Rumus suku ke-n barisan bilangan: 1/2, 3/5, 5/8, 7/11, . adalah ,,,, – Rumus suku ke-n barisan bilangan: 1/2, 3/5, 5/8, 7/11, . adalah kunci untuk membuka semua misteri pola yang tersembunyi di balik deretan angka-angka itu. Kalau kamu lihat sekilas, barisan ini kayak teka-teki yang sengaja dibuat untuk menguji ketelitian. Tapi jangan khawatir, mencari rumusnya itu sebenarnya seru banget, seperti main detektif matematika. Kita cuma perlu mengamati dengan saksama, lalu pola yang awalnya terlihat acak itu pelan-pelan akan menunjukkan jati dirinya yang sebenarnya.
Pembilangnya mulai dari 1, lalu 3, 5, 7—jelas ini deret bilangan ganjil yang rapi. Sementara penyebutnya, 2, 5, 8, 11, punya selisih tetap tiga. Dari dua pengamatan sederhana ini, kita bisa menyusun sebuah formula sakti yang bisa menghitung suku ke-100 bahkan ke-1000 hanya dalam sekejap. Proses menemukannya itu yang bikin puas, karena kita bukan cuma menghafal rumus, tapi benar-benar paham dari mana asal muasalnya.
Memahami Pola Barisan Bilangan
Mari kita berkenalan dengan barisan bilangan yang menarik ini: 1/2, 3/5, 5/8, 7/
11. Sekilas, ini adalah deretan pecahan. Kunci utama untuk menguasai rumus suku ke-n adalah dengan memisahkan dan mengamati dua komponennya: si pembilang (angka atas) dan si penyebut (angka bawah). Pendekatan ini seperti mengurai benang kusut, kita selesaikan satu per satu agar semuanya menjadi jelas dan terstruktur.
Langkah sistematisnya dimulai dengan menuliskan suku-suku tersebut beserta nomor urutnya. Perhatikan baik-baik bagaimana angka-angka itu berubah dari satu suku ke suku berikutnya. Untuk pembilang, terlihat loncatan: 1, 3, 5, 7. Ini adalah deret bilangan ganjil berurutan. Sementara di bagian penyebut, polanya adalah 2, 5, 8, 11—di mana setiap angka bertambah 3.
Dengan mengidentifikasi pola terpisah ini, kita sudah membuka 50% misteri rumusnya.
Analisis Pola Pembilang dan Penyebut
Source: kompas.com
Untuk memvisualisasikan pola dengan lebih rapi, mari kita lihat tabel berikut. Tabel ini akan membandingkan posisi suku (n), nilai pembilang dan penyebut yang teramati, serta rumus sementara yang mungkin kita dapatkan untuk masing-masing komponen.
| Suku ke-n (n) | Pembilang (a_n) | Penyebut (b_n) | Pola Teramati |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | Suku pertama sebagai acuan |
| 2 | 3 | 5 | Pembilang +2, Penyebut +3 |
| 3 | 5 | 8 | Pola kenaikan konsisten |
| 4 | 7 | 11 | Pembilang: bilangan ganjil; Penyebut: +3 tiap suku |
Hubungan antara nomor suku (n) dengan nilai pembilang dan penyebut bersifat linear atau lurus. Artinya, kita bisa menyatakannya dalam bentuk rumus Un = a + (n-1)b, yang merupakan ciri khas barisan aritmatika. Untuk pembilang, suku pertama (a) adalah 1 dan beda (b) antar sukunya adalah 2. Untuk penyebut, suku pertamanya 2 dengan beda 3. Pemisahan analisis ini sangat krusial.
Bayangkan sebuah diagram garis bilangan ganda. Garis atas diisi oleh bilangan ganjil 1, 3, 5, 7 yang masing-masing tepat berada di atas titik 2, 5, 8, 11 pada garis bawah. Jarak antar titik di garis atas adalah 2 satuan, sedangkan di garis bawah adalah 3 satuan. Visual ini menggambarkan dengan jelas bagaimana kedua komponen itu bergerak bersama namun dengan “kecepatan” penambahan yang berbeda, membentuk pasangan pecahan yang harmonis.
Menurunkan Rumus Pembilang dan Penyebut
Setelah pola teridentifikasi, saatnya kita merumuskan hukumnya. Proses ini mirip seperti menemukan resep rahasia dari sebuah hidangan. Kita tahu bahan-bahannya (pola), sekarang kita tuliskan takaran pastinya (rumus) agar bisa direproduksi untuk suku ke berapa pun, bahkan suku ke-1000 sekalipun.
Kita akan menangani pembilang dan penyebut secara terpisah. Ingat, keduanya adalah barisan aritmatika sederhana. Fokus kita adalah mengubah pengamatan menjadi sebuah persamaan matematis yang elegan dan siap pakai.
Proses Penemuan Rumus Bagian
Mari kita jabarkan prosesnya langkah demi langkah. Pertama, kita tuntaskan dulu urusan si pembilang. Barisan pembilangnya adalah 1, 3, 5,
7. Ini jelas barisan aritmatika dengan suku awal 1 dan beda
2. Rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika adalah:
U_n = a + (n – 1) – b
Dengan a = 1 dan b = 2, maka rumus pembilang (misalkan kita sebut P_n) adalah:
P_n = 1 + (n – 1)
– 2 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1.
Sederhana, bukan? Pembilang untuk suku ke-n ternyata adalah “2n dikurangi 1”.
Selanjutnya, kita beralih ke penyebut. Barisannya: 2, 5, 8,
11. Suku awal (a) = 2, beda (b) =
3. Kita terapkan rumus yang sama:
Penyebut ke-n (sebut saja Q_n) = 2 + (n – 1)
– 3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1.
Hasilnya, penyebutnya adalah “3n dikurangi 1”.
- Langkah pertama: Tentukan rumus terpisah untuk pembilang (P_n = 2n – 1).
- Langkah kedua: Tentukan rumus terpisah untuk penyebut (Q_n = 3n – 1).
- Langkah ketiga: Gabungkan kedua rumus bagian tersebut menjadi satu formula utuh untuk suku ke-n (U_n) barisan pecahan. Hasil penggabungannya adalah U_n = P_n / Q_n = (2n – 1) / (3n – 1).
Mari kita demonstrasikan substitusi cepat untuk memverifikasi. Untuk suku ke-1 (n=1): Pembilang = 2(1)-1 = 1; Penyebut = 3(1)-1 =
2. Hasil: 1/2 (sesuai!). Untuk suku ke-4 (n=4): Pembilang = 2(4)-1=7; Penyebut = 3(4)-1=
11. Hasil: 7/11 (sempurna!).
Rumus kita bekerja dengan baik.
Verifikasi Rumus Suku Ke-n
Rumus yang bagus bukan hanya yang terlihat elegan di atas kertas, tapi juga yang tahan uji ketika diberi berbagai nilai. Verifikasi adalah ritual wajib untuk memastikan kita tidak melakukan kesalahan kecil yang berakibat besar. Dengan menguji rumus (2n-1)/(3n-1) untuk beberapa nilai n, kita akan membangun keyakinan penuh terhadap keabsahannya.
Kita akan menghitung suku ke-5, ke-6, dan ke-10 sebagai bentuk uji coba. Setelah itu, kita bandingkan dengan kelanjutan pola dari empat suku yang sudah kita ketahui. Konsistensi adalah kunci dari setiap rumus matematika yang valid.
Pengujian dan Pemeriksaan Konsistensi, Rumus suku ke-n barisan bilangan: 1/2, 3/5, 5/8, 7/11, . adalah ,,,,
Mari kita hitung bersama. Untuk suku ke-5 (n=5): U_5 = (2*5 – 1) / (3*5 – 1) = (10-1)/(15-1) = 9/
14. Jika kita lanjutkan pola awal: setelah 7/11, pembilang seharusnya 9 dan penyebut
14. Cocok! Untuk suku ke-6: U_6 = (12-1)/(18-1)=11/
17. Suku ke-10: U_10 = (20-1)/(30-1)=19/29.
Semua hasilnya adalah pecahan dengan pembilang bilangan ganjil dan penyebut yang berselisih 3 dari suku sebelumnya, membuktikan rumus kita akurat.
Verifikasi Detail Suku ke-8:n = 8Pembilang, P_8 = 2n – 1 = 2(8) – 1 = 16 – 1 = 15.Penyebut, Q_8 = 3n – 1 = 3(8) – 1 = 24 – 1 = 23.Maka, U_8 = P_8 / Q_8 = 15/23.Dengan demikian, suku kedelapan dari barisan tersebut adalah 15/23.
Potensi kesalahan umum dalam menangani barisan seperti ini adalah langsung mencoba mencari satu rumus tunggal tanpa memisahkan pembilang dan penyebut, atau keliru dalam menentukan beda barisan untuk masing-masing komponen. Kesalahan lain adalah lupa bahwa suku pertama (n=1) harus memenuhi rumus, sehingga pengujian dari suku awal sangat penting.
Cara memeriksa konsistensi rumus cukup sederhana. Selalu uji untuk n=1, n=2, dan satu nilai n yang lebih besar (misal n=4 atau n=5). Pastikan hasil perhitungan rumus sama dengan pola yang terlihat. Jika untuk semua nilai uji tersebut hasilnya cocok, dapat dipastikan rumus yang kita miliki sudah benar dan siap digunakan untuk suku berapa pun.
Aplikasi dan Variasi Soal Terkait
Setelah rumus dikuasai dan diverifikasi, saatnya kita bermain-main dengan berbagai skenario soal. Kemampuan ini tidak hanya berguna untuk menyelesaikan satu jenis soal, tapi juga membuka pemahaman untuk menyelesaikan variasi pola barisan pecahan lainnya. Ibaratnya, kita sudah dapat pedang, sekarang mari asah dengan berlatih menghadapi berbagai bentuk tantangan.
Pola barisan pecahan dengan pembilang dan penyebut yang masing-masing membentuk barisan aritmatika adalah konsep yang sering muncul. Memahami satu contoh mendalam akan memudahkan kita mengatasi variasi beda atau suku awal yang berbeda. Bahkan, pola ini bisa jadi merepresentasikan suatu rasio yang berubah secara teratur dalam konteks masalah cerita.
Contoh Latihan dan Variasi Pola
Berikut tiga contoh soal latihan dengan tingkat kesulitan yang berbeda untuk mengasah pemahaman.
- Tingkat Dasar: Tentukan suku ke-15 dari barisan 1/2, 3/5, 5/8, 7/11, …
- Tingkat Menengah: Jika suatu suku dari barisan tersebut bernilai 21/32, tentukan nomor suku berapakah itu.
- Tingkat Lanjut: Diketahui suku ke-m dari barisan adalah 13/20. Tentukan suku ke-(m+5) dengan menggunakan rumus yang ada.
Untuk soal tipe “menentukan suku ke-n jika diketahui suku ke-m”, prosedur penyelesaiannya menarik. Pertama, gunakan nilai suku ke-m yang diketahui untuk mencari nilai ‘m’ itu sendiri dengan menyamakan rumus. Setelah ‘m’ ditemukan, hitung suku yang ditanyakan (misal m+5) dengan substitusi langsung ke rumus U_n. Pendekatan ini efisien karena tidak perlu mencari suku-suku di antaranya satu per satu.
Variasi pola barisan pecahan serupa sangat banyak. Misalnya, barisan 2/5, 5/8, 8/11, 11/14… Di sini, pembilangnya berselisih 3 (2,5,8,11) dan penyebutnya juga berselisih 3 (5,8,11,14). Rumus umumnya akan menjadi U_n = (3n – 1) / (3n + 2). Perbedaan pendekatan hanya terletak pada analisis beda dan suku awal masing-masing komponen.
Prinsip pemisahan analisis tetap sama.
Nah, kalau kamu udah nemu polanya, rumus suku ke-n barisan 1/2, 3/5, 5/8, 7/11 itu sebenarnya sederhana banget, mirip logika saat kamu menyederhanakan soal eksponen kayak Sederhanakn dan selesaikan tanpa menggunkan alat hitung. a. 500^(1/3) . 2^(1/3) . (125 x 3)^0 b.
(32^3)^(1/5) . (125^2)(1/3) yang butuh ketelitian sama pemahaman dasar. Intinya, setelah otakmu terlatih menyelesaikan bentuk aljabar atau pangkat seperti itu, mencari pola dan merumuskan suku ke-n barisan bilangan pun jadi lebih mudah dan mengalir, deh. Jadi, fokus dulu ke konsep dasarnya, ya!
Dalam konteks masalah rasio, bayangkan sebuah eksperimen dimana campuran bahan A dan bahan B diubah setiap percobaan. Rasio A terhadap B pada percobaan pertama adalah 1:2, lalu 3:5, 5:8, dan seterusnya. Pola barisan kita ini dapat menjadi model matematis untuk memprediksi rasio pada percobaan ke-n. Ilustrasi ini menunjukkan bagaimana matematika yang abstrak dapat memiliki kaki yang menyentuh masalah yang sangat nyata dan terukur.
Ringkasan Penutup
Jadi, begitulah ceritanya. Rumus yang kita dapatkan, (2n-1)/(3n-1), bukan sekadar kumpulan huruf dan angka. Dia adalah penjelmaan dari pola yang konsisten, bukti bahwa matematika seringkali berbicara dalam bahasa yang teratur. Sekarang, kamu punya senjata untuk menaklukkan barisan serupa atau soal-soal variasi yang lebih kompleks. Ingat, memahami polanya adalah kunci utamanya.
Selamat mencoba, dan jangan lupa, setiap rumus yang berhasil kamu turunkan sendiri rasanya pasti jauh lebih mantap daripada yang cuma dikasih tahu!
FAQ dan Informasi Bermanfaat: Rumus Suku Ke-n Barisan Bilangan: 1/2, 3/5, 5/8, 7/11, . Adalah ,,,,
Apakah rumus ini hanya berlaku untuk barisan pecahan?
Tidak, konsep mencari pola pada pembilang dan penyebut secara terpisah bisa diterapkan untuk banyak jenis barisan, termasuk yang berbentuk selisih atau kombinasi lainnya.
Bagaimana jika pola pembilangnya bukan bilangan ganjil berurutan?
Langkahnya tetap sama: identifikasi hubungan antara nomor suku (n) dengan nilai pembilangnya. Bisa berupa penambahan tetap (beda) atau pola lain, lalu cari rumus barisan aritmetikanya.
Apakah ada cara cepat mengecek kebenaran rumus suku ke-n?
Ya, substitusikan nilai n=1, 2, 3, dan 4 ke dalam rumus. Jika hasilnya cocok dengan empat suku pertama yang diketahui, kemungkinan besar rumusmu sudah benar.
Bagaimana cara menulis rumus ini di Microsoft Word atau Google Docs?
Barisan 1/2, 3/5, 5/8, 7/11,… punya pola yang rapi, di mana suku ke-n bisa ditemukan dengan rumus tertentu. Nah, soal matematika seperti ini seru banget buat diasah, kayak saat kamu harus cari luas persegi panjang dari kelilingnya yang 60 cm dan panjangnya 6 cm lebih dari lebar—simak trik lengkapnya di Keliling sebuah persegi panjang dengan ukuran panjang 6 cm lebih panjang dari lebarnya adalah 60 cm.
Tentukan luas persegi panjang tersebut.. Setelah itu, kamu bakal lebih jago lagi deh buat ngertiin pola-pola rumit kayak barisan bilangan tadi!
Gunakan fitur Equation Editor. Untuk rumus (2n-1)/(3n-1), kamu bisa mengetiknya sebagai fraksi dengan pembilang (2n-1) dan penyebut (3n-1).
