Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22, maka rumus fungsi f(x) adalah teka-teki kecil yang menarik untuk dipecahkan. Ini bukan sekadar angka-angka acak, melainkan petunjuk berharga yang kalau dibaca dengan benar, bakal bikin kita nemu pola tersembunyi di balik rumus itu. Bayangin aja, kita dikasih kunci untuk buka dua pintu berbeda, dan tugas kita adalah nemuin bentuk master key-nya yang pas untuk semua situasi.
Nah, dalam dunia matematika yang terstruktur, soal seperti ini adalah latihan dasar yang powerful banget untuk melatih logika. Kita dikasih sampel data, trus diminta merekonstruksi rumus aslinya. Prosesnya seru, mirip lagi main detektif cari clue. Dari dua titik data itu, kita bisa menyusun cerita lengkap tentang bagaimana si fungsi ini berperilaku, seberapa curam grafiknya, dan di titik mana ia memotong sumbu.
Yuk, kita telusuri langkah-langkah jitunya.
Pengenalan Fungsi Linear
Source: co.id
Di dunia matematika yang terlihat rumit, sebenarnya ada pola-pola sederhana yang sangat dekat dengan keseharian kita. Salah satunya adalah fungsi linear. Bayangkan kamu naik taksi online. Tarif awalnya Rp10.000, lalu setiap kilometer ditambah Rp5.000. Hubungan antara jarak (x km) dan total bayar (f(x) rupiah) itu adalah contoh sempurna fungsi linear.
Rumus umumnya selalu berbentuk f(x) = ax + b. Di sini, ‘a’ adalah koefisien atau gradien. Dia menentukan seberapa curam garis grafiknya. Dalam konteks taksi, ‘a’ adalah tarif per kilometer. Sementara ‘b’ adalah konstanta, nilai tetap yang ada meskipun x-nya nol.
Dalam contoh taksi, ‘b’ adalah tarif awal yang harus dibayar sebelum mobil melaju.
Konsep Dasar dan Peran Koefisien, Fungsi f dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b, jika f(2) = 13 dan f(5) = 22, maka rumus fungsi f(x) adalah
Fungsi linear menggambarkan hubungan yang proporsional dan membentuk garis lurus ketika digambar dalam grafik kartesius. Keindahannya terletak pada kesederhanaannya. Nilai ‘a’ yang positif menunjukkan garis naik dari kiri ke kanan, seperti semakin jauh jarak, semakin besar biaya. Nilai ‘a’ negatif justru sebaliknya, misalnya seperti sisa kuota data yang semakin menyusut seiring waktu pemakaian. Konstanta ‘b’ memberitahu kita di titik mana garis itu memotong sumbu vertikal (sumbu y).
Memahami dua komponen ini adalah kunci untuk membongkar dan menyusun ulang rumus dari berbagai informasi yang diberikan.
Memahami Masalah dan Informasi yang Diberikan
Soal memberi kita dua petunjuk penting: ketika x = 2, hasil fungsinya adalah 13, ditulis f(2) = 13. Lalu, ketika x = 5, hasilnya 22, atau f(5) = 22. Dua titik data ini ibarat koordinat pada peta yang bisa kita gunakan untuk menemukan jalur garis lurus yang tepat. Langkah pertama adalah menerjemahkan petunjuk ini ke dalam bahasa persamaan matematika menggunakan rumus umum f(x) = ax + b.
Menerjemahkan Informasi ke Persamaan
Kita lakukan substitusi. Untuk f(2)=13, berarti kita ganti setiap ‘x’ dalam rumus dengan angka 2, sehingga menjadi a dikali 2 ditambah b sama dengan 13. Proses serupa dilakukan untuk informasi kedua. Dari sini, kita peroleh dua persamaan yang membentuk sistem. Untuk memvisualisasikan, tabel berikut bisa membantu melihat pola substitusinya.
| Nilai x yang Diketahui | Nilai f(x) yang Diketahui | Substitusi ke f(x)=ax+b | Persamaan yang Diperoleh |
|---|---|---|---|
| 2 | 13 | a(2) + b = 13 | 2a + b = 13 |
| 5 | 22 | a(5) + b = 22 | 5a + b = 22 |
Menyusun dan Menyelesaikan Sistem Persamaan
Dari tabel di atas, kita sekarang punya dua persamaan dengan dua variabel yang belum diketahui (a dan b). Ini persis seperti teka-teki yang butuh diselesaikan langkah demi langkah. Kita bisa memilih metode eliminasi (menghilangkan salah satu variabel) atau substitusi (mengganti satu variabel dengan ekspresi lainnya). Mari kita coba keduanya untuk pemahaman yang lebih komprehensif.
Proses Eliminasi dan Substitusi
Kita punya sistem persamaan:
(1) 2a + b = 13
(2) 5a + b = 22Nah, soal fungsi linear kayak f(x) = ax + b tuh seru banget buat diutak-atik. Dari data f(2)=13 dan f(5)=22, kita bisa temuin kalau rumusnya adalah f(x) = 3x + 7. Teknik substitusi yang sama juga bisa lo terapin buat ngerjain soal lain, kayak Fungsi g ditentukan dengan rumus g(x) = 3x – 2n. Jika g (4) = 6 maka nilai n =.
Intinya, dengan dua titik data, kamu pasti bisa menemukan pola dan jawaban, persis seperti cara kita menemukan f(x) = 3x + 7 tadi.
Dengan eliminasi, kita kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2) untuk menghilangkan ‘b’.
(5a + b)
-(2a + b) = 22 – 13
5a + b – 2a – b = 9
3a = 9
a = 3
Setelah mendapatkan a = 3, kita substitusi ke salah satu persamaan, misalnya persamaan (1).
2(3) + b = 13
6 + b = 13
b = 13 – 6
b = 7
Dengan metode substitusi, dari persamaan (1) kita dapatkan b = 13 – 2a. Lalu, ekspresi ini kita substitusi ke persamaan (2).
5a + (13 – 2a) = 22
5a + 13 – 2a = 22
3a + 13 = 22
3a = 9
a = 3
Kembali, substitusi a=3 untuk mendapatkan b=7. Kedua metode membawa kita pada hasil yang sama.
Verifikasi dan Penulisan Rumus Akhir
Sebelum kita umumkan rumus finalnya, penting untuk memastikan tidak ada kesalahan hitung. Verifikasi adalah ritual wajib yang menyelamatkan kita dari rasa malu karena jawaban yang meleset. Caranya mudah, masukkan kembali nilai a=3 dan b=7 yang kita temukan ke dalam kondisi awal soal.
Pengecekan Kebenaran dan Visualisasi Grafik
Untuk x=2: f(2) = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13 (Benar!). Untuk x=5: f(5) = 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22 (Benar!). Semua cocok. Jadi, rumus fungsi f(x) yang lengkap adalah:
f(x) = 3x + 7
Dengan rumus ini, kita bisa membayangkan grafiknya. Garis ini akan memotong sumbu y di titik (0, 7), karena itulah nilai b. Kemiringan atau gradiennya adalah 3, artinya untuk setiap kenaikan 1 unit ke kanan pada sumbu x, garis akan naik sebanyak 3 unit pada sumbu y. Garisnya akan condong tajam ke atas, mencerminkan pertumbuhan yang cukup cepat.
Penerapan dan Variasi Soal Serupa: Fungsi F Dinyatakan Dengan Rumus F(x) = Ax + B, Jika F(2) = 13 Dan F(5) = 22, Maka Rumus Fungsi F(x) Adalah
Pola soal seperti ini sangat umum. Kuncinya selalu sama: terjemahkan informasi menjadi persamaan, selesaikan sistemnya, verifikasi. Untuk mengasah kemampuan, coba latih dengan variasi angka dan cerita yang berbeda. Berikut beberapa contoh yang bisa kamu coba kerjakan.
Contoh Soal dan Strategi Umum
1. Diketahui f(1) = 5 dan f(3) = 11. Tentukan rumus f(x).
2. Sebuah fungsi linear g(x) memenuhi g(-1) = 4 dan g(2) = -5.
Carilah nilai g(0).
3. Harga sewa mobil plus sopir dinyatakan dengan fungsi h(t) = at + b, dengan t jam. Jika sewa 3 jam Rp550.000 dan 7 jam Rp950.000, tentukan tarif per jam dan tarif tetapnya.
Langkah baku penyelesaiannya selalu konsisten:
- Susun dua persamaan dari data yang diberikan (bentuk umum: ax + b = hasil).
- Pilih metode penyelesaian sistem persamaan (eliminasi/substitusi/campuran) yang paling nyaman.
- Cari nilai a terlebih dahulu, kemudian nilai b.
- Jangan lupa tulis rumus akhir dalam bentuk f(x) = ax + b.
- Selalu verifikasi dengan memasukkan data awal ke rumus akhir.
Hal yang Perlu Diperhatikan dan Kesalahan Umum
Beberapa jebakan sering terjadi. Pertama, kesalahan tanda saat operasi pengurangan dalam eliminasi. Kedua, salah mensubstitusi nilai yang sudah ditemukan. Ketiga, yang paling klasik, lupa melakukan verifikasi sehingga kesalahan kecil tidak terdeteksi. Perhatikan juga konsistensi variabel; pastikan kamu tidak tertukar antara nilai x dan nilai f(x).
Dengan kesadaran akan titik-titik rawan ini, proses menyelesaikan soal fungsi linear akan jadi lebih lancar dan minim salah.
Ringkasan Terakhir
Jadi, begitulah ceritanya. Dari dua petunjuk sederhana, f(2)=13 dan f(5)=22, kita berhasil mengungkap rahasia bahwa rumus fungsi tersebut adalah f(x) = 3x +
7. Prosesnya mengajarkan kita bahwa matematika seringkali tentang menyambungkan titik-titik, baik secara harfiah maupun figuratif. Setelah nemu jawabannya, jangan lupa buat cek ulang dengan mensubstitusi nilai x lainnya, biar benar-benar yakin kalau rumus ini memang solusi yang setia untuk semua kondisi yang diberikan.
Sekarang, dengan bekal ini, kamu sudah punya senjata untuk menghadapi variasi soal serupa yang mungkin tampak lebih rumit. Ingat polanya: susun persamaan, eliminasikan atau substitusikan, lalu verifikasi. Selamat mencoba!
FAQ dan Informasi Bermanfaat
Apakah nilai ‘a’ dan ‘b’ dalam fungsi linear selalu bilangan bulat?
Tidak selalu. Nilai ‘a’ (gradien) dan ‘b’ (konstanta) bisa berupa bilangan bulat, pecahan, desimal, atau bahkan bilangan irasional, tergantung data yang diberikan dalam soal.
Bagaimana jika informasi yang diberikan bukan f(2) dan f(5), melainkan titik potong grafik?
Prinsipnya sama. Jika diketahui titik potong sumbu y (0, b), maka nilai ‘b’ langsung didapat. Jika diketahui dua titik pada grafik, misal (x1, y1) dan (x2, y2), hitung gradien ‘a’ dengan rumus (y2 – y1)/(x2 – x1), lalu cari ‘b’.
Apakah metode ini hanya berlaku untuk fungsi linear atau bisa untuk jenis fungsi lain?
Nah, soal fungsi linear kayak f(x) = ax + b tuh prinsipnya mirip banget sama barisan aritmetika, di mana kita cari pola dari data yang ada. Kalau penasaran gimana cara cari suku ke-n dalam pola bilangan, coba deh lihat contoh konkritnya di Diketahui barisan aritmetika 55, 51, 47, 43, Suku kedua puluh enam barisan aritmetika tersebut adalah.
Konsep beda atau selisih yang konstan itu kunci utamanya, persis seperti saat kita mencari nilai a dan b dari f(2)=13 dan f(5)=22 untuk mendapatkan rumus fungsi yang akurat.
Metode menyusun sistem persamaan dari nilai fungsi ini bersifat umum. Namun, bentuk sistem persamaannya akan berbeda. Untuk fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c, minimal dibutuhkan tiga informasi untuk mencari tiga variabel a, b, dan c.
Apa arti praktis dari menemukan rumus fungsi f(x) ini dalam konteks nyata?
Misalnya, jika x adalah jumlah barang dan f(x) adalah total harga, maka rumus ini memungkinkan kita memprediksi harga untuk jumlah barang berapapun. Ini adalah model matematika sederhana untuk hubungan linear dalam ekonomi, sains, atau kehidupan sehari-hari.
