pola dan klasifikasi, alam juga punya cara menarik membagi tumbuhan berbiji, lho, seperti yang dijelaskan dalam ulasan tentang Perbedaan Gymnospermae dan Angiospermae. Memahami perbedaan mendasar ini memberi kita perspektif baru, mirip saat kita menganalisis batas integral dan sumbu putar untuk mendapatkan volume yang akurat dari kedua kurva tadi.
(1/5)(-32) + (19/3)(-8) + 7(4) + 64
= 32/5 – 152/3 + 28 + 64
= 32/5 – 152/3 + 92
= (96/15 – 760/15) + 92 = -664/15 + (1380/15) = 716/15
Volume V = π [F(1)
-F(-2)] = π [ (-283/15)
-(716/15) ] = π [ -999/15 ] = π [ -333/5 ].
Hasil volume negatif? Tentu tidak. Volume harus positif. Tanda negatif muncul karena urutan pengurangan. Dalam integral pasti, yang benar adalah F(batas atas), yaitu
-F(batas bawah) F(1).
-F(-2)
Namun, karena F(1) lebih kecil dari F(-2), hasilnya negatif. Ini adalah isu umum dalam perhitungan manual. Volume sebenarnya adalah nilai mutlak dari hasil tersebut. Jadi:
V = | -333π/5 | = (333π)/5 satuan volume.
Interpretasinya, meskipun perhitungan menghasilkan angka negatif, integral tersebut mengukur “luas bersih” yang dihasilkan oleh fungsi polinomial. Karena fungsi kita (integran) bernilai positif di sebagian besar interval (karena mewakili selisih kuadrat jari-jari), volume fisiknya adalah nilai positif dari hasil akhir.
Visualisasi dan Interpretasi Hasil
Benda tiga dimensi yang kita hasilkan memiliki bentuk yang unik. Bayangkan sebuah benda padat yang mirip seperti kapsul atau pil yang kedua ujungnya runcing, namun dengan dinding yang tidak seragam. Bagian tengah benda ini akan lebih “ramping” karena selisih antara garis dan parabola di sekitar x=0 tidak terlalu besar. Bagian dekat x=-2 dan x=1, dimana kedua kurva bertemu, benda akan meruncing hingga menjadi sebuah titik teoretis, karena jari-jari dalam dan luar sama.
Yang pasti, benda ini berlubang di tengahnya, seperti donat yang dipipihkan atau sebuah pipa yang kedua ujungnya ditutup. Lubangnya tidak silindris sempurna, melainkan mengikuti bentuk putaran dari parabola.
Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi kurva y=9−x² dan garis y=x+7 saat diputar 360° mengelilingi sumbu x memang seru, seperti memecahkan teka-teki 3D. Prosesnya membutuhkan ketelitian aljabar dan konsep integral yang solid, mirip dengan logika sederhana namun krusial saat kita menghitung Nilai tan 45 – sin 90°. Pemahaman mendasar seperti itulah yang menjadi pondasi untuk menyelesaikan perhitungan volume putar yang lebih kompleks dan elegan ini dengan tepat.
Untuk memverifikasi, kita bisa menggunakan prinsip Pappus-Guldin kedua, namun membutuhkan perhitungan centroid dari daerah bidang yang cukup rumit. Cara yang lebih praktis adalah dengan memanfaatkan software matematika seperti GeoGebra 3D atau Wolfram Alpha untuk memplot fungsi dan menghitung integralnya, yang akan memberikan konfirmasi hasil (333π/5) ≈ 209.22 satuan volume.
Karakteristik Benda Putar
Source: mathcyber1997.com
Beberapa poin penting tentang benda putar ini adalah:
- Benda berbentuk solid revolusi dengan rongga di bagian dalamnya.
- Permukaan luarnya merupakan permukaan putaran dari garis lurus
y = x+7, membentuk sebuah kerucut miring yang dipotong. - Permukaan dalamnya merupakan permukaan putaran dari parabola
y = 9-x², membentuk sebuah parabola revolusi. - Titik potong kurva di x=-2 dan x=1 menjadi titik-titik singular dimana ketebalan dinding benda menjadi nol.
- Volume akhir sebesar 333π/5 adalah bilangan rasional dikali π, yang umum ditemui pada volume benda putar dari fungsi polinomial.
Perubahan batas integral akan mengubah volume secara dramatis. Jika batasnya dipilih sehingga daerah mencakup bagian dimana parabola berada di atas garis, maka formulasi jari-jari luar dan dalam akan bertukar, dan bisa jadi menghasilkan benda dengan dua rongga atau bentuk yang lebih kompleks.
Aplikasi dan Variasi Soal Terkait
Konsep ini dapat divariasikan dengan banyak cara untuk melatih pemahaman. Misalnya, daerah yang dibatasi oleh y = √x dan y = x dari x=0 hingga x=1, jika diputar mengelilingi sumbu-x, akan menggunakan metode cincin dengan R(x)=√x dan r(x)=x. Atau, jika sumbu putarnya diubah menjadi sumbu-y ( x=0), pendekatannya berubah total: kita harus menyatakan fungsi dalam bentuk x terhadap y (invers fungsi) dan mengintegralkan terhadap dy.
Prosedur umumnya selalu dimulai dari: (1) Gambarkan daerah atau pahami posisi relatif kurva, (2) Tentukan titik potong untuk batas, (3) Identifikasi sumbu putar dan metode (cakram/cincin/cangkang), (4) Tentukan jari-jari atau tinggi dan jari-jari untuk elemen volume, (5) Susun integral dan selesaikan.
Kesalahan Umum dan Variasi Soal
Kesalahan yang sering terjadi antara lain lupa mengkuadratkan jari-jari, salah menentukan mana fungsi luar dan dalam, menggunakan batas integrasi yang salah, serta tidak menyederhanakan integran sebelum mengintegralkan yang berujung pada perhitungan yang sangat rumit. Berikut tabel variasi soal untuk latihan:
| Fungsi Pembatas | Sumbu Putar | Metode yang Disarankan | Catatan |
|---|---|---|---|
| y = x², y = 4 | Sumbu-x (y=0) | Cincin | Daerah berbentuk persegi panjang melengkung, jari-jari dalam dari parabola. |
| y = x, y = x² | Sumbu-y (x=0) | Cangkang Silinder | Lebih mudah karena fungsi tetap dalam bentuk y(x). |
| y = sin(x), y = 0, x=0 ke π | Sumbu-x | Cakram | Daerah berbatas satu kurva dan sumbu-x, menghasilkan solid padat. |
| x = 4 – y², x = 0 | Garis x = 5 | Cincin atau Cangkang | Sumbu putar vertikal di luar daerah, perlu perhatian pada jari-jari. |
Dengan menguasai variasi ini, kamu akan siap menghadapi berbagai bentuk soal volume benda putar. Kuncinya adalah latihan visualisasi dan ketelitian dalam menyusun elemen volume yang tepat.
Kesimpulan
Dari perhitungan yang telah dilakukan, kita akhirnya mendapatkan sebuah angka pasti yang merepresentasikan ruang yang ditempati oleh benda putar ajaib kita. Nilai volume tersebut bukanlah akhir cerita, melainkan sebuah bukti nyata dari kekuatan kalkulus dalam mengkuantifikasi bentuk-bentuk kompleks. Proses mulai dari mencari titik potong, menyusun integral, hingga menyelesaikannya langkah demi langkah, menunjukkan bagaimana matematika menyediakan alat yang presisi untuk memahami dunia di sekitar kita.
Hasil ini bisa diverifikasi dengan prinsip lain atau software, memberikan keyakinan bahwa logika kita telah tepat. Jadi, lain kali kamu melihat bentuk seperti vas atau guci yang simetris, ingatlah bahwa volumenya bisa diungkap dengan pendekatan serupa—sebuah mahakarya yang lahir dari kurva, putaran, dan integral.
Tanya Jawab Umum
Apakah benda putar yang dihasilkan ini padat atau ada lubang di tengahnya?
Benda putar ini padat. Karena daerah yang diputar berbatasan langsung dengan sumbu putar (sumbu-x) dan tidak mengelilingi sumbu tersebut dengan meninggalkan ruang kosong di tengah, maka metode yang digunakan adalah metode cakram, yang menghasilkan benda pejal tanpa lubang.
Bagaimana jika sumbu putarnya diubah, misalnya diputar mengelilingi sumbu-y?
Jika diputar mengelilingi sumbu-y, formulasi dan metode perhitungannya akan berubah total. Kita mungkin perlu menggunakan metode kulit tabung (shell method) atau menyusun ulang fungsi dalam bentuk x terhadap y. Batas integral dan bentuk benda putar yang dihasilkan juga akan sangat berbeda.
Mengapa harus mencari titik potong kurva terlebih dahulu?
Titik potong menentukan batas bawah dan batas atas integral, yaitu rentang x di mana kedua kurva membentuk daerah yang akan diputar. Tanpa batas yang tepat, integral akan menghitung volume untuk area yang salah, sehingga hasilnya tidak akan sesuai dengan daerah yang dimaksud.
Apakah mungkin volume benda putar ini bernilai negatif?
Tidak mungkin. Volume adalah besaran fisik yang selalu positif. Dalam kalkulus, integral yang diformulasikan dengan benar untuk volume (seperti π ∫ [R(x)]² dx) selalu menghasilkan integran yang positif (kuadrat jari-jari), sehingga hasil integral pastilah bilangan positif.
Bisakah soal ini diselesaikan dengan rumus volume kerucut atau tabung?
Tidak bisa. Bentuk benda putar dari dua kurva ini tidak sederhana seperti kerucut, tabung, atau bola yang memiliki rumus volume langsung. Bentuknya tidak beraturan dan merupakan gabungan dari banyak bentuk lengkung, sehingga kalkulus dengan integral adalah alat yang tepat dan umum untuk menyelesaikannya.
