Jika akar(14y^2 – 20y + 48) + akar(14y^2 – 20y – 25) = 9, maka nilai dari akar(14y^2 – 20y + 48) – akar(14y^2 – 20y -15) sama dengan .. – Jika akar(14y^2 – 20y + 48) + akar(14y^2 – 20y – 25) = 9, maka nilai dari akar(14y^2 – 20y + 48)
-akar(14y^2 – 20y -15) sama dengan ..? Pertanyaan ini mungkin awalnya bikin mikir keras, lihat bentuk akar yang berjejalan begitu langsung pengen mundur perlahan. Tapi jangan khawatir, soal seperti ini sebenarnya punya pola rapi yang bisa diurai dengan trik substitusi sederhana.
Kita nggak perlu terjebak menghitung nilai y yang ribet, karena fokusnya justru pada hubungan elegan antara kedua bentuk akar tersebut.
Pada dasarnya, soal ini mengajak kita bermain-main dengan ekspresi aljabar yang serupa. Dengan mengidentifikasi bagian yang berulang, yaitu 14y^2 – 20y, seluruh persamaan yang terlihat kompleks bisa disederhanakan menjadi bentuk yang jauh lebih ramah. Dari sana, perjalanan menyelesaikannya menjadi seperti teka-teki matematika yang memuaskan saat ketemu jawabannya. Mari kita telusuri langkah-langkah jitunya bersama-sama.
Mengurai Persamaan Akar yang Terlihat Rumit
Pernah lihat soal matematika yang isinya dua akar kuadrat dijumlahin, lalu hasilnya sebuah bilangan bulat? Itu tuh soal yang sering bikin deg-degan, tapi sebenarnya punya pola penyelesaian yang elegan. Soal seperti ini menguji kemampuan kita dalam menyederhanakan bentuk aljabar dan bermain-main dengan sifat-sifat akar. Inti utamanya adalah mengidentifikasi pola yang tersembunyi di balik kerumitan notasi. Sebelum masuk ke soal utama, coba bayangkan persamaan sederhana seperti √(x+1) + √(x-2) = 5.
Langkah pertama yang biasanya dilakukan adalah mengisolasi satu akar, lalu mengkuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan tanda akar. Proses ini seringkali harus diulang dua kali sampai kita mendapatkan persamaan polinomial yang bisa diselesaikan.
Struktur Umum dan Langkah Awal Penyederhanaan
Source: amazonaws.com
Nah, kalau soal akar-akar aljabar yang ruwet itu, triknya sering ada di pola substitusi yang cerdas. Sama kayak soal cerita sederhana tapi menipu, misalnya nih, Persegi panjang ABCD mempunyai keliling 64 cm. Panjang sisi AB 4 cm lebih dari panjang BC. Tentukan: a. panjang sisi AB; b.
luas persegi panjang ABCD.. Dari soal itu, kita bisa ambil logika sistematisnya. Nah, balik lagi ke persamaan awal, setelah kita temukan nilai dari akar pertama dikurangi akar kedua, jawabannya pun akan ketemu dengan lebih elegan.
Soal dengan bentuk √A + √B = C, di mana A dan B adalah ekspresi aljabar, memerlukan pendekatan sistematis. Langkah standar yang hampir selalu efektif adalah memisahkan salah satu akar, misalnya √A = C – √B, lalu mengkuadratkan kedua sisinya. Hasil kuadrat ini akan menghasilkan suku yang masih mengandung akar √B, yang kemudian perlu diisolasi dan dikuadratkan sekali lagi. Proses ini, meskipun terlihat panjang, akan membawa kita pada persamaan yang lebih sederhana.
Kunci lainnya adalah memperhatikan kemiripan antara ekspresi di dalam akar A dan B; seringkali mereka hanya berbeda konstanta.
Menyederhanakan dengan Substitusi Variabel
Mari kita fokus pada soal inti: √(14y²
-20y + 48) + √(14y²
-20y – 25) = 9. Sekilas, ekspresi 14y²
-20y muncul berulang di kedua radikan. Ini adalah petunjuk emas. Dengan mengenali pola ini, kita bisa menyederhanakan tampilan persamaan secara drastis menggunakan teknik substitusi. Substitusi memungkinkan kita untuk memusatkan perhatian pada hubungan antara bentuk-bentuk akar tanpa terganggu oleh kerumitan variabel y untuk sementara waktu.
Identifikasi Pola dan Penerapan Substitusi
Ekspresi berulang 14y²
-20y kita misalkan sebagai sebuah variabel baru, misalnya x. Dengan substitusi x = 14y²
-20y, maka persamaan dalam soal berubah bentuk menjadi √(x + 48) + √(x – 25) =
9. Perubahan ini membuat persamaan menjadi jauh lebih bersih dan mudah untuk dikelola. Berikut tabel yang membandingkan ekspresi sebelum dan sesudah substitusi:
| Ekspresi Awal | Substitusi (x = 14y²
|
Bentuk Baru |
|---|---|---|
14y²
|
x + 48 | √(x + 48) |
14y²
|
x – 25 | √(x – 25) |
14y²
|
x – 15 | √(x – 15) |
Dengan demikian, soal awal kita bertransformasi menjadi masalah mencari nilai dari √(x + 48)
-√(x – 15), setelah kita menemukan nilai x yang memenuhi √(x + 48) + √(x – 25) = 9.
Strategi Menyelesaikan Persamaan Akar
Setelah persamaan disederhanakan menjadi √(x+48) + √(x-25) = 9, kita terapkan metode standar: mengisolasi dan mengkuadratkan. Tujuannya adalah untuk membebaskan variabel x dari belenggu tanda akar kuadrat. Proses aljabar ini membutuhkan ketelitian dalam menguraikan bentuk kuadrat dan menyederhanakan suku-suku sejenis. Visualisasi langkah-langkahnya dapat digambarkan dalam sebuah alur logis yang runtut.
Langkah Aljabar dan Diagram Alur Penyelesaian
Pertama, kita isolasi salah satu akar. Misalnya, √(x+48) = 9 – √(x-25). Langkah ini adalah pintu masuk untuk menghilangkan akar pertama. Selanjutnya, kita kuadratkan kedua ruas:
(√(x+48))² = (9 – √(x-25))²
x + 48 = 81 – 18√(x-25) + (x – 25)
Sederhanakan persamaan tersebut: x + 48 = x + 56 – 18√(x-25). Suku x di kiri dan kanan saling menghilang, menghasilkan 48 = 56 – 18√(x-25). Dari sini, kita dapatkan 18√(x-25) = 8, atau √(x-25) = 8/18 = 4/9. Karena kita sudah mendapatkan bentuk akar yang terisolasi, kita kuadratkan sekali lagi untuk mendapatkan x – 25 = (4/9)² = 16/81.
Nah, soal yang melibatkan bentuk akar seperti √(14y² – 20y + 48) + √(14y² – 20y – 25) = 9 memang butuh trik aljabar yang jitu. Sama halnya ketika kamu ingin menguasai materi dasar seperti Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(4, 3) dan bergradien 3/2 , fondasi yang kuat sangat menentukan. Kembali ke soal utama, setelah kamu temukan nilai dari ekspresi akar yang pertama, mencari hasil dari √(14y² – 20y + 48) – √(14y² – 20y -15) pun akan terasa lebih ringan dan solusinya bisa didapat dengan lebih percaya diri.
Dengan demikian, nilai x adalah 25 + 16/81 = (2025/81) + (16/81) = 2041/81.
Diagram alur penyelesaiannya dapat dideskripsikan sebagai berikut: Mulai dari persamaan substitusi -> Isolasi satu akar -> Kuadratkan pertama kali -> Sederhanakan hingga akar kedua terisolasi -> Kuadratkan kedua kali -> Selesaikan untuk variabel x. Setiap panah dalam diagram ini mewakili transformasi aljabar yang telah dijelaskan.
Perhitungan Menuju Jawaban Akhir: Jika Akar(14y^2 – 20y + 48) + Akar(14y^2 – 20y – 25) = 9, Maka Nilai Dari Akar(14y^2 – 20y + 48) – Akar(14y^2 – 20y -15) Sama Dengan ..
Nilai x = 2041/81 telah kita peroleh. Sekarang, tugas kita adalah menghitung nilai dari ekspresi target, yaitu √(14y²
-20y + 48)
-√(14y²
-20y – 15), yang dalam bentuk x menjadi √(x+48)
-√(x-15). Kita tidak perlu mencari nilai y secara eksplisit, karena semua yang kita butuhkan sudah termuat dalam nilai x. Substitusi balik adalah kunci di tahap ini.
Substitusi Balik dan Penyelesaian Ekspresi Target, Jika akar(14y^2 – 20y + 48) + akar(14y^2 – 20y – 25) = 9, maka nilai dari akar(14y^2 – 20y + 48) – akar(14y^2 – 20y -15) sama dengan ..
Pertama, kita hitung nilai dari setiap radikan menggunakan x = 2041/81.
x + 48 = (2041/81) + 48 = (2041/81) + (3888/81) = 5929/81.
x – 15 = (2041/81)
-15 = (2041/81)
-(1215/81) = 826/81.
Kita peroleh √(x+48) = √(5929/81). Perhatikan bahwa 5929 = 77² dan 81 = 9², sehingga √(5929/81) = 77/
9. Selanjutnya, √(x-15) = √(826/81). Nilai 826 bukan kuadrat sempurna, jadi kita biarkan dalam bentuk akar: √826 /
9. Maka, nilai ekspresi target adalah:
√(x+48)
-√(x-15) = (77/9)
-(√826 / 9) = (77 – √826) / 9.
Ini adalah bentuk sederhana dan eksak dari jawaban yang dicari.
Memastikan Keabsahan Solusi dan Metode Lain
Sebelum final, penting untuk memverifikasi bahwa solusi kita valid. Pertama, pastikan semua radikan bernilai non-negatif untuk domain bilangan real. Dengan x = 2041/81 ≈ 25.2, maka x+48, x-25, dan x-15 semuanya positif, sehingga akar-akarnya terdefinisi dengan baik. Selain metode pengkuadratan bertahap, terdapat pendekatan alternatif yang cerdik dengan memanfaatkan identitas selisih kuadrat.
Perbandingan Metode Penyelesaian
Metode alternatif yang dimaksud adalah dengan memperhatikan bahwa (√a + √b)(√a – √b) = a – b. Jika kita misalkan a = x+48 dan b = x-25, maka (√a + √b)(√a – √b) = (x+48)
-(x-25) = 73. Karena kita tahu √a + √b = 9, maka 9
– (√a – √b) = 73, sehingga √a – √b = 73/
9.
Informasi ini bisa digunakan sebagai langkah antara yang menarik, meski bukan langsung menjawab pertanyaan. Berikut tabel perbandingannya:
| Metode Utama (Kuadrat) | Metode Alternatif (Identitas) | Kelebihan | Pertimbangan |
|---|---|---|---|
| Langkah standar dan sistematis. | Mengungkap hubungan langsung antara jumlah dan selisih akar. | Paling umum dan mudah dipahami alurnya. | Perlu dua kali kuadrat, berisiko salah hitung. |
| Menghasilkan nilai x secara eksplisit. | Tidak perlu mencari nilai x terlebih dahulu. | Cepat mendapatkan selisih √(x+48) dan √(x-25). | Hanya memberi selisih dua akar tertentu, bukan jawaban akhir soal. |
Mengasah Kemampuan dengan Variasi Soal
Agar pemahaman tentang tipe soal ini semakin matang, cobalah berlatih dengan beberapa variasi angka. Prinsipnya tetap sama: identifikasi ekspresi yang berulang, lakukan substitusi, selesaikan persamaan akar, dan hitung ekspresi target. Latihan ini akan melatih kepekaan kita dalam melihat pola dan meningkatkan kecepatan penyelesaian.
Contoh Soal Latihan dan Strategi Inti
Berikut tiga variasi soal untuk dicoba:
- Jika √(3m² + 2m + 10) + √(3m² + 2m + 1) = 7, tentukan nilai dari √(3m² + 2m + 10)
-√(3m² + 2m – 2). Petunjuk: Misalkan x = 3m² + 2m. - Jika √(5k²
-3k + 16) + √(5k²
-3k – 9) = 5, tentukan nilai dari √(5k²
-3k + 16)
-√(5k²
-3k + 1). Petunjuk: Perhatikan konstanta di dalam akar. - Jika √(2z² + 4z + 27) + √(2z² + 4z) = 9, tentukan nilai dari √(2z² + 4z + 27)
-√(2z² + 4z – 8). Petunjuk: Salah satu radikan tidak memiliki konstanta tambahan.
Poin-poin penting yang harus diingat dalam menyelesaikan seluruh tipe soal ini adalah:
- Selalu cari dan identifikasi ekspresi aljabar linear atau kuadrat yang identik di dalam semua bentuk akar.
- Gunakan substitusi variabel untuk menyederhanakan penulisan dan memfokuskan analisis.
- Strategi inti adalah mengisolasi dan mengkuadratkan untuk menghilangkan tanda akar, biasanya dilakukan dua kali.
- Tidak selalu perlu mencari nilai variabel asli (seperti y, m, k), cukup gunakan hasil substitusi untuk menghitung ekspresi target.
- Selalu verifikasi bahwa nilai radikan (di dalam akar) tidak negatif untuk memastikan solusi real.
Kesimpulan
Jadi, begitulah ceritanya. Soal yang tampak seperti monster itu akhirnya bisa dijinakkan hanya dengan substitusi cerdas dan sedikit manipulasi aljabar. Kunci utamanya adalah melihat pola, bukan terjebak pada kerumitan. Hasil akhir yang didapat pun seringkali lebih sederhana dari yang dibayangkan, memberikan kepuasan tersendiri. Ini membuktikan bahwa dalam matematika, seringkali jalan pintas yang elegan justru tersembunyi di balik penyederhanaan yang tepat.
Jangan lupa, konsep semacam ini sangat berguna untuk melatih pola pikir analitis. Coba terapkan pada variasi soal lain dengan struktur serupa, pasti skill matematika lo akan naik level. Selamat sudah menyelesaikan satu teka-teki angka yang menarik! Ingat, yang penting bukan hanya jawabannya, tapi proses menemukan jalan keluar yang kreatif.
Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah nilai y harus dicari terlebih dahulu untuk menyelesaikan soal ini?
Tidak perlu. Strategi penyelesaian yang efektif justru menghindari mencari nilai y secara eksplisit. Kita cukup mencari nilai dari ekspresi 14y^2 – 20y melalui substitusi dan manipulasi persamaan.
Mengapa bagian yang disubstitusi adalah 14y^2 – 20y, bukan yang lain?
Karena bagian itu adalah inti yang berulang di semua bentuk akar. Dengan memisalkannya sebagai satu variabel (misal x), persamaan menjadi jauh lebih sederhana dan mudah dikelola.
Apakah ada cara lain selain mengkuadratkan persamaan?
Ada. Metode alternatifnya adalah dengan memanfaatkan identitas (√a + √b)(√a – √b) = a – b. Namun, metode ini biasanya membutuhkan langkah tambahan untuk menemukan nilai √a – √b yang diminta.
Bagaimana memastikan bahwa hasil perhitungan kita benar dan semua akar bernilai real?
Lakukan verifikasi dengan mensubstitusi nilai x yang didapat kembali ke dalam radikan (angka di dalam akar). Pastikan semua hasilnya tidak negatif, karena akar kuadrat dari bilangan negatif bukan bilangan real.
Apakah soal ini hanya memiliki satu solusi?
Dalam konteks ini, ya. Proses penyederhanaan dan pengkuadratan biasanya menghasilkan satu nilai untuk ekspresi yang diminta, asalkan semua syarat kevalidan akar terpenuhi.
