Garis yang melalui titik potong garis x + 2y = 6 dan 3x + 2y = 2 serta tegak lurus garis x – 2y = 5 memotong sumbu X di titik? Ini bukan sekadar deretan angka dan variabel, tapi sebuah petualangan kecil di koordinat Kartesius yang menunggu untuk dipecahkan. Bayangkan ini seperti misi: temukan persimpangan dua jalan, lalu buat jalur baru yang bersimpangan sempurna dengan jalan ketiga, dan cari tahu di titik mana jalur baru itu menyentuh batas cakrawala, alias sumbu X.
Seru, kan?
Kita akan menyusun strategi dengan langkah-langkah yang jelas, mulai dari mencari titik temu dua garis awal, memahami syarat tegak lurus melalui gradien, meracik persamaan garis baru, hingga akhirnya menemukan titik potong ajaib itu di sumbu X. Tenang, semua prosesnya akan dibongkar dengan cara yang mudah dicerna, tanpa jargon yang bikin pusing. Siapkan pensil dan imajinasi, kita mulai petualangan aljabar linier ini.
Memahami Permasalahan Garis
Sebelum kita terjun ke dalam angka dan rumus, mari kita pahami dulu peta permasalahannya. Soal ini seperti puzzle bertingkat. Pertama, kita punya dua garis yang saling berpotongan. Titik temu keduanya adalah koordinat pertama yang harus kita gali. Dari titik itulah, kita akan meluncurkan garis baru dengan syarat khusus: ia harus tegak lurus dengan garis ketiga yang sudah ditentukan.
Ujung dari perjalanan ini adalah mencari di mana garis baru tadi akhirnya menyentuh sumbu horizontal, alias sumbu X.
Untuk menyelesaikannya, kita perlu menguasai beberapa konsep kunci. Pertama, cara menemukan titik potong dua garis linear, yang pada dasarnya adalah menyelesaikan sistem persamaan. Kedua, hubungan gradien antara dua garis yang saling tegak lurus. Jika gradien garis pertama adalah m, maka gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah -1/m. Konsep ketiga adalah merumuskan persamaan garis jika kita sudah tahu satu titik yang dilaluinya dan gradiennya.
Terakhir, kita perlu tahu cara mencari titik potong dengan sumbu X, yang terjadi saat nilai y sama dengan nol.
Langkah-Langkah Kunci Penyelesaian
- Mencari titik potong antara garis x + 2y = 6 dan 3x + 2y = 2.
- Menentukan gradien dari garis acuan x – 2y = 5.
- Menghitung gradien garis baru yang tegak lurus dengan garis acuan.
- Membentuk persamaan garis baru yang melalui titik potong (langkah 1) dengan gradien (langkah 3).
- Menyubstitusi y=0 ke persamaan baru untuk menemukan titik potong dengan sumbu X.
Menyelesaikan Titik Potong Dua Garis Awal
Semuanya berawal dari pertemuan dua garis awal. Kita punya sistem persamaan: x + 2y = 6 dan 3x + 2y =
2. Titik di mana kedua garis ini bersua adalah fondasi untuk garis baru kita. Ada dua metode klasik yang bisa digunakan: substitusi dan eliminasi. Keduanya valid dan akan membawa kita ke tujuan yang sama.
Perbandingan Metode Substitusi dan Eliminasi
| Aspect | Metode Substitusi | Metode Eliminasi | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| Konsep Dasar | Menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, lalu menggantikannya. | Menggabungkan kedua persamaan untuk menghilangkan satu variabel terlebih dahulu. | Pilihan tergantung kenyamanan dan bentuk persamaan. |
| Penerapan pada Soal | Dari persamaan pertama, x = 6 – 2y. Substitusi ke persamaan kedua: 3(6-2y) + 2y = 2. | Kurangi persamaan kedua dengan pertama: (3x+2y)
|
Pada soal ini, eliminasi lebih cepat karena koefisien y sudah sama. |
| Langkah Lanjutan | 18 – 6y + 2y = 2 → -4y = -16 → y =
4. Lalu cari x x = 6 – 2(4) = -2. |
Dari 2x = -4 didapat x = –
|
Hasil akhir sama: titik potongnya adalah (-2, 4). |
Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah di koordinat (-2, 4). Bayangkan dalam bidang Kartesius: garis pertama (x+2y=6) memiliki kemiringan landai ke bawah, sementara garis kedua (3x+2y=2) lebih curam ke bawah. Keduanya datang dari arah yang berbeda dan akhirnya bertabrakan tepat di kuadran kedua, di mana x bernilai negatif dan y bernilai positif, yaitu di titik (-2,4).
Titik inilah yang akan kita jadikan pijakan.
Menganalisis Hubungan Tegak Lurus
Sekarang, kita alihkan perhatian ke garis ketiga, yaitu x – 2y = 5. Garis inilah yang akan menjadi patokan arah bagi garis baru kita. Syaratnya, garis baru harus tegak lurus dengan garis ini. Dalam geometri analitik, hubungan tegak lurus itu terwakili oleh hubungan gradien yang sangat spesifik dan elegan.
Gradien adalah angka yang menunjukkan kemiringan suatu garis. Untuk mengetahuinya, kita perlu mengubah persamaan garis ke dalam bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien. Mari kita lakukan untuk garis x – 2y = 5.
Rumus hubungan gradien dua garis tegak lurus: m₁ × m₂ = -1, atau m₂ = -1/m₁.
Menghitung Gradien Garis Acuan
- Persamaan asli: x – 2y = 5.
- Kita pindahkan x ke kanan: -2y = -x + 5.
- Kemudian bagi semua dengan -2: y = (1/2)x – (5/2).
- Dari bentuk y = mx + c, terlihat jelas bahwa gradien garis acuan (m₁) adalah 1/2.
Menentukan Gradien Garis Baru
Source: peta-hd.com
Karena garis baru harus tegak lurus, maka gradiennya (m₂) harus memenuhi: m₂ = -1 / m₁. Substitusi m₁ = 1/2. Maka, m₂ = -1 / (1/2) = -2. Jadi, gradien garis yang kita cari adalah -2. Garis dengan gradien -2 ini akan turun dengan cepat; untuk setiap satu langkah ke kanan, ia turun dua langkah ke bawah, membentuk sudut yang tepat dengan garis acuan yang landainya setengah.
Merumuskan Persamaan Garis Baru
Kita sudah punya semua bahan baku: sebuah titik jangkar (-2, 4) dan arah kemiringan (gradien m = -2). Sekarang saatnya meracik persamaan garis barunya. Rumus yang paling langsung untuk kasus seperti ini adalah menggunakan konsep gradien dan satu titik.
Nah, setelah kita temukan titik potong dari persamaan x + 2y = 6 dan 3x + 2y = 2, lalu cari garis yang tegak lurus x – 2y = 5, kita akan dapatkan titik potongnya dengan sumbu X. Proses hitung-hitungannya mirip seperti saat kita mengerjakan soal Bu Ana seorang pembuat kue. Bu Ana mendapat pesanan 24 kotak kue Setiap kotak berisi 2 lusin kue.
Berapa buah kue yang harus dibuat bu Ana? —keduanya butuh ketelitian langkah per langkah. Jadi, setelah semua perhitungan tadi, garis yang kita cari itu akhirnya akan memotong sumbu X pada sebuah koordinat spesifik yang jadi jawaban akhirnya.
Persamaan garis yang melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m adalah: y – y₁ = m (x – x₁).
Mari kita substitusi bahan-bahan kita ke dalam rumus tersebut. Titik (x₁, y₁) adalah (-2, 4) dan m = -2.
Proses Aljabar Pembentukan Persamaan, Garis yang melalui titik potong garis x + 2y = 6 dan 3x + 2y = 2 serta tegak lurus garis x – 2y = 5 memotong sumbu X di titik
- Substitusi: y – 4 = -2 (x – (-2)) → y – 4 = -2 (x + 2).
- Lakukan distribusi -2: y – 4 = -2x – 4.
- Pindahkan konstanta -4 di kiri ke kanan: y = -2x – 4 + 4.
- Sederhanakan: y = -2x.
Hasilnya ternyata sangat ringkas: y = -2x. Ini adalah persamaan garis baru kita. Garis ini melalui titik origin (0,0) karena tidak ada konstanta. Namun, yang penting bagi kita, ia pasti melalui titik (-2,4) karena itulah cara kita menurunkannya, dan gradiennya -2 yang memenuhi syarat tegak lurus.
Menentukan Titik Potong dengan Sumbu X
Finale dari perjalanan ini adalah menemukan di mana garis y = -2x ini memotong sumbu X. Sumbu X adalah garis horizontal dasar dari bidang koordinat. Ciri khas semua titik yang berada di sumbu X adalah nilai ordinatnya (y) sama dengan nol. Mereka berada tepat di garis cakrawala itu sendiri, tidak naik dan tidak turun.
Dengan pengetahuan ini, mencari titik potong menjadi sangat mudah. Kita cukup mensyaratkan y = 0 dalam persamaan garis baru kita.
Perhitungan Titik Potong
- Persamaan garis: y = -2x.
- Substitusi y = 0: 0 = -2x.
- Selesaikan untuk x: bagi kedua sisi dengan -2, diperoleh x = 0.
Maka, titik potong garis baru dengan sumbu X adalah di (0, 0). Ya, tepat di titik pusat koordinat atau origin. Bayangkan garis y = -2x yang melintas dengan curam dari kuadran kedua ke kuadran keempat. Garis ini memotong sumbu X hanya di satu titik, yaitu titik (0,0). Ia tidak memotong sumbu Y di tempat lain karena titik potong sumbu Y-nya juga di (0,0).
Garis ini unik karena sekaligus memotong kedua sumbu di titik yang sama.
Verifikasi dan Penyajian Hasil Akhir
Setelah melalui perjalanan analitis yang panjang, baiknya kita rangkum dan uji kembali hasil yang telah kita dapatkan. Ini memastikan tidak ada kesalahan hitung di tengah jalan dan memberikan gambaran utuh tentang solusi dari soal yang kompleks ini.
Rangkuman Elemen Kunci Penyelesaian
| Elemen | Nilai/Informasi | Sumber/Proses | Keterangan |
|---|---|---|---|
| Titik Potong Awal | (-2, 4) | Solusi sistem: x+2y=6 dan 3x+2y=2. | Dasar pembentukan garis baru. |
| Gradien Garis Acuan (m₁) | 1/2 | Dari persamaan x – 2y = 5 yang diubah ke bentuk y = mx + c. | Patokan hubungan tegak lurus. |
| Gradien Garis Baru (m₂) | -2 | Rumus m₂ = -1/m₁. | Memenuhi syarat tegak lurus. |
| Persamaan Garis Baru | y = -2x | Rumus y – y₁ = m(x – x₁) dengan titik (-2,4) dan m=-2. | Garis yang ditanyakan. |
| Titik Potong dengan Sumbu X | (0, 0) | Substitusi y=0 ke dalam y = -2x. | Jawaban akhir dari soal. |
Verifikasi bisa dilakukan dengan dua cara. Pertama, pastikan titik (0,0) memang memenuhi persamaan y = -2x. Substitusi: 0 = -2*(0) → 0=0 (Benar). Kedua, kita bisa verifikasi bahwa garis y=-2x memang melalui titik awal (-2,4): 4 = -2*(-2) → 4=4 (Benar).
Sebagai perbandingan, metode alternatif lain adalah menggunakan bentuk persamaan garis implisit Ax + By + C = 0 dan syarat tegak lurus A1*A2 + B1*B2 =
0. Jika kita terapkan, dari garis x – 2y = 5 (A1=1, B1=-2), maka garis tegak lurusnya berbentuk 2x + y + C = 0 (karena 1*2 + (-2)*1 = 0). Masukkan titik (-2,4) untuk mencari C: 2*(-2) + 4 + C = 0 → C=0.
Hasilnya 2x + y = 0, yang setara dengan y = -2x. Hasilnya konsisten, mengonfirmasi bahwa perhitungan kita sudah tepat.
Penutupan
Jadi, begitulah ceritanya. Dari dua garis yang berpotongan, kita melahirkan garis baru yang punya hubungan khusus ‘tegak lurus’ dengan garis lain, dan akhirnya menemukan titik temu sang garis dengan sumbu X. Proses ini mengajarkan bahwa matematika seringkali adalah rangkaian teka-teki yang saling berkait; begitu satu bagian terpecahkan, jalan untuk bagian berikutnya pun terbuka lebar. Titik potong yang kita cari bukanlah akhir, melainkan sebuah bukti bahwa semua langkah logis dan perhitungan yang runut pasti membawa pada satu jawaban yang elegan.
Selamat, misi koordinatmu berhasil!
FAQ dan Solusi: Garis Yang Melalui Titik Potong Garis X + 2y = 6 Dan 3x + 2y = 2 Serta Tegak Lurus Garis X – 2y = 5 Memotong Sumbu X Di Titik
Apakah hasilnya akan sama jika saya menggunakan metode eliminasi bukan substitusi untuk mencari titik potong awal?
Ya, pasti sama. Baik metode eliminasi maupun substitusi adalah cara valid untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan akan menghasilkan titik potong (x, y) yang identik.
Bagaimana jika garis yang dicari sejajar, bukan tegak lurus, dengan garis x – 2y = 5?
Maka syaratnya adalah gradien garis baru (m_baru) harus sama dengan gradien garis x – 2y = 5. Seluruh langkah selanjutnya mengikuti pola yang sama, hanya nilai m_baru-nya yang berbeda.
Nah, kalau kita udah ketemu titik potong garis x + 2y = 6 dan 3x + 2y = 2, terus cari garis yang tegak lurus x – 2y = 5, pasti deh kita bisa tentukan di mana dia motong sumbu X. Proses aljabar kayak gini tuh mirip banget sama logika saat kita mau menentukan nilai x dalam soal taman persegi panjang yang kelilingnya nggak kurang dari 14 meter.
Intinya, setelah semua variabel dan persamaan beres, titik potong garis tadi di sumbu X pun akhirnya ketemu dengan jelas dan pasti.
Bisakah saya menulis persamaan garis baru dalam bentuk lain, seperti y = mx + c?
Tentu bisa! Bentuk umum Ax + By + C = 0, bentuk eksplisit y = mx + c, atau bahkan bentuk titik-gradien sama-sama benar. Pilih bentuk yang paling nyaman bagi Anda untuk langkah selanjutnya.
Apakah titik potong dengan sumbu X ini selalu ada untuk setiap garis?
Tidak selalu. Garis horizontal (sejajar sumbu X) memiliki gradien nol dan tidak akan memotong sumbu X kecuali berimpit dengannya. Garis yang kita cari di soal ini pasti memotong karena gradiennya tidak nol.
Adakah cara cepat untuk memeriksa kebenaran jawaban akhir?
Ada. Substitusikan koordinat titik potong dengan sumbu X (berbentuk (a, 0)) ke dalam persamaan garis baru. Jika ruas kiri dan kanan persamaan bernilai sama, maka jawaban Anda benar.
