Diketahui a dan b merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^2 – 7x + 10 = 0. Nilai a^2 + b^2 – ab =? Nggak perlu ribet-ribet nyari nilai a dan b-nya dulu, guys. Soal kayak gini tuh sebenernya punya pola rahasia yang bikin penyelesaiannya jadi lebih cepat dan elegan. Kita cuma perlu main-main dengan hubungan antara akar-akar dan koefisien persamaannya.
Percaya deh, setelah tahu triknya, kamu bakal ngerasa, “Oh, ternyata segampang ini!”
Persamaan kuadrat itu kayak puzzle aljabar yang seru. Dari bentuk umumnya, kita bisa melacak jejak si akar-akar a dan b tanpa harus menangkap mereka satu per satu. Soal ini mengajak kita untuk berkenalan dengan ekspresi simetris, di mana posisi a dan b bisa ditukar tanpa mengubah nilai akhirnya. Mari kita urai step by step, dari mengenali persamaan, merumuskan hubungan, sampai pada manipulasi aljabar yang cerdas untuk menemukan jawabannya dengan tepat.
Memahami Persamaan Kuadrat dan Akar-akarnya
Sebelum kita menyelam ke dalam soal yang spesifik, mari kita sepakati dulu dasar-dasarnya. Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya selalu bisa ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah bilangan real dan a tidak boleh nol. Keindahan dari persamaan ini terletak pada hubungan yang sangat teratur antara koefisien a, b, c dengan kedua akarnya, sebut saja a dan b (di sini a sebagai akar, bedakan dengan koefisien a).
Hubungan ini adalah kunci untuk menyelesaikan banyak soal tanpa harus mencari nilai akarnya satu per satu.
Dalam kasus kita, persamaannya adalah x²
-7x + 10 =
0. Dengan membandingkan ke bentuk umum, kita dengan mudah mengidentifikasi: koefisien a = 1, koefisien b = -7, dan konstanta c = 10. Untuk menemukan akar-akarnya, metode pemfaktoran adalah yang paling intuitif. Kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya -7 (nilai b) dan jika dikalikan hasilnya 10 (nilai c).
Dua bilangan itu adalah -2 dan -5. Jadi, pemfaktorannya menjadi (x – 2)(x – 5) = 0, yang memberikan akar-akar a = 2 dan b = 5 (atau sebaliknya, karena sifat simetris).
Perbandingan Metode Mencari Akar, Diketahui a dan b merupakan akar-akar persamaan kuadrat x^2 – 7x + 10 = 0. Nilai a^2 + b^2 – ab =
Selain pemfaktoran, ada metode lain yang bisa digunakan. Masing-masing memiliki kelebihan dan logika tersendiri. Berikut adalah perbandingan ketiga metode untuk persamaan x²
-7x + 10 = 0.
| Metode | Konsep Dasar | Langkah untuk x² – 7x + 10 = 0 | Akar yang Diperoleh |
|---|---|---|---|
| Pemfaktoran | Mencari dua bilangan yang memenuhi jumlah dan hasil kali tertentu. | Cari bilangan yang jumlahnya -7 dan hasil kali Didapat -2 dan –
5. Faktorkan (x – 2)(x – 5)=0. |
x = 2 atau x = 5 |
| Melengkapkan Kuadrat | Mengubah bentuk menjadi kuadrat sempurna (x – p)² = q. | Pindah konstanta: x²7x = –
|
x = (7/2) ± (3/2) = 5 atau 2 |
| Rumus ABC (Quadratic Formula) | Menggunakan rumus langsung: x = [-b ± √(b²
|
Substitusi a=1, b=-7, c=10. x = [7 ± √(49 – 40)] / 2 = [7 ± 3] / 2. | x = 10/2 = 5 atau x = 4/2 = 2 |
Hubungan Ajaib antara Akar dan Koefisien: Diketahui A Dan B Merupakan Akar-akar Persamaan Kuadrat X^2 – 7x + 10 = 0. Nilai A^2 + B^2 – Ab =
Ini adalah bagian yang paling powerful dalam aljabar persamaan kuadrat. Daripada menghitung akarnya secara eksplisit, kita bisa memanfaatkan hubungan langsung dari koefisiennya. Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar a dan b, berlaku dua hubungan fundamental berikut:
Jumlah Akar: a + b = -b/a
Hasil Kali Akar: ab = c/a
Perhatikan bahwa ‘b’ di ruas kanan adalah koefisien x, sedangkan ‘a’ di ruas kiri adalah akar. Ini memang agak membingungkan, tapi konteks biasanya menjelaskan. Untuk persamaan kita, x²
-7x + 10 = 0 (dengan a=1, b=-7, c=10), maka:
- Jumlah akar, a + b = -(-7)/1 = 7.
- Hasil kali akar, a
– b = 10/1 = 10.
Mari kita verifikasi dengan akar yang sudah kita ketahui, yaitu 2 dan 5. Jelas bahwa 2 + 5 = 7 dan 2
– 5 = 10. Cocok! Konsep ini menjadi senjata utama ketika kita diminta menghitung ekspresi yang melibatkan akar-akar tanpa harus tahu persis berapa nilainya.
Seni Manipulasi Aljabar Ekspresi Simetris
Sekarang kita masuk ke inti masalah: bagaimana menghitung a² + b²
-ab jika kita hanya tahu a + b dan a
– b? Jawabannya adalah dengan mengutak-atik bentuk aljabar. Ekspresi seperti a² + b²
-ab disebut simetris karena nilainya tidak berubah jika kita menukar posisi a dan b. Ekspresi simetris selalu bisa diubah menjadi bentuk yang hanya mengandung (a + b) dan (a
– b).
Mari kita turunkan rumusnya. Kita tahu identitas a² + b² = (a + b)²
-2ab. Itu adalah modal awal. Lalu, ekspresi kita adalah a² + b²
-ab. Substitusikan identitas tadi:
a² + b²
- ab = [(a + b)²
- 2ab]
- ab = (a + b)²
- 3ab
Dan voila! Kita sudah mendapatkan rumus yang diinginkan. Dengan cara serupa, kita bisa menurunkan bentuk-bentuk lain. Misalnya:
- a² + b² = (a + b)²
-2ab - a³ + b³ = (a + b)³
-3ab(a + b) - 1/a + 1/b = (a + b) / (ab)
Kemampuan memanipulasi ini menghemat waktu dan tenaga, terutama jika akar-akarnya berupa bilangan pecahan atau irasional yang sulit dihitung langsung.
Menghitung Nilai a² + b²
ab dengan Cerdas
ab dengan Cerdas
Sekarang kita aplikasikan semua teori itu. Kita punya persamaan x²
-7x + 10 = 0 dengan akar-akar a dan b. Dari hubungan akar-koefisien, kita peroleh a + b = 7 dan ab = 10. Kita juga sudah punya rumus a² + b²
-ab = (a + b)²
-3ab.
Penyelesaiannya menjadi sangat singkat dan elegan:
a² + b²
- ab = (7)²
- 3*(10) = 49 – 30 = 19.
Jadi, nilai yang kita cari adalah 19. Sebagai pembanding, mari kita hitung dengan cara “manual”, yaitu mencari dulu nilai a dan b, lalu mensubstitusikannya. Berikut perbandingan kedua metode tersebut.
| Aspect | Metode Menggunakan Hubungan Akar | Metode Menghitung Langsung Akar |
|---|---|---|
| Langkah 1 | Tentukan a + b = -(-7)/1 = 7 dan a*b = 10/1 = 10. | Faktorkan persamaan: (x-2)(x-5)=0. |
| Langkah 2 | Gunakan rumus: a²+b²-ab = (a+b)² – 3ab. | Tentukan akar-akar: a=2, b=5 (atau sebaliknya). |
| Langkah 3 | Substitusi: (7)² – 3*(10) = 49 – 30. | Hitung langsung: 2² + 5² – (2*5) = 4 + 25 – 10. |
| Hasil Akhir | 19 | 19 |
| Kelebihan | Cepat, efisien, berlaku bahkan jika akar irasional. | Langsung dan mudah dipahami untuk akar bulat sederhana. |
Menguasai Variasi Soal dan Menghindari Jebakan
Source: co.id
Setelah paham konsepnya, kamu bisa menjawab berbagai variasi soal dengan akar yang sama. Inti strateginya selalu sama: ubah ekspresi yang ditanyakan ke dalam bentuk yang hanya mengandung (a+b) dan (ab). Berikut beberapa contoh ekspresi lain untuk persamaan x²
-7x + 10 = 0, yang bisa kamu coba sebagai latihan.
- Contoh 1: Nilai dari a³ + b³. Gunakan rumus a³+b³ = (a+b)³
-3ab(a+b). Substitusi: (7)³
-3*10*7 = 343 – 210 = 133. - Contoh 2: Nilai dari 1/a² + 1/b². Ubah menjadi (a²+b²)/(a²b²). a²+b² = 7²
-2*10=29. a²b² = (ab)²=100. Hasilnya 29/100. - Contoh 3: Nilai dari (a – b)². Ingat (a-b)² = (a+b)²
-4ab. Substitusi: 7²
-4*10 = 49 – 40 = 9.
Kesalahan umum yang sering terjadi adalah lupa tanda negatif pada rumus jumlah akar (a+b = -b/a) atau salah dalam memanipulasi aljabar. Selalu tuliskan dengan teliti apa yang diketahui (a+b dan ab) dan pastikan proses penurunan rumus baru dilakukan di kertas coretan sebelum substitusi angka. Dengan latihan, pendekatan ini akan terasa seperti trik rahasia yang membuat soal aljabar persamaan kuadrat menjadi jauh lebih mudah dan menyenangkan.
Penutup
Jadi, begitulah ceritanya. Nilai dari a² + b²
-ab untuk persamaan x²
-7x + 10 = 0 akhirnya kita dapatkan. Yang menarik, proses menemukannya justru lebih berharga daripada sekadar angka akhir. Ini membuktikan bahwa dalam matematika, seringkali jalan memutar yang cerdas lebih efisien daripada jalan lurus yang penuh perhitungan. Trik mengubah bentuk soal menjadi rumus yang melibatkan jumlah dan hasil kali akar ini adalah senjata ampuh untuk berbagai variasi soal serupa.
Selamat, sekarang kamu punya satu amunisi baru untuk menaklukkan soal-soal aljabar yang terlihat rumit!
Panduan Pertanyaan dan Jawaban
Apa itu ekspresi simetris pada akar persamaan kuadrat?
Ekspresi simetris adalah bentuk aljabar yang nilainya tidak berubah jika posisi akar-akarnya (a dan b) ditukar. Contohnya a²+b², a³+b³, atau 1/a + 1/b.
Apakah metode ini selalu lebih cepat daripada mencari nilai akarnya langsung?
Tidak selalu, tetapi seringkali iya, terutama jika akarnya berupa bilangan pecahan atau irasional. Metode ini mengandalkan hubungan jumlah dan hasil kali akar yang selalu menghasilkan bilangan rasional dari koefisien.
Bagaimana jika soalnya mencari nilai a² + b² saja?
Rumusnya menjadi a² + b² = (a+b)²
-2ab. Langkahnya sama: cari (a+b) dan (a*b) dari persamaan, lalu substitusi ke rumus tersebut.
Bisakah rumus a² + b²
-ab = (a+b)²
-3ab digunakan untuk semua persamaan kuadrat?
Ya, rumus tersebut adalah identitas aljabar yang berlaku universal untuk semua bilangan a dan b, tidak terbatas pada akar persamaan kuadrat tertentu.
