Diketahui suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 12 dan 72. Tentukan: a. beda dari deret tersebut b. suku pertama – Diketahui suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 12 dan
72. Tentukan: a. beda dari deret tersebut b. suku pertama. Kalau lihat soal kayak gini, jangan langsung bingung dulu.
Nah, kalau kamu lagi asyik ngitung beda dan suku pertama dari deret aritmatika yang diketahui U9 = 12 dan U21 = 72, jangan kaget kalau logika berurutan yang sama bisa diterapkan di soal lain. Misalnya, untuk memahami konsep gradien dan titik potong dengan lebih mendalam, coba tengok pembahasan tentang Garis yang melalui titik potong garis x + 2y = 6 dan 3x + 2y = 2 serta tegak lurus garis x – 2y = 5 memotong sumbu X di titik.
Setelah itu, kamu pasti lebih mantap lagi balik ke soal deret tadi untuk cari nilai a dan b-nya dengan cara yang lebih smooth.
Deret aritmetika itu sebenarnya pola yang rapi banget, kayak anak tangga yang naik atau turun dengan selisih yang tetap. Dari dua informasi kecil tentang suku ke-9 dan ke-21, kita bisa buka kunci seluruh rahasia deretnya, cari tahu dari mana mulainya dan seberapa besar langkah antar sukunya.
Nah, dalam dunia yang serba teratur ini, rumus sakti Un = a + (n-1)b adalah senjata utama. Dengan dua petunjuk yang diberikan, kita bisa menyusun dua persamaan layaknya teka-teki aljabar. Proses menyelesaikannya itu seperti detective work yang memuaskan—mengeliminasi, mensubstitusi, sampai akhirnya angka-angka itu jujur mengungkapkan nilai beda (b) dan suku pertama (a). Mari kita telusuri langkah-langkah jitunya bareng-bareng.
Deret Aritmetika: Logika Pola yang Teratur
Bayangkan kamu sedang menabung. Setiap minggu, kamu menambah uang di celengan dengan jumlah yang sama, misalnya sepuluh ribu rupiah. Minggu pertama dua puluh ribu, minggu kedua tiga puluh ribu, dan seterusnya. Pola penambahan yang tetap dan teratur inilah jantung dari deret aritmetika. Dalam dunia matematika, deret ini adalah barisan bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu konstan.
Selisih tetap ini kita sebut sebagai ‘beda’ (b), sementara bilangan di awal rangkaian kita sebut ‘suku pertama’ (a). Konsep ini bukan cuma teori, tapi model dari banyak hal di sekitar kita, seperti pertambahan tinggi tanaman per bulan, penyusutan nilai barang (depresiasi), atau bahkan pola duduk di stadion.
Untuk memberikan gambaran yang lebih konkret, berikut adalah tabel yang membandingkan tiga skenario berbeda dalam kehidupan yang bisa dimodelkan dengan deret aritmetika, lengkap dengan komponen dan rumusnya.
| Contoh Kehidupan | Suku Pertama (a) | Beda (b) | Suku ke-n (Contoh) | Rumus Un |
|---|---|---|---|---|
| Menabung Mingguan | Rp 20.000 | Rp 10.000 | U5 = Rp 60.000 | 20000 + (n-1)10000 |
| Penyusutan Harga Laptop | Rp 10.000.000 | -Rp 500.000/tahun | U3 = Rp 9.000.000 | 10000000 + (n-1)(-500000) |
| Anak Tangga | Tinggi 20 cm | Kenaikan 15 cm | U4 = 65 cm | 20 + (n-1)15 |
Rumus Kunci: Mencari Suku ke-n
Kekuatan utama memahami deret aritmetika terletak pada kemampuannya memprediksi. Kita tidak perlu menuliskan semua suku hingga suku ke-100 hanya untuk mengetahui nilainya. Cukup dengan satu rumus sakti: Un = a + (n-1)b . Di sini, U n adalah suku ke-n yang ingin kita cari, ‘a’ adalah suku pertama, ‘b’ adalah beda, dan ‘n’ adalah urutan sukunya. Rumus ini seperti peta harta karun; begitu kamu tahu titik awal (a) dan jarak antar petunjuk (b), kamu bisa langsung melompat ke petunjuk ke-n tanpa harus melalui semua petunjuk sebelumnya.
Penerapan rumus ini mengikuti langkah-langkah sistematis yang mudah diingat:
- Identifikasi Nilai: Tentukan apa yang sudah diketahui (a, b, atau U n) dan apa yang ditanyakan.
- Masukkan ke Rumus: Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam bentuk umum U n = a + (n-1)b.
- Selesaikan Persamaan: Lakukan operasi aljabar (perkalian, penjumlahan, pengurangan) untuk mengisolasi variabel yang tidak diketahui.
- Verifikasi Logika: Periksa apakah hasil yang didapat masuk akal dalam konteks soal, misalnya beda yang konstan.
Mengurai Soal: Menemukan Beda yang Tersembunyi
Sekarang, mari kita hadapi soal nyata. Diketahui suku ke-9 adalah 12 dan suku ke-21 adalah 72. Informasi tentang suku pertama dan beda sama sekali tidak disebut. Ini seperti teka-teki dimana kita punya dua potongan kunci untuk membuka dua kunci lainnya. Strateginya adalah dengan menerjemahkan informasi tentang U 9 dan U 21 ke dalam bentuk persamaan linear menggunakan rumus U n.
Kita bisa menuliskannya sebagai sistem persamaan berikut:
U9 = a + (9-1)b = a + 8b = 12
U 21 = a + (21-1)b = a + 20b = 72
Dua persamaan ini membentuk sistem yang bisa kita selesaikan. Cara paling efisien adalah dengan metode eliminasi. Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua untuk menghilangkan variabel ‘a’.
(a + 20b)
-(a + 8b) = 72 – 12
a – a + 20b – 8b = 60
12b = 60
b = 5
Dengan demikian, beda dari deret aritmetika tersebut adalah 5. Proses eliminasi ini efektif karena sifat koefisien ‘a’ yang sama, memungkinkan kita langsung fokus pada selisih antar suku untuk menemukan bedanya.
Melengkapi Puzzle: Mencari Suku Pertama
Setelah mendapatkan nilai beda (b = 5), puzzle kita hampir lengkap. Tinggal satu bagian lagi: suku pertama (a). Kita bisa memanfaatkan salah satu persamaan awal, misalnya persamaan untuk suku ke-9, dan mensubstitusikan nilai b yang sudah kita ketahui.
Nah, gini, guys. Soal deret aritmetika yang cuma kasih U9=12 dan U21=72 itu sebenarnya tantangan seru buat cari beda dan suku pertama. Logika analitis yang sama bisa kamu terapkan untuk menyelidiki kebenaran relasi garis dan bidang, seperti yang dijelaskan secara detail di sini Diketahui garis h dan garis k terletak pada bidang V. Garis h tegak lurus dengan garis k .Jika garis g tegak lurus dengan bidang V, selidiki kebenaran.
Setelah paham konsep tegak lurus itu, kamu pasti lebih mantap lagi untuk kembali ke soal deret tadi dan menemukan jawaban pastinya dengan rumus Un yang sudah kamu kuasai.
Proses pencarian suku pertama ini dapat dirangkum dalam tabel berikut untuk kejelasan langkah-langkahnya.
| Persamaan Awal | Substitusi Nilai b | Perhitungan | Hasil (a) |
|---|---|---|---|
| a + 8b = 12 | a + 8(5) = 12 | a + 40 = 12 a = 12 – 40 |
-28 |
Jadi, suku pertama dari deret tersebut adalah -28. Kombinasi a = -28 dan b = 5 sepenuhnya mendefinisikan deret aritmetika kita.
Memastikan Kebenaran dan Memperluas Wawasan
Dalam matematika, keyakinan tidak datang dari asumsi. Kita perlu memverifikasi. Mari kita hitung ulang U 9 dan U 21 dengan a = -28 dan b =
5. U 9 = -28 + (8*5) = -28 + 40 =
12. U 21 = -28 + (20*5) = -28 + 100 =
72.
Hasilnya cocok dengan soal. Verifikasi ini penting untuk menghindari kesalahan hitung kecil yang bisa berdampak besar. Coba bayangkan variasi soal lain: jika diketahui suku pertama (a) adalah 10 dan suku ke-15 (U 15) adalah 80, kita bisa langsung mencari beda dengan rumus: 80 = 10 + (15-1)b, lalu selesaikan untuk b.
Visualisasi Pola sebagai Garis Lurus, Diketahui suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 12 dan 72. Tentukan: a. beda dari deret tersebut b. suku pertama
Source: amazonaws.com
Keindahan deret aritmetika terlihat jelas ketika divisualisasikan. Jika kita memplot titik-titik koordinat dengan sumbu X sebagai nomor suku (n) dan sumbu Y sebagai nilai suku (U n), semua titik akan terletak pada satu garis lurus. Beda (b) dalam konteks ini adalah kemiringan (gradien) garis tersebut. Semakin besar nilai b, semakin curam garisnya. Untuk deret kita (a=-28, b=5), kita bisa melihat pola lima suku pertamanya.
| n (Suku ke-) | Un (Nilai) | Selisih (Un – Un-1) | Koordinat (n, Un) |
|---|---|---|---|
| 1 | -28 | – | (1, -28) |
| 2 | -23 | 5 | (2, -23) |
| 3 | -18 | 5 | (3, -18) |
| 4 | -13 | 5 | (4, -13) |
| 5 | -8 | 5 | (5, -8) |
Perhatikan kolom selisih yang selalu bernilai 5, membuktikan keteraturan deret. Titik-titik koordinat ini jika dihubungkan akan membentuk garis lurus yang naik, mencerminkan beda positif. Inilah esensi deret aritmetika: sebuah kemajuan atau penurunan yang konsisten dan dapat diprediksi, sebuah pola sederhana yang punya kekuatan untuk menerangkan banyak hal.
Penutupan
Jadi, gimana? Ternyata mencari beda dan suku pertama dari deret aritmetika cuma modal dua data aja udah cukup. Dari U9=12 dan U21=72, kita berhasil mengungkap bahwa deret ini mulai dari angka -24 dan melangkah maju sebesar 5 setiap sukunya. Yang keren, setelah ketemu jawabannya, kita bisa cek sendiri kebenarannya dengan menghitung ulang suku ke-9 dan ke-21. Hasilnya pas, kan?
Ini bukti bahwa matematika itu punya konsistensi yang elegan. Sekarang, kalau ketemu soal serupa, kamu pasti sudah tahu jalur permainannya. Ingat, pahami polanya, percaya pada rumus, dan verifikasi selalu. Selamat berhitung!
Pertanyaan Umum (FAQ): Diketahui Suku Ke-9 Dan Suku Ke-21 Dari Suatu Deret Aritmetika Berturut-turut Adalah 12 Dan 72. Tentukan: A. Beda Dari Deret Tersebut B. Suku Pertama
Apakah beda deret aritmetika selalu positif?
Tidak. Beda (b) bisa positif (deret naik), negatif (deret turun), atau bahkan nol (semua suku sama).
Bagaimana jika yang diketahui adalah suku pertama dan suku ke-n, lalu disuruh mencari beda?
Langsung saja substitusi nilai suku pertama (a) dan suku ke-n (Un) ke rumus Un = a + (n-1)b, lalu selesaikan untuk mencari b.
Apakah metode ini bisa dipakai untuk deret geometri?
Tidak. Rumus dan pendekatan untuk deret geometri berbeda. Soal ini khusus membahas deret aritmetika yang memiliki selisih tetap.
Mengapa verifikasi hasil itu penting?
Verifikasi memastikan tidak ada kesalahan hitung selama proses. Dengan memasukkan a dan b yang ditemukan ke rumus, kita harus kembali mendapatkan nilai suku yang diketahui di soal.
