Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 – akar(3) dan 1 + akar(3) adalah sebuah teka-teki aljabar yang elegan, dan kali ini kita akan mengupasnya sampai tuntas. Bayangkan dua angka yang terlihat kompleks ini ternyata punya hubungan yang sangat manis dan simetris. Mereka bagai dua sisi koin yang saling melengkapi, dan dari situlah kita bisa menyusun kembali persamaan asalnya dengan cara yang cukup mudah dan menyenangkan.
Melalui eksplorasi ini, kita tidak hanya akan menemukan bentuk persamaannya, tetapi juga memahami mengapa pola akar seperti ini sering muncul. Kita akan lihat bagaimana jumlah dan hasil kali kedua akar itu membimbing kita langsung ke jawabannya, sekaligus membuktikan bahwa matematika punya caranya sendiri untuk menyembunyikan keindahan dalam struktur yang rapi.
Konsep Dasar dan Pengenalan Akar Persamaan Kuadrat
Sebelum kita masuk ke persamaan spesifik dengan akar 1 – √3 dan 1 + √3, mari kita pahami dulu hubungan intim antara akar-akar persamaan dan bentuk umumnya. Persamaan kuadrat standar itu seperti rumah: ax² + bx + c = 0. Nah, akar-akarnya (misalnya kita sebut x₁ dan x₂) adalah “alamat” yang membuat rumah persamaan itu bernilai nol. Artinya, jika x₁ dan x₂ adalah akar, maka ketika kita substitusi x dengan nilai-nilai itu, persamaan akan terpenuhi.
Kalau kita sudah tahu alamatnya (akar-akarnya), kita bisa bangun kembali rumah persamaannya dengan dua cara populer. Pertama, lewat perkalian faktor: (x – x₁)(x – x₂) = 0. Kedua, dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar. Ingat, dalam persamaan ax² + bx + c = 0, jumlah akarnya adalah x₁ + x₂ = -b/a, dan hasil kalinya adalah x₁
– x₂ = c/a.
Dari sini, kita bisa menyusun persamaan menjadi x²
-(x₁ + x₂)x + (x₁
– x₂) = 0.
Untuk menguji kebenaran akar 1 – √3 dan 1 + √3, kita bisa coba substitusikan ke sebuah persamaan. Misalnya, jika kita punya persamaan x²
-2x – 2 = 0, mari kita cek untuk x = 1 + √3: (1+√3)²
-2(1+√3)
-2 = (1 + 2√3 + 3)
-2 – 2√3 – 2 = 4 + 2√3 – 2 – 2√3 – 2 = 0.
Terbukti! Perhitungan serupa akan berlaku untuk akar yang satunya.
Karakteristik Dua Akar Khusus
Kedua akar ini punya karakter yang menarik dan simetris. Berikut adalah tabel yang merangkum perbandingan sifat-sifatnya.
| Akar | Nilai Numerik (Aproksimasi) | Sifat Bilangan | Hubungan dengan Akar Lain |
|---|---|---|---|
| x₁ = 1 – √3 | ≈ 1 – 1.732 = -0.732 | Bilangan Irasional | Merupakan sekawan dari x₂ |
| x₂ = 1 + √3 | ≈ 1 + 1.732 = 2.732 | Bilangan Irasional | Merupakan sekawan dari x₁ |
Membangun Persamaan Kuadrat dari Akar yang Diketahui
Sekarang, ayo kita praktekkan ilmu tadi. Kita punya dua keping puzzle: x₁ = 1 – √3 dan x₂ = 1 + √3. Tugas kita adalah merangkainya menjadi sebuah persamaan kuadrat utuh. Metode jumlah dan hasil kali akar adalah jalur tercepat yang bisa kita tempuh.
Pertama, kita hitung jumlah kedua akarnya: x₁ + x₂ = (1 – √3) + (1 + √3) = 1 + 1 – √3 + √3 =
2. Sederhana sekali, bagian irasionalnya saling menghilang. Kedua, kita hitung hasil kalinya: x₁
– x₂ = (1 – √3)(1 + √3). Ini adalah bentuk istimewa (a – b)(a + b) = a²
-b². Jadi, hasilnya = 1²
-(√3)² = 1 – 3 = -2.
Dengan jumlah akar (S) = 2 dan hasil kali (P) = -2, kita masukkan ke dalam bentuk x²
-Sx + P = 0. Maka persamaannya menjadi x²
-2x + (-2) = 0, atau disederhanakan menjadi x²
-2x – 2 = 0. Inilah persamaan kuadrat paling sederhana dengan koefisien bilangan bulat yang akar-akarnya persis seperti yang kita inginkan.
x²
2x – 2 = 0
Persamaan di atas adalah bentuk final. Penyederhanaannya terjadi secara alami karena kita menggunakan rumus, sehingga koefisien-koefisiennya langsung menjadi bilangan bulat tanpa perlu langkah tambahan.
Mengupas Sifat dan Karakteristik Akar: Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya 1 – Akar(3) Dan 1 + Akar(3) Adalah
Akar-akar berbentuk 1 ± √3 ini bukan sekedar angka biasa; mereka membawa cerita tentang sifat persamaan kuadratnya. Pertama, karena √3 adalah bilangan irasional, maka kedua akar ini juga irasional. Mereka adalah bilangan real yang berbeda, karena nilai 1 – √3 jelas tidak sama dengan 1 + √3.
Simetri yang mereka tunjukkan sangat jelas: mereka adalah pasangan sekawan. Bentuk p ± √q sering muncul karena biasanya berasal dari penyelesaian rumus ABC ketika diskriminannya (D = b²
-4ac) positif dan bukan kuadrat sempurna. Mari kita cek diskriminan persamaan kita: Dari x²
-2x – 2 = 0, D = (-2)²
-4*1*(-2) = 4 + 8 = 12. Karena D > 0 dan 12 bukan kuadrat sempurna, akar-akarnya memang real, berbeda, dan irasional, persis seperti prediksi.
Mengapa Bentuk p ± √q Sering Muncul
Bentuk akar seperti ini bukanlah kebetulan. Berikut beberapa alasan mengapa mereka begitu umum dalam soal dan aplikasi:
- Diskriminan Non-Kuadrat Sempurna: Ini adalah penyebab langsung. Saat diskriminan positif tetapi tidak bisa diakarkan secara bulat, hasil rumus ABC otomatis menghasilkan bentuk akar sekawan.
- Koefisien Rasional: Ketika koefisien a, b, dan c pada persamaan ax² + bx + c = 0 adalah bilangan rasional (bahkan bulat), dan diskriminannya non-kuadrat sempurna, maka akar-akar yang muncul akan selalu berbentuk pasangan sekawan irasional p ± √q.
- Aplikasi Geometri dan Fisika: Banyak perhitungan dalam geometri (seperti mencari panjang sisi segitiga non-siku khusus) atau fisika (waktu tempuh, titik equilibrium tertentu) menghasilkan persamaan kuadrat dengan solusi yang tidak bulat, sehingga bentuk ini sangat wajar.
- Kestabilan Perhitungan: Bentuk ini mempertahankan keakuratan matematis. Daripada menggunakan aproksimasi desimal sejak awal, menyimpannya dalam bentuk akar menjaga presisi untuk perhitungan selanjutnya.
Verifikasi dan Jalan Lain Menyusun Persamaan
Mempercayai rumus itu baik, tetapi membuktikannya sendiri itu lebih baik. Mari kita verifikasi dengan substitusi langsung akar x = 1 + √3 ke dalam persamaan hasil karya kita, x²
-2x – 2 = 0. Perhitungannya sudah kita lakukan di awal dan memang menghasilkan nol. Cara yang sama akan berhasil untuk x = 1 – √3.
Ada jalan alternatif yang lebih fundamental: metode faktor. Kita susun langsung dari definisi akar: (x – (1 – √3))(x – (1 + √3)) =
0. Mengalikannya membutuhkan sedikit kehati-hatian: (x – 1 + √3)(x – 1 – √3). Perhatikan bahwa ini adalah ( (x-1)
-√3 )
– ( (x-1) + √3 ), yang kembali ke pola selisih kuadrat: (x-1)²
-(√3)² = (x²
-2x + 1)
-3 = x²
-2x – 2.
Hasilnya sama persis.
Perbandingan Metode Penyusunan
Mana yang lebih baik? Tergantung situasi. Berikut tabel perbandingannya.
| Aspek | Metode Jumlah-Hasil Kali Akar | Metode Faktor Langsung |
|---|---|---|
| Langkah Utama | Hitung S = x₁+x₂, P = x₁*x₂, lalu masukkan ke x²
|
Tulis bentuk faktor, lalu lakukan perkalian aljabar. |
| Kompleksitas | Sering lebih cepat, terutama jika akar berbentuk sekawan yang bagian irasionalnya saling menghilang saat dijumlahkan. | Lebih mendasar, tetapi perkaliannya bisa lebih rumit jika akar tidak dalam bentuk sekawan yang rapi. |
| Kesalahan Umum | Keliru tanda pada rumus S = -b/a, sehingga salah menuliskan S dalam bentuk x²
|
Kesalahan dalam mengalikan binomial, terutama melibatkan tanda minus dan bilangan irasional. |
Kesalahan umum yang harus diwaspadai adalah saat mengelola tanda minus di depan akar dan saat mengkuadratkan bilangan berbentuk akar. Ingatlah bahwa (1 – √3)² bukan 1 – 3, melainkan 1 – 2√3 + 3 = 4 – 2√3.
Aplikasi dan Eksplorasi Lebih Lanjut
Persamaan x²
-2x – 2 = 0 dan akar-akarnya bisa jadi titik awal untuk mengeksplorasi berbagai konsep lanjutan. Mari kita lihat beberapa contoh perhitungan dan visualisasinya.
Nah, dari persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 – √3 dan 1 + √3, kita bisa temukan pola simetris yang rapi. Soal-soal hitungan seperti ini memang perlu ketelitian, mirip kayak saat kamu mengerjakan Tuliskan hasil operasi perpangkatan berikut ini. a. -8 x 2^6 b. 5^4 x 50 c.
16/2^4 d. 98?7^3. Kemampuan aljabar dasar itu penting banget, lho, karena dengan menguasainya, kamu bisa dengan mudah menyusun persamaan kuadrat tadi hanya dari informasi akar-akarnya saja.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Berikut tiga contoh variasi soal yang melibatkan akar-akar 1 ± √3:
- Mencari x₁² + x₂²: Kita tidak perlu mensubstitusi langsung nilai akarnya yang rumit. Gunakan identitas x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)²
- 2x₁x₂. Dari perhitungan awal, kita tahu jumlah akar = 2 dan hasil kali = -2. Maka, x₁² + x₂² = (2)²
- 2*(-2) = 4 + 4 = 8.
- Mencari 1/x₁ + 1/x₂: Kita sederhanakan menjadi (x₁ + x₂) / (x₁x₂). Jadi, 1/x₁ + 1/x₂ = 2 / (-2) = -1.
- Membentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x₁ dan 2x₂: Jumlah akar baru = 2(x₁ + x₂) = 2*2 = 4. Hasil kali baru = (2x₁)(2x₂) = 4*(x₁x₂) = 4*(-2) = -8. Persamaan barunya adalah x²
4x – 8 = 0.
Gambaran Grafik Persamaan, Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1 – akar(3) dan 1 + akar(3) adalah
Persamaan x²
-2x – 2 = 0 menggambarkan sebuah parabola. Karena koefisien x² positif (a=1), parabola ini terbuka ke atas. Sumbu simetrinya terletak di x = -b/(2a) = 2/(2*1) =
1. Perhatikan, nilai 1 ini tepat adalah rata-rata dari kedua akar kita, ( (1-√3) + (1+√3) ) / 2 =
1. Titik puncak (vertex) parabola adalah di (1, f(1)) = (1, 1 – 2 – 2) = (1, -3).
Parabola ini memotong sumbu-Y di titik (0, c) = (0, -2). Sedangkan titik potong sumbu-X-nya sudah jelas, yaitu di x ≈ -0.732 dan x ≈ 2.732, yang merupakan representasi desimal dari akar-akar kita. Grafik ini membantu kita melihat secara visual bagaimana kedua akar yang simetris terhadap garis x=1 menjadi solusi dari persamaan tersebut.
Simpulan Akhir
Source: co.id
Jadi, itulah dia. Dari dua bilangan yang terlihat acak, 1 – √3 dan 1 + √3, kita berhasil menyusun kembali persamaan kuadratnya: x²
-2x – 2 = 0. Proses ini lebih dari sekadar menghitung; ini tentang melihat pola, mengapresiasi simetri, dan percaya bahwa setiap akar punya cerita dan pasangannya sendiri. Coba terapkan logika yang sama pada soal lain, dan kamu akan menemukan bahwa menyusun persamaan dari akar-akarnya bisa jadi semudah menyusun puzzle yang sudah tahu polanya.
Selamat bereksplorasi!
FAQ Umum
Apakah akar 1 ± √3 termasuk bilangan rasional?
Tidak. Karena mengandung √3 yang merupakan bilangan irasional, maka 1 + √3 dan 1 – √3 juga merupakan bilangan irasional.
Bisakah persamaan kuadrat ini memiliki koefisien pecahan?
Bisa saja dalam proses penurunannya, tetapi bentuk paling sederhana dan umumnya adalah dengan koefisien bilangan bulat, yaitu x²
-2x – 2 = 0.
Nah, kalau kamu udah jago cari persamaan kuadrat dari akar-akarnya seperti 1 – √3 dan 1 + √3, berarti logika matematikamu sudah terasah. Skill itu bisa banget dipakai buat ngurai soal cerita yang lebih riil, kayak menghitung Keliling sebuah lahan yang berbentuk persegi panjang adalah 180 m. Jika selisih panjang dan lebarnya 14 m, luas lahan tersebut adalah.
Intinya, sama-sama butuh manipulasi aljabar yang cerdik. Jadi, setelah lancar hitung luas lahan, kamu pasti makin mantap balik lagi ke dunia persamaan kuadrat tadi.
Mengapa kedua akar ini disebut berpasangan sekawan?
Karena bentuknya identik, hanya berbeda pada tanda operasi plus dan minus di depan bagian irasionalnya (√3). Pola p ± √q sering muncul sebagai akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien rasional.
Bagaimana cara cepat mengetahui jumlah dan hasil kali akar hanya dari melihat bentuk 1 ± √3?
Jumlah akar = (1+√3) + (1-√3) = 2 (bagian irasional hilang). Hasil kali akar = (1)²
-(√3)² = 1 – 3 = -2, menggunakan sifat selisih kuadrat.
Apakah grafik dari persamaan ini memotong sumbu-x di tempat yang “aneh”?
Memotong di titik (1-√3, 0) dan (1+√3, 0). Nilai ini tidak dapat diplot secara tepat pada kertas karena bilangan irasional, tetapi letak aproksimasinya sekitar -0.732 dan 2.732.
