Akar-akar persamaan x^2 – 3x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai dari: a. x1^2 + x2^2 b. x1^3 + x2^3 c. x1x2^2 +x1^2 x2 d. 1/x1^2 + 1/x2^2 – Akar-akar persamaan x^2 – 3x + 6 = 0 adalah x1 dan x
2. Tentukan nilai dari: a. x1^2 + x2^2 b. x1^3 + x2^3 c. x1x2^2 +x1^2 x2 d.
1/x1^2 + 1/x2^
2. Kalau lihat soal kayak gini, jangan langsung panik dan buru-buru cari nilai x1 sama x2-nya dulu, karena jalannya bakal berliku dan penuh bilangan akar. Justru, ini adalah undangan untuk main-main dengan konsep yang elegan: rumus Vieta. Dengan memahami hubungan antara koefisien persamaan dengan jumlah dan hasil kali akarnya, kita bisa menyelesaikan semua permintaan soal itu tanpa perlu tahu persis berapa sih x1 dan x2-nya.
Persamaan kuadrat itu seperti punya rahasia yang bisa diungkap. Koefisien-koefisiennya—angka di depan x², x, dan konstanta—sebenarnya sudah menyimpan informasi lengkap tentang sifat kedua akarnya. Nah, tugas kita sekarang adalah membongkar rahasia itu untuk menghitung bentuk-bentuk simetrik seperti jumlah kuadrat atau jumlah pangkat tiga akar, hanya dengan bermodal rumus jumlah (x1+x2) dan hasil kali (x1*x2). Mari kita telusuri step-by-step, biar makin paham bahwa matematika itu nggak cuma hitungan, tapi juga seni menyederhanakan masalah.
Kekuatan Tersembunyi di Balik Akar Persamaan Kuadrat
Kita sering kali terjebak pada rutinitas mencari nilai akar persamaan kuadrat dengan rumus abc yang panjang. Padahal, ada cara yang lebih elegan dan powerful untuk mengungkap relasi antar akar tanpa perlu tahu persis berapa angkanya. Ini seperti mengetahui karakter dan hubungan dua orang tanpa harus menyelidiki latar belakang mereka satu per satu secara detail. Dalam artikel ini, kita akan mengupas tuntas bagaimana memanfaatkan hubungan simetris antara akar-akar persamaan, menggunakan persamaan x²
-3x + 6 = 0 sebagai studi kasus.
Kita akan temukan bahwa dari koefisien sederhana, kita bisa menghitung jumlah kuadrat, pangkat tiga, dan bentuk rumit lainnya dengan mudah.
Bentuk Umum dan Hubungan Koefisien dengan Akar, Akar-akar persamaan x^2 – 3x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai dari: a. x1^2 + x2^2 b. x1^3 + x2^3 c. x1x2^2 +x1^2 x2 d. 1/x1^2 + 1/x2^2
Setiap persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0, dengan a ≠
0. Keindahan matematika terletak pada pola: meskipun nilai akar x1 dan x2 bisa kompleks, hubungan mereka dengan koefisien a, b, dan c selalu nyata dan sederhana. Hubungan ini dirumuskan oleh François Viète, sehingga dikenal sebagai Rumus Vieta. Intinya, jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diungkap langsung dari koefisiennya.
Untuk persamaan ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka:
Jumlah akar: x1 + x2 = -b/a
Hasil kali akar: x1x2 = c/a
Penurunan rumus ini langsung berasal dari membandingkan bentuk faktor (x – x1)(x – x2) = 0 dengan bentuk umumnya. Jika kita jabarkan, kita dapatkan x²
-(x1+x2)x + (x1*x2) = 0. Dengan membandingkan koefisiennya dengan ax² + bx + c = 0, hubungan itu pun langsung terbukti.
| Persamaan Umum | Contoh Soal | Rumus Jumlah Akar | Rumus Hasil Kali Akar |
|---|---|---|---|
| ax² + bx + c = 0 | 2x² – 5x + 3 = 0 | x1 + x2 = -b/a | x1
|
x²
|
x² – 4x + 4 = 0 | S = x1 + x2 | P = x1 – x2 |
Sebagai contoh sederhana, ambil persamaan 2x²
-8x + 6 = 0. Tanpa mencari akarnya (yang sebenarnya adalah x=1 dan x=3), kita langsung tahu jumlah akarnya adalah -(-8)/2 = 4, dan hasil kalinya adalah 6/2 = 3. Cepat dan efisien, bukan?
Mengupas Persamaan x² – 3x + 6 = 0
Mari kita fokus pada persamaan yang diberikan: x²
-3x + 6 = 0. Pada pandangan pertama, ini terlihat seperti persamaan kuadrat biasa. Namun, ketika kita telisik lebih dalam, kita akan menemukan karakteristik khusus yang menarik. Langkah pertama adalah memahami sifat akar-akarnya melalui diskriminan, sebelum kemudian kita manfaatkan keajaiban Rumus Vieta untuk menjawab pertanyaan yang lebih kompleks.
Diskriminan dan Jenis Akar
Diskriminan (D) adalah nilai di bawah tanda akar dalam rumus abc, dihitung dengan D = b²
-4ac. Nilai ini adalah penentu hakiki sifat akar. Untuk persamaan kita, a=1, b=-3, dan c=6. Maka, D = (-3)²
-4*1*6 = 9 – 24 = -15. Karena diskriminan bernilai negatif, kita langsung simpulkan bahwa akar-akar persamaan ini adalah bilangan kompleks atau tidak nyata, dan merupakan pasangan konjugat satu sama lain.
Nilai Eksplisit Akar-akar
Meskipun nanti kita tidak akan mengandalkan nilai eksplisit ini, mengetahui bentuknya memberikan konteks. Dengan rumus abc: x = [3 ± √(-15)] / 2 = [3 ± i√15] / 2. Jadi, akar-akarnya adalah x1 = (3 + i√15)/2 dan x2 = (3 – i√15)/2. Tepat seperti yang diduga, mereka adalah bilangan kompleks yang saling konjugat.
Interpretasi geometris dari akar-akar kompleks ini menarik. Jika kita menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x²3x + 6 di bidang kartesius, kita akan mendapatkan parabola yang terbuka ke atas dengan titik minimum di atas sumbu-x. Karena akar-akarnya kompleks, parabola tersebut tidak pernah memotong sumbu-x. Nilai diskriminan negatif secara visual berarti grafik tersebut “melayang” sepenuhnya di atas sumbu-x.
Menyelesaikan soal akar-akar persamaan kuadrat seperti x² – 3x + 6 = 0 untuk mencari nilai x1² + x2² dan lainnya itu seru, karena melatih logika berhitung kita. Nah, soal cerita matematika lain yang juga mengasah nalar adalah tentang pola usia anak, seperti pada pembahasan Diketahui Un adalah usia anak ke-n. (U1 – U2), (U2 – U3), (U3 – U4), (U4 – U5) adalah 2 tahun, 3 tahun, 4 tahun, dan 5 tahun.
Jika usia ibu dari anak-. Kembali ke soal awal, setelah menemukan x1 dan x2, kita bisa eksplor lebih jauh untuk menghitung x1³ + x2³ dan 1/x1² + 1/x2² dengan rumus-rumus yang rapi.
Seni Menyusun Ekspresi Simetrik
Source: z-dn.net
Inilah jantung dari pembahasan kita. Ekspresi simetrik adalah ekspresi aljabar dalam x1 dan x2 yang nilainya tidak berubah jika posisi x1 dan x2 kita tukar. Tujuan kita adalah mengubah ekspresi seperti x1² + x2² atau x1³ + x2³ menjadi bentuk yang hanya melibatkan jumlah (S = x1+x2) dan hasil kali (P = x1*x2), yang nilainya sudah kita ketahui dari koefisien.
Strategi ini menghemat waktu dan menghindari perhitungan rumit dengan bilangan kompleks.
Prinsip Dasar Konversi
Kunci utamanya adalah identitas aljabar. Misalnya, untuk mengubah x1² + x2², kita ingat bahwa (x1 + x2)² = x1² + 2x1x2 + x2². Dari sini, kita bisa atur ulang menjadi x1² + x2² = (x1 + x2)²
-2x1x2 = S²
-2P. Dengan hanya mengetahui S dan P, kita langsung dapat nilai ekspresi yang lebih kompleks.
| Ekspresi Simetrik | Bentuk yang Diinginkan | Rumus Konversi | Contoh Penerapan |
|---|---|---|---|
| x1² + x2² | Dalam S dan P | S² – 2P | Dari S=3, P=6 → 3² – 2*6 = -3 |
| x1³ + x2³ | Dalam S dan P | S³ – 3SP | Akan dihitung detail di bawah |
| x1x2² + x1²x2 | Dalam S dan P | SP | Secara mengejutkan sederhana |
| 1/x1² + 1/x2² | Dalam S dan P | (S²
|
Menyatukan penyebut adalah kunci |
Strategi untuk Pangkat Tiga dan Bentuk Lain
Untuk x1³ + x2³, kita gunakan identitas faktorisasi jumlah pangkat tiga: x1³ + x2³ = (x1 + x2)(x1²
-x1x2 + x2²). Perhatikan bahwa x1² + x2² sudah kita ketahui bentuknya (S²
-2P). Maka, x1²
-x1x2 + x2² = (S²
-2P)
-P = S²
-3P. Jadi, rumus akhirnya adalah x1³ + x2³ = S(S²
-3P) = S³
-3SP.
Sementara untuk bentuk x1x2² + x1²x2, kita bisa faktorisasi menjadi x1x2(x1 + x2) = P
– S. Sangat elegan dan sederhana.
Perhitungan Nilai untuk Persamaan Kita: Akar-akar Persamaan X^2 – 3x + 6 = 0 Adalah X1 Dan X2. Tentukan Nilai Dari: A. X1^2 + X2^2 B. X1^3 + X2^3 C. X1x2^2 +x1^2 X2 D. 1/x1^2 + 1/x2^2
Sekarang, dengan senjata lengkap berupa S = 3 dan P = 6 (dari persamaan x²
-3x + 6 = 0, ingat S = -b/a = 3, P = c/a = 6), mari kita hitung semua nilai yang ditanyakan. Perhatikan bagaimana perhitungan menjadi sangat ringkas dan bebas dari kerumitan bilangan kompleks.
Nilai x1² + x2²
Menggunakan rumus S²
-2P, kita substitusikan nilai S dan P: (3)²
-2*(6) = 9 – 12 = -3. Jadi, x1² + x2² = -3. Hasil yang negatif ini konsisten dengan fakta bahwa akar-akarnya kompleks; kuadrat dari bagian imajiner memberikan kontribusi negatif terhadap penjumlahan ini.
Nilai x1³ + x2³
Kita gunakan rumus S³
-3SP. Maka, perhitungannya adalah (3)³
-3*(3)*(6) = 27 – 54 = -27. Dengan demikian, x1³ + x2³ = -27. Proses ini jauh lebih singkat dibandingkan menghitung pangkat tiga dari masing-masing akar kompleks.
Nilai x1x2² + x1²x2
Seperti telah diidentifikasi, bentuk ini sama dengan P
– S. Jadi, nilainya adalah 6
– 3 = 18. Ekspresi ini ternyata bernilai positif dan real, meskipun berasal dari operasi pada akar kompleks.
Nilai 1/x1² + 1/x2²
Kita mulai dengan menyamakan penyebut: 1/x1² + 1/x2² = (x2² + x1²) / (x1²
– x2²). Pembilangnya adalah x1² + x2² yang sudah kita hitung (-3). Penyebutnya adalah (x1
– x2)² = P² = 6² = 36. Jadi, hasil akhirnya adalah -3 / 36 = -1/12. Nilai pecahan negatif ini juga masuk akal dalam konteks yang sama.
Visualisasi dan Refleksi Metode
Nilai-nilai yang telah kita hitung bukanlah sekadar angka mati. Mereka merepresentasikan transformasi dan hubungan mendalam antara dua bilangan kompleks yang saling terikat. Bayangkan x1 dan x2 sebagai dua titik di bidang kompleks yang saling mencerminkan. Operasi jumlah kuadrat atau pangkat tiga menghasilkan proyeksi tertentu dari hubungan mereka ke sumbu bilangan real.
Rangkuman Hasil dan Interpretasi
Berikut adalah kumpulan hasil akhir dari eksplorasi kita:
- x1² + x2² = -3: Menunjukkan bahwa jumlah kuadrat dari akar-akar kompleks ini bisa negatif, sesuatu yang tidak mungkin terjadi jika akar-akarnya bilangan real.
- x1³ + x2³ = -27: Nilai pangkat tiga yang juga real, mengonfirmasi konsistensi relasi simetris meski melibatkan operasi berorde tinggi.
- x1x2² + x1²x2 = 18: Bentuk yang ternyata sangat sederhana, hanya hasil kali dari jumlah dan hasil kali akar.
- 1/x1² + 1/x2² = -1/12: Membuktikan bahwa metode ini juga ampuh untuk ekspresi berbentuk pecahan.
Perbandingan Metode: Simetrik vs Substitusi Langsung
Bayangkan jika kita mencoba menghitung x1³ + x2³ dengan mensubstitusi nilai eksplisit x1 dan x2 yang berupa bilangan kompleks. Perhitungannya akan sangat panjang, rawan kesalahan, dan membutuhkan penyederhanaan aljabar yang rumit. Metode ekspresi simetrik dengan Rumus Vieta menghindari semua itu. Kelebihannya adalah kecepatan, keeleganan, dan minimnya kesalahan hitung. Kekurangannya, metode ini hanya bekerja untuk ekspresi yang simetris.
Untuk ekspresi asimetris seperti x1² + x2, kita tetap perlu mengetahui nilai masing-masing akar.
Uji Pemahaman dengan Soal Lain
Sebagai latihan, coba terapkan teknik yang sama pada persamaan kuadrat berbeda, misalnya 2x² + 4x – 1 =
0. Pertama, tentukan S dan P. Kemudian, hitunglah nilai dari:
- x1² + x2²
- (x1 – x2)² (petunjuk: hubungkan dengan (x1+x2)² dan x1*x2)
- x1³ + x2³
Dengan berlatih, kamu akan semakin mahil melihat pola dan menghemat waktu pengerjaan soal-soal yang terlihat rumit sekalipun. Intinya, jangan terburu-buru mencari nilai akarnya; seringkali, hubungan di antara mereka adalah kunci jawabannya.
Nah, kalau lagi serius ngulik akar-akar persamaan kuadrat kayak x² – 3x + 6 = 0 untuk cari nilai x1² + x2² atau yang lebih ribet lagi, prinsip aljabar dasarnya sama kaya saat kamu mengurai pertidaksamaan. Biar makin paham pola penyelesaiannya, coba tengok juga contoh penerapannya dalam Penyelesaian dari 1/3a >= 5 – a/2 adalah. Setelah itu, balik lagi ke soal awal, karena dengan rumus jumlah dan hasil kali akar, semua nilai yang ditanyakan bisa kamu temukan tanpa perlu tahu angka akarnya secara langsung, lho!
Terakhir
Jadi, begitulah ceritanya. Dari sebuah persamaan yang akarnya pun tidak real, kita tetap bisa mengolah dan menemukan nilai-nilai pasti untuk ekspresi yang tampak rumit. Hasil akhirnya, a. x1² + x2² = -3, b. x1³ + x2³ = -9, c.
x1x2² + x1²x2 = 18, dan d. 1/x1² + 1/x2² = -1/4. Angka-angka ini menunjukkan kekuatan dari pendekatan simetrik dan rumus Vieta; kita tidak perlu terjebak dalam perhitungan akar yang kompleks. Metode ini jauh lebih rapi, efisien, dan—yang paling penting—membuka pikiran kita untuk melihat pola di balik kerumitan.
Pada akhirnya, menguasai teknik ini bukan cuma untuk menjawab satu soal, tapi buat membekali diri dengan logika yang bisa dipakai di banyak masalah lain. Coba deh praktikkan dengan persamaan kuadrat berbeda, lihat polanya, dan rasakan kepuasannya ketika bisa menyelesaikannya dengan cara yang elegan. Soal matematika yang baik itu ibarat teka-teki, dan sekarang kamu sudah punya satu kunci pembuka yang sangat ampuh.
Detail FAQ
Apa itu akar tidak real dan mengapa kita tetap bisa menghitung ekspresinya?
Akar tidak real (imajiner/kompleks) adalah akar yang melibatkan bilangan imajiner ‘i’ (√-1). Meski begitu, jumlah (x1+x2) dan hasil kali (x1*x2) dari akar-akar tersebut tetap berupa bilangan real, sesuai Rumus Vieta. Karena ekspresi simetrik dibangun dari kedua nilai real ini, hasil akhir perhitungannya pun akan real.
Apakah metode ekspresi simetrik ini selalu bisa digunakan?
Ya, untuk ekspresi yang simetris (tidak berubah jika x1 dan x2 ditukar), metode ini selalu berlaku. Ekspresi seperti x1²+x2², x1³+x2³, dan sejenisnya dapat selalu diubah menjadi bentuk yang hanya melibatkan (x1+x2) dan (x1*x2).
Bagaimana jika soalnya meminta nilai x1 – x2 atau bentuk tidak simetris lain?
Untuk bentuk tidak simetris, kita perlu informasi lebih. Nilai (x1 – x2) bisa dicari jika diketahui diskriminan. Rumusnya |x1 – x2| = √(D) / |a|, di mana D adalah diskriminan dan a koefisien x².
Mengapa hasil x1² + x2² bisa negatif (-3)? Bukankah kuadrat selalu positif?
Benar, kuadrat masing-masing akar (jika akarnya bilangan kompleks) bisa berupa bilangan real positif atau negatif. Namun, x1² dan x2² di sini adalah kuadrat dari bilangan kompleks. Hasil penjumlahannya, yang kita hitung via Rumus Vieta, menghasilkan -3. Ini menunjukkan bahwa x1² dan x2² sendiri mungkin bukan bilangan real positif murni, tetapi bagian imajinernya saling meniadakan saat dijumlah, menyisakan bilangan real negatif.
