Diketahui barisan aritmetika 55, 51, 47, 43, Suku kedua puluh enam barisan aritmetika tersebut adalah – Diketahui barisan aritmetika 55, 51, 47, 43, Suku kedua puluh enam barisan aritmetika tersebut adalah sebuah teka-teki angka yang menarik untuk dipecahkan. Barisan ini bukan sekadar deret angka acak, melainkan sebuah pola yang teratur dan bisa diprediksi, mirip seperti ritme dalam musik atau langkah-langkah sistematis dalam sebuah rencana. Mari kita telusuri bersama bagaimana angka-angka yang tampaknya sederhana ini menyimpan sebuah rumus rahasia yang akan membawa kita pada jawaban yang tepat.
Barisan aritmetika seperti ini sebenarnya sering kita jumpai dalam keseharian, misalnya dalam pengurangan saldo tabungan yang tetap setiap bulan atau penyusutan nilai sebuah barang. Polanya yang konsisten membuatnya mudah untuk dipelajari. Dari empat angka awal yang diberikan, kita bisa mengidentifikasi karakter utama dalam cerita ini: suku pertama dan selisih antar angkanya, yang menjadi kunci untuk membuka semua misteri suku-suku berikutnya, termasuk sang target, suku ke-26.
Nah, buat yang lagi serius ngulik barisan aritmetika kayak 55, 51, 47, 43, buat cari suku ke-26, prinsipnya mirip dengan nalar logika sistem persamaan. Coba deh tengok soal Tentukan selesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut y = 2x – 2 y = 2x + 9 itu, memahami ketiadaan solusi di sana justru bikin kamu makin jago analisis pola.
Jadi, setelah paham konsep itu, balik lagi ke barisan aritmetika tadi, pasti lebih mudah menemukan suku yang ditanya dengan rumus yang tepat.
Pengenalan Barisan Aritmetika
Dalam dunia matematika yang teratur, ada pola-pola indah yang membuat hal-hal rumit menjadi mudah diprediksi. Salah satunya adalah barisan aritmetika. Secara sederhana, barisan aritmetika adalah daftar bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tetap inilah yang disebut “beda” (biasa disimbolkan dengan ‘b’). Suku pertama dalam barisan ini disebut “suku pertama” (a).
Konsep ini bukan cuma teori; ia hidup dalam keseharian kita. Misalnya, pengurangan saldo tabungan dengan penarikan rutin yang sama setiap bulan, atau penyusutan nilai buku yang diterbitkan setiap tahun dengan jumlah yang konstan.
Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas, berikut beberapa contoh barisan aritmetika dalam berbagai konteks.
Contoh Barisan Aritmetika dalam Berbagai Konteks
Source: googleusercontent.com
Tabel berikut menyajikan beberapa contoh untuk melihat pola barisan aritmetika dari sudut yang berbeda, lengkap dengan suku pertama, beda, dan rumus umumnya.
| Contoh Konteks | Suku Pertama (a) | Beda (b) | Pola Umum Suku ke-n (Uₙ) |
|---|---|---|---|
| Menabung Rp 10.000, lalu tambah Rp 5.000 setiap minggu | 10.000 | +5.000 | Uₙ = 10.000 + (n-1)5.000 |
| Penurunan harga motor 2 juta per tahun dari harga baru 50 juta | 50.000.000 | -2.000.000 | Uₙ = 50.000.000 + (n-1)(-2.000.000) |
| Anak tangga dengan ketinggian 20 cm, selisih antar anak tangga 15 cm | 20 | +15 | Uₙ = 20 + (n-1)15 |
| Target push up harian dimulai 5 kali, ditambah 2 kali setiap hari | 5 | +2 | Uₙ = 5 + (n-1)2 |
Mengurai Pola Barisan pada Soal
Mari kita telisik barisan dari soal: 55, 51, 47, 43. Barisan ini terlihat semakin mengecil, yang langsung memberi petunjuk bahwa bedanya negatif. Suku pertama, yang menjadi titik awal segala perhitungan, adalah 55. Untuk menemukan beda, kita cukup mengurangkan suku kedua dengan suku pertama, atau suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya. Hasilnya akan selalu konsisten.
Identifikasi Suku Pertama dan Beda
Dari barisan 55, 51, 47, 43, kita dapat mengidentifikasi dengan pasti:
Suku pertama (a) = 55.
Beda (b) = U₂
-U₁ = 51 – 55 = –
4. Pembuktian: U₃
-U₂ = 47 – 51 = -4. Nilainya tetap.
Dengan dua informasi kunci ini, kita sudah bisa merumuskan persamaan khusus untuk barisan ini.
Rumus suku ke-n barisan aritmetika secara umum adalah Uₙ = a + (n-1)b. Untuk barisan kita, rumus spesifiknya menjadi Uₙ = 55 + (n-1)(-4).
Menghitung Suku Kedua Puluh Enam
Setelah rumus spesifik didapat, menghitung suku ke-26 hanyalah masalah substitusi yang runut. Ini adalah inti dari keindahan barisan aritmetika: prediksi yang akurat untuk suku yang sangat jauh sekalipun, tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya. Proses perhitungannya membutuhkan ketelitian, terutama dalam operasi bilangan negatif.
Langkah-langkah Perhitungan U₂₆
Berikut adalah proses detail perhitungan untuk menemukan nilai suku kedua puluh enam.
Rumus Umum: Uₙ = a + (n-1)bRumus Spesifik Soal: Uₙ = 55 + (n-1)(-4)Langkah 1: Substitusi n = 26 ke dalam rumus.U₂₆ = 55 + (26 – 1)(-4)Langkah 2: Selesaikan operasi dalam kurung.U₂₆ = 55 + (25)(-4)Langkah 3: Lakukan perkalian.U₂₆ = 55 + (-100)Langkah 4: Lakukan penjumlahan.U₂₆ = 55 – 100 = -45Jadi, nilai suku kedua puluh enam (U₂₆) adalah -45.
Memaknai Nilai Suku dalam Visualisasi: Diketahui Barisan Aritmetika 55, 51, 47, 43, Suku Kedua Puluh Enam Barisan Aritmetika Tersebut Adalah
Nilai -45 untuk U₂₆ bukan sekadar angka. Bayangkan sebuah garis bilangan. Titik awal kita di 55 (suku pertama). Karena bedanya -4, kita melangkah ke kiri sebanyak 4 unit untuk setiap suku berikutnya. Setelah 25 langkah (dari suku pertama ke suku ke-26), kita telah bergerak 100 unit ke kiri (25 x -4).
Posisi akhir kita jauh melampaui nol, hingga ke wilayah bilangan negatif di -45. Ini menggambarkan bagaimana pola penurunan yang konsisten dapat membawa kita ke nilai yang tak terduga jika diteruskan.
Perbandingan Nilai Beberapa Suku
Membandingkan nilai suku ke-26 dengan beberapa suku sebelumnya membantu kita memahami kecepatan penurunannya. Berikut perbandingannya dalam bentuk tabel.
| Suku ke-n (n) | Rumus Perhitungan | Hasil (Uₙ) | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | 55 + (0)(-4) = 55 | 55 | Titik awal, bilangan positif besar. |
| 10 | 55 + (9)(-4) = 55 – 36 | 19 | Masih positif, tetapi sudah mengecil signifikan. |
| 20 | 55 + (19)(-4) = 55 – 76 | -21 | Telah memasuki wilayah bilangan negatif. |
| 26 | 55 + (25)(-4) = 55 – 100 | -45 | Nilai negatif yang semakin dalam. |
Eksplorasi Variasi dan Pembuktian
Penguasaan konsek teruji ketika kita bisa menerapkannya pada soal baru dan memverifikasi kebenaran jawaban. Membuat variasi soal adalah latihan yang baik untuk mengasah pemahaman tentang bagaimana perubahan suku pertama dan beda mempengaruhi barisan. Selain itu, membayangkan kelanjutan barisan hingga suku yang sangat jauh memberikan wawasan tentang perilaku pola ini dalam jangka panjang.
Variasi Soal Latihan, Diketahui barisan aritmetika 55, 51, 47, 43, Suku kedua puluh enam barisan aritmetika tersebut adalah
Berikut tiga contoh variasi soal untuk melatih pemahaman tentang barisan aritmetika menurun:
1. Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 100 dan beda -7. Tentukan suku ke-15.
2. Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 30 dan suku ke-9 adalah 14.
Tentukan suku pertama dan bedanya, lalu hitung suku ke-25.
3. Dalam suatu permainan, poin pemain berkurang 12 poin setiap level. Jika di level 1 poinnya 500, pada level berapa poinnya pertama kali menjadi negatif?
Untuk membuktikan kebenaran perhitungan U₂₆ = -45, kita bisa mensubstitusikan kembali nilai ini ke dalam konteks rumus. Jika rumus Uₙ = 55 + (n-1)(-4) benar, maka ketika Uₙ = -45, nilai n yang memenuhi haruslah
26. Pembuktian: -45 = 55 + (n-1)(-4) -> -100 = (n-1)(-4) -> n-1 = 25 -> n = 26. Terbukti.
Jika barisan 55, 51, 47, 43,… diteruskan hingga suku ke-50, nilainya akan semakin negatif. Perhitungannya: U₅₀ = 55 + (49)(-4) = 55 – 196 = -141. Pola ini menunjukkan bahwa tanpa ada perubahan, nilai suku akan terus turun tak terbatas ke arah negatif.
Aplikasi dalam Kehidupan Nyata
Barisan aritmetika menurun seperti pada soal bukanlah abstraksi semata. Ia adalah model matematis sederhana yang powerful untuk berbagai fenomena di sekitar kita. Misalnya, penyusutan nilai aset tetap (depresiasi) dengan metode garis lurus, dimana nilai barang berkurang dengan jumlah yang sama setiap tahun. Contoh lain adalah pengurangan stok barang yang terjual dengan jumlah konstan per hari, atau penurunan tinggi permukaan air dalam tangki yang bocor dengan laju konstan.
Skenario Penyusutan Nilai Kendaraan
Bayangkan sebuah sepeda motor dibeli dengan harga Rp 20.000.000. Motor tersebut mengalami penyusutan nilai (depresiasi) sebesar Rp 1.200.000 per tahun. Kita ingin mengetahui nilai motor tersebut pada akhir tahun ke-8. Situasi ini dapat dimodelkan dengan barisan aritmetika menurun.
Prosedur penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- Identifikasi suku pertama (a) sebagai harga awal, yaitu Rp 20.000.000.
- Identifikasi beda (b) sebagai penyusutan tahunan, yaitu -Rp 1.200.000 (negatif karena menurun).
- Tentukan n yang dimaksud. Akhir tahun ke-8 berarti n = 8.
- Gunakan rumus Uₙ = a + (n-1)b. Substitusi nilai: U₈ = 20.000.000 + (7)(-1.200.000).
- Hitung: U₈ = 20.000.000 – 8.400.000 = Rp 11.600.000.
- Interpretasi: Nilai motor pada akhir tahun ke-8 diperkirakan menjadi Rp 11.600.000.
Penutupan
Jadi, setelah melalui proses identifikasi dan perhitungan, kita berhasil mengungkap bahwa suku ke-26 dari barisan tersebut adalah –
45. Nilai negatif ini memberikan sebuah insight menarik: pola penurunan yang konsisten lambat laun akan membawa kita ke wilayah angka negatif. Ini membuktikan bahwa memahami rumus dasar bukanlah akhir, melainkan awal untuk menganalisis perilaku suatu pola dalam jangka panjang. Coba bayangkan, jika pola ini terus berlanjut, ke mana lagi perjalanan angka ini akan membawa kita?
Maka, jangan pernah anggap remeh deret angka yang terlihat monoton. Di baliknya, ada logika yang elegan dan aplikasi yang luas menanti untuk dieksplorasi. Sekarang, cobalah terapkan pemahaman ini pada situasi nyata di sekitarmu. Siapa tahu, kamu akan menemukan pola aritmetika tersembunyi dalam hal-hal yang paling tak terduga.
Nah, buat yang lagi pusing cari suku ke-26 dari barisan 55, 51, 47, 43, tenang aja. Rumusnya sederhana kok, mirip kayak prinsip nyari Pecahan yang senilai 3/20 adalah yang butuh pengali yang tepat. Setelah paham konsep dasarnya, kamu pasti bisa langsung jawab kalo suku ke-26 itu nilainya -45. Gampang, kan?
Pertanyaan Populer dan Jawabannya
Apakah beda barisan ini selalu negatif?
Tidak selalu. Pada soal ini, bedanya negatif (-4) karena barisannya menurun. Barisan aritmetika bisa naik (beda positif) atau turun (beda negatif).
Bagaimana jika yang ditanya adalah suku ke-100, apakah rumusnya tetap sama?
Ya, rumus umum Un = a + (n-1)b berlaku untuk suku ke berapa pun. Tinggal ganti ‘n’ dengan 100, lalu hitung.
Apakah ada cara lain mencari suku ke-n selain menggunakan rumus itu?
Ada, misalnya dengan menjumlahkan beda secara berulang, tetapi sangat tidak efisien untuk suku yang besar. Rumus adalah cara paling cepat dan akurat.
Nilai suku bisa menjadi negatif seperti hasil -45, apakah itu wajar?
Sangat wajar. Dalam konteks matematika murni, suku barisan bisa bernilai negatif, terutama pada barisan turun yang diteruskan. Dalam konteks nyata (seperti jumlah stok), nilai negatif mungkin menandakan defisit atau kekurangan.
Apakah barisan 55, 51, 47, 43 ini bisa disebut barisan bilangan?
Ya, tentu. Ini adalah salah satu contoh spesifik dari barisan bilangan, tepatnya barisan bilangan aritmetika karena memiliki selisih yang tetap antar sukunya.
