Tinggi dari balon udara dalam x waktu dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x) = -16x^2 + 112x – 91 meter. Tentukan tinggi maksimum balon udara. Nah, kalau lihat soal kayak gini, jangan langsung panik dan bingung. Ini sebenarnya cerita tentang bagaimana kita bisa membaca kisah penerbangan sebuah balon hanya dari deretan angka dan variabel. Bayangkan saja, setiap detik waktunya punya cerita ketinggiannya sendiri, dan kita cuma perlu tahu trik kecil untuk menemukan momen puncaknya.
Fungsi kuadrat itu seperti peta harta karun untuk gerakan balon. Angka-angka di dalamnya, seperti -16, 112, dan -91, bukan sekadar bilangan biasa. Mereka adalah kode rahasia yang memberitahu kita seberapa cepat balon naik, kapan ia melambat, dan di titik mana ia mencapai kejayaannya sebelum akhirnya pelan-pelan turun lagi. Mari kita bongkar kodenya dan temukan jawabannya dengan cara yang sesimpel mungkin.
Memahami Fungsi Ketinggian Balon
Bayangkan kita sedang menyaksikan sebuah balon udara yang baru saja diluncurkan. Gerakannya naik, mencapai puncak tertinggi, lalu perlahan turun kembali ke bumi. Kisah perjalanan vertikal yang elegan ini ternyata bisa kita rekam dengan bahasa matematika, tepatnya melalui fungsi kuadrat f(x) = -16x2 + 112x – 91 . Di sini, x mewakili waktu dalam satuan tertentu (biasanya detik), sementara f(x) adalah ketinggian balon dalam meter pada waktu x tersebut.
Nah, kalau kamu lagi hitung tinggi maksimum balon udara dari fungsi f(x) = -16x² + 112x – 91, intinya kan cari puncak parabola. Gak beda jauh dengan logika soal cerita kayak Pada saat ini, usia seorang kakek adalah kuadrat dari usia cucunya. Jika 4 tahun yang lalu usia kakek tersebut adalah 15 kali usia cucunya, tentukan yang butuh pemodelan matematika.
Jadi, setelah paham cara menyusun persamaan, balik lagi ke soal balon tadi, tinggi maksimumnya bisa ditemukan dengan rumus -D/4a atau pakai turunan, deh.
Mari kita bedah makna di balik angka-angka ini.
Jika kita bandingkan dengan bentuk umum fungsi kuadrat ax2 + bx + c , maka kita dapat dengan mudah mengidentifikasi nilai konstantanya: a = -16, b = 112, dan c = -91. Koefisien a yang bernilai negatif adalah kunci cerita. Angka negatif ini memberitahu kita bahwa grafik fungsi ini berbentuk parabola yang cekung ke bawah, seperti sebuah bukit atau lengkungan yang membalik.
Ini sangat masuk akal karena menggambarkan gerak balon yang naik lalu turun, bukan turun lalu naik. Konstanta c = -91 adalah ketinggian balon pada saat waktu nol ( x=0), yang bisa kita artikan sebagai ketinggian awal dari titik tertentu (mungkin ketinggian peluncuran dari tanah).
Arti Koefisien dalam Gerak Parabola, Tinggi dari balon udara dalam x waktu dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi f(x) = -16x^2 + 112x – 91 meter. Tentukan tinggi maksimum balon udara.
Source: slidesharecdn.com
Dalam konteks fisika gerak, khususnya gerak parabola atau benda yang dilempar ke atas, koefisien -16 sering kali diasosiasikan dengan setengah dari percepatan gravitasi dalam satuan kaki/detik 2. Namun, karena satuan ketinggian di sini adalah meter, kita memaknainya sebagai sebuah konstanta yang merepresentasikan pengaruh gravitasi terhadap perlambatan gerak naik dan percepatan gerak turun balon. Koefisien b = 112 berkaitan dengan kecepatan awal komponen vertikal balon, sementara konstanta c menandai titik awal.
Kombinasi ketiganya membentuk narasi lengkap sebuah penerbangan.
Konsep Titik Maksimum dalam Parabola
Karena parabola kita cekung ke bawah (ingat, nilai a negatif), maka puncak parabola tersebut merupakan titik tertinggi, atau dalam istilah matematika disebut titik maksimum. Ini adalah momen puncak dramatis dimana balon berhenti sejenak di udara sebelum akhirnya menyerah pada gravitasi. Untuk menemukan momen bersejarah ini, kita perlu menemukan sumbu simetri parabola terlebih dahulu.
Sumbu simetri adalah garis vertikal imajiner yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris sempurna. Titik puncak pasti terletak di garis ini. Rumus untuk mencari sumbu simetri, yang juga memberi kita nilai x saat ketinggian maksimum tercapai, adalah:
x = -b / 2a
Dengan memasukkan nilai a = -16 dan b = 112 yang sudah kita ketahui, perhitungannya menjadi:
x = -112 / (2
-16) = -112 / -32 = 3.5
Hasil perhitungan ini mengungkap sebuah informasi penting: balon udara mencapai puncak ketinggiannya tepat pada detik ke-3.5 setelah diluncurkan. Waktu setengah detik ini menunjukkan presisi matematika dalam menggambarkan fenomena alam.
Menghitung Tinggi Maksimum Balon Udara
Sekarang kita tahu kapan balon mencapai puncaknya. Pertanyaan selanjutnya adalah: seberapa tinggi dia melambung? Untuk menjawabnya, kita tinggal mensubstitusikan nilai x = 3.5 ke dalam fungsi ketinggian awal f(x) = -16x2 + 112x – 91 . Mari kita lakukan perhitungan langkah demi langkah.
Pertama, hitung nilai x 2: 3.5 2 = 12.
25. Kemudian kalikan dengan -16: -16
– 12.25 = -196. Selanjutnya, hitung 112
– 3.5 =
392. Sekarang kita susun: f(3.5) = -196 + 392 –
91.
Lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan: -196 + 392 = 196, lalu 196 – 91 = 105.
Ada juga cara alternatif yang elegan menggunakan nilai Diskriminan (D), dimana D = b 2
-4ac. Rumus tinggi maksimumnya adalah f(x) maks = D / -4a. Mari kita buktikan. Hitung D terlebih dahulu: D = (112) 2
-4*(-16)*(-91) = 12544 – 5824 = 6720. Kemudian, f(x) maks = 6720 / (-4
– -16) = 6720 / 64 = 105.
Hasilnya sama persis. Untuk memudahkan pemahaman, berikut ringkasan langkah-langkah kuncinya.
| Langkah Kunci | Rumus | Substitusi Nilai | Hasil Akhir |
|---|---|---|---|
| Mencari Waktu Puncak | x = -b / 2a | x = -112 / (2 – -16) | x = 3.5 detik |
| Menghitung Tinggi Maksimum (Substitusi) | f(x) = -16x2+112x-91 | f(3.5) = -16*(12.25)+112*(3.5)-91 | 105 meter |
| Menghitung Tinggi Maksimum (Rumus Diskriminan) | f(x)maks = D / -4a, D=b2-4ac | D=6720, f(x)maks=6720/64 | 105 meter |
Interpretasi Hasil dalam Konteks Nyata: Tinggi Dari Balon Udara Dalam X Waktu Dapat Dinyatakan Dalam Bentuk Fungsi F(x) = -16x^2 + 112x – 91 Meter. Tentukan Tinggi Maksimum Balon Udara.
Dari perhitungan matematis yang ketat, kita mendapatkan sepasang angka: (3.5, 105). Dalam narasi penerbangan balon kita, pasangan ini adalah klimaks. Artinya, pada detik ke-3.5 setelah diluncurkan, balon udara berada di puncak ketinggian 105 meter dari titik acuan yang sama dengan ketinggian awal. Ini adalah momen keagungan sekaligus titik balik.
Lalu, kapan balon berada di atas ketinggian awalnya? Ketinggian awal (saat x=0) adalah f(0) = -91 meter. Untuk menemukan interval waktu di mana balon lebih tinggi dari -91 meter, kita perlu mencari kapan fungsi f(x) > -91. Namun, interpretasi yang lebih intuitif adalah dengan mencari kapan balon berada di atas “tanah” atau titik nol. Itu terjadi ketika f(x) > 0, yaitu antara dua akar persamaan -16x 2+112x-91=0.
Nah, kalau kamu lagi berusaha cari tinggi maksimum balon udara dari fungsi f(x) = -16x² + 112x – 91, intinya sih cari puncak parabola. Teknik aljabar dan logika yang serupa juga bisa kamu terapkan untuk menyelesaikan soal lain, kayak teka-teki tentang Keliling sebuah persegi panjang adalah 46 cm. Jika panjangnya dikurangi 3 cm dan lebarnya ditambah 4 cm, bangun tersebut menjadi persegi.
Tentukan pan itu. Jadi, setelah memahami cara menyusun persamaan di soal persegi panjang, kamu pasti lebih mudah menemukan vertex fungsi kuadrat untuk mendapatkan tinggi balon yang paling mentok di udara.
Setelah dihitung, kedua akarnya kira-kira di x≈0.95 dan x≈5.95. Artinya, balon berada di atas ketinggian 0 meter antara detik ke-0.95 hingga detik ke-5.95.
Pencapaian tinggi maksimum 105 meter pada detik ke-3.5 bukan hanya angka. Ia adalah bukti keseimbangan sempurna antara daya dorong ke atas dan tarikan gravitasi ke bawah. Sesaat setelah itu, perjalanan pun berlanjut dengan hukum alam yang tak terbantahkan.
Visualisasi dan Aplikasi Grafik
Membayangkan grafik fungsi ini akan memperdalam pemahaman. Parabola tersebut akan terlihat seperti sebuah bukit yang landai. Grafik memotong sumbu-y di titik (0, -91), yang merupakan titik start. Dia kemudian naik, melengkung, dan mencapai puncaknya di titik koordinat (3.5, 105). Setelah melewati puncak, grafik turun dan akhirnya memotong sumbu-x (ketinggian nol) di dua titik, yaitu sekitar x=0.95 dan x=5.95, yang menandai awal dan akhir momen balon berada di atas tanah.
Grafik kemudian terus turun tak terhingga.
Jika kita ingin membuat sketsa grafik ini untuk keperluan presentasi atau analisis visual, pastikan untuk menandai beberapa elemen kritis:
- Titik potong sumbu-y: (0, -91).
- Titik puncak (maksimum): (3.5, 105).
- Titik potong sumbu-x (akar-akar): sekitar (0.95, 0) dan (5.95, 0).
- Arah parabola: terbuka ke bawah.
- Sumbu simetri: garis vertikal x = 3.5.
Kekuatan dari model matematika ini adalah kemampuannya untuk memprediksi. Dengan grafik atau fungsi f(x), kita bisa menjawab pertanyaan praktis tanpa perlu menunggu balon terbang. Misalnya, berapa ketinggian balon pada detik ke-2? Cukup hitung f(2). Kapan balon berada pada ketinggian 50 meter?
Kita selesaikan persamaan -16x 2+112x-91 =
50. Bentuk grafik parabola memberikan kita gambaran menyeluruh tidak hanya tentang puncak, tetapi tentang seluruh perjalanan, dari awal, klimaks, hingga akhir.
Pemungkas
Jadi, begitulah ceritanya. Dari sebuah persamaan yang tampak abstrak, kita berhasil mengungkap momen spektakuler balon udara: mencapai puncak 105 meter di detik ke-3,5. Ini bukan cuma angka mati, tapi sebuah snapshot dari sebuah pencapaian. Pelajaran yang bisa dibawa pulang? Matematika seringkali adalah bahasa terbaik untuk mendeskripsikan keindahan dan presisi di dunia nyata.
Sekarang, kalau kamu lihat balon lagi, mungkin kamu bisa membayangkan parabola indah yang dilukisnya di langit. Selamat, kamu sudah berhasil memecahkan misteri ketinggiannya!
FAQ Terperinci
Apa arti angka -91 di akhir fungsi f(x) tersebut?
Angka -91 mewakili tinggi awal balon (dalam meter) pada waktu x=0 atau saat awal pengamatan. Dalam konteks ini, kemungkinan balon mulai dari posisi yang lebih rendah dari titik acuan tertentu (misalnya permukaan tanah), atau pengamatannya dimulai setelah balon sudah bergerak.
Apakah balon udara ini nyata? Kenapa koefisiennya -16?
Fungsi ini adalah model matematika. Koefisien -16 (setara dengan -½
– 32) sering digunakan dalam model fisika sederhana untuk gerakan parabola di mana percepatan gravitasi diasumsikan 32 kaki/detik². Di sini sudah dikonversi ke dalam satuan meter, menunjukkan ini adalah penyederhanaan untuk tujuan pembelajaran.
Setelah mencapai tinggi maksimum, kapan balon akan menyentuh tanah?
Untuk mengetahuinya, kita harus menyelesaikan persamaan f(x)=0, yaitu -16x^2 + 112x – 91 = 0. Dengan rumus ABC, akan ditemukan dua nilai x (waktu) positif. Nilai x yang lebih besar menunjukkan saat balon kembali ke ketinggian nald (misalnya tanah). Perhitungannya melibatkan diskriminan.
Bisakah kita mencari tinggi maksimum tanpa rumus sumbu simetri?
Bisa, dengan metode alternatif menggunakan diskriminan. Rumusnya adalah tinggi maksimum = (D / -4a), di mana D = b²
-4ac. Untuk fungsi ini, D = 112²
-4*(-16)*(-91) = 6720. Maka tinggi maks = 6720 / ( -4
– (-16) ) = 6720 / 64 = 105 meter. Hasilnya sama.
Bagaimana bentuk grafik fungsi ini dan apa yang bisa kita baca?
Grafiknya berbentuk parabola yang terbuka ke bawah (seperti gunung terbalik) karena koefisien x² negatif. Titik puncaknya adalah (3.5, 105). Grafik ini memotong sumbu-y di (0, -91) dan memotong sumbu-x di dua titik yang menunjukkan waktu saat balon lepas landas dan mendarat (jika ketinggian 0 dianggap sebagai tanah).
