Jika diberikan suatu barisan bilangan 3, 5, 9 , 15, 23, , berapakah suku ke-16? – Jika diberikan suatu barisan bilangan 3, 5, 9, 15, 23, , berapakah suku ke-16? Pertanyaan ini mungkin awalnya bikin mikir, tapi jangan khawatir, kita bakal urai bareng-bareng polanya. Soal seperti ini bukan cuma tes hitungan, tapi lebih ke melatih mata kita untuk jeli melihat pola yang tersembunyi di balik deretan angka yang terlihat acak. Yuk, kita telusuri step by step bagaimana angka-angka ini ‘berbicara’ dan mengungkap rumus rahasianya.
Dari lima angka awal itu, kita akan mulai dengan mengamati jarak antar mereka. Dengan membuat tabel sederhana untuk melihat selisihnya, pola yang semula samar akan mulai terlihat jelas. Dari sana, kita bisa naik tingkat untuk menemukan rumus umum yang nantinya akan memandu kita langsung ke pintu jawaban, yaitu nilai dari suku yang keenam belas. Prosesnya seru, seperti menyelesaikan puzzle angka.
Memahami Pola Barisan Bilangan
Sebelum kita melompat ke suku ke-16, mari kita kenali dulu karakter si barisan ini: 3, 5, 9, 15, 23. Barisan seperti ini seringkali tidak langsung kasih kode rahasianya. Kita perlu jadi detektif yang teliti, mengamati jejak-jejak angka untuk menemukan polanya. Langkah paling klasik dan efektif adalah dengan menganalisis selisih antar sukunya. Dengan pendekatan sistematis, pola yang tersembunyi akan terkuak dengan sendirinya.
Mari kita buat catatan detektif kita dalam bentuk tabel. Tabel ini akan membantu kita melacak perubahan nilai dari satu suku ke suku berikutnya, dan bahkan perubahan dari perubahan itu sendiri.
| Suku ke-n (n) | Nilai (Uₙ) | Selisih Pertama (Δ1) | Selisih Kedua (Δ2) |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | – | – |
| 2 | 5 | 2 | – |
| 3 | 9 | 4 | 2 |
| 4 | 15 | 6 | 2 |
| 5 | 23 | 8 | 2 |
Nah, dari tabel itu terlihat sesuatu yang menarik. Selisih antar suku (kolom Δ1) adalah 2, 4, 6,
8. Ini belum konstan, tapi kita lihat polanya bertambah
2. Ketika kita hitung selisih dari selisih pertama itu (kolom Δ2), kita dapatkan angka yang tetap: 2. Inilah kunci utamanya.
Ketika selisih tingkat kedua bernilai konstan (bukan nol), itu adalah indikasi kuat bahwa barisan kita mengikuti pola kuadratik. Rumus umum suku ke-n-nya akan berbentuk polinomial berderajat dua.
Rumus umum barisan dengan selisih tingkat kedua konstan (c) adalah: Uₙ = An² + Bn + C, di mana A = c/2.
Dalam kasus kita, selisih tingkat kedua (c) = 2. Maka, nilai A = 2/2 = 1. Jadi untuk sementara kita tahu rumusnya berbentuk Uₙ = n² + Bn + C. Untuk menemukan B dan C, kita bisa substitusi nilai suku yang kita ketahui.
Verifikasi Rumus dengan Suku Awal, Jika diberikan suatu barisan bilangan 3, 5, 9 , 15, 23, , berapakah suku ke-16?
Mari kita uji kebenaran logika ini dengan mencari nilai B dan C. Kita punya data: Untuk n=1, U₁=3. Untuk n=2, U₂=5. Substitusi ke bentuk Uₙ = n² + Bn + C.
- Untuk n=1: (1)² + B(1) + C = 3 → 1 + B + C = 3 → B + C = 2.
- Untuk n=2: (2)² + B(2) + C = 5 → 4 + 2B + C = 5 → 2B + C = 1.
Kita punya dua persamaan: B + C = 2 dan 2B + C =
1. Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua, kita dapatkan B = –
1. Substitusi B=-1 ke B+C=2, maka C =
3. Jadi, rumus suku ke-n yang kita dapatkan adalah:
Uₙ = n² – n + 3
Mari verifikasi untuk suku ke-3 dan ke-4: U₃ = 3²
-3 + 3 = 9 (sesuai). U₄ = 4²
-4 + 3 = 15 (sesuai). Rumus kita terbukti akurat.
Menentukan Rumus Suku Ke-n
Proses penurunan rumus suku ke-n dari sebuah barisan berpola adalah seperti merakit puzzle. Setelah kita tahu jenis polanya dari analisis selisih, langkah selanjutnya adalah merangkai koefisien-koefisiennya menjadi sebuah persamaan yang elegan. Ada beberapa jalur yang bisa ditempuh, namun prinsip dasarnya tetap sama: memanfaatkan informasi dari suku-suku yang telah diketahui.
Berikut adalah langkah-langkah sistematis yang bisa kamu ikuti berdasarkan analisis yang sudah kita lakukan:
- Identifikasi Konstanta Selisih: Hitung selisih berurutan hingga diperoleh tingkat selisih yang konstan. Orde (tingkat) selisih yang konstan menunjukkan derajat polinomial rumus umum.
- Tentukan Bentuk Umum: Jika selisih tingkat kedua konstan (c), gunakan bentuk kuadrat Uₙ = An² + Bn + C, dengan A = c/2.
- Buat Sistem Persamaan: Substitusikan nilai n dan Uₙ dari minimal tiga suku yang diketahui (misalnya n=1,2,3) ke dalam bentuk umum.
- Selesaikan Sistem Persamaan: Cari nilai koefisien A, B, dan C dengan metode eliminasi-substitusi atau cara lain.
- Verifikasi: Uji rumus akhir dengan mensubstitusi nilai n untuk suku lain yang sudah diketahui, memastikan tidak ada kesalahan hitung.
Penting untuk dipahami bahwa selisih yang konstan pada tingkat tertentu adalah penanda derajat polinomial. Selisih pertama konstan? Pola linear (derajat 1). Selisih kedua konstan? Pola kuadratik (derajat 2). Selisih ketiga konstan? Pola kubik (derajat 3), dan seterusnya.
Selain metode beda hingga yang kita pakai, metode lain seperti mencoba pola langsung atau penalaran rekursif juga mungkin. Namun, metode beda hingga lebih terstruktur dan jarang menyesatkan untuk pola yang tidak terlalu rumit. Berikut adalah rincian koefisien dari rumus yang telah kita temukan:
| Koefisien | Nilai | Kontribusi terhadap Nilai Suku |
|---|---|---|
| A (dari n²) | 1 | Menentukan “kelengkungan” pertumbuhan. Nilai positif berarti pertumbuhan semakin cepat. |
| B (dari n) | -1 | Komponen linear yang memodifikasi laju pertumbuhan dasar. |
| C (konstanta) | 3 | Nilai awal atau titik potong di saat n=0 (secara konseptual). |
Perhitungan Suku Ke-16
Sekarang saat yang ditunggu: mengungkap nilai suku ke-16. Dengan rumus Uₙ = n²
-n + 3 yang sudah kita percaya, perhitungannya menjadi sangat langsung. Namun, dalam matematika, kehati-hatian adalah segalanya. Salah satu tipsnya adalah melakukan perhitungan bertahap dan memeriksa konsistensi pola kecilnya.
Mari kita hitung:
U₁₆ = (16)² – (16) + 3U₁₆ = 256 – 16 + 3U₁₆ = 240 + 3U₁₆ = 243
Jadi, nilai suku ke-16 adalah
243. Sebagai pengecekan, kita bisa lihat pola selisihnya. Suku ke-5 adalah 23 dengan selisih pertama terakhir
8. Jika pola selisih pertama (2,4,6,8,…) terus naik 2, maka selisih pertama untuk suku ke-6 adalah 10, ke-7 adalah 12, dan seterusnya. Kita bisa hitung secara rekursif: U₆ = 23+10=33, U₇=33+12=45, U₈=45+14=59, dan terus menjumlahkan selisih yang selalu bertambah 2 hingga suku ke-16.
Nah, kalau ditanya suku ke-16 dari barisan 3, 5, 9, 15, 23, … itu perlu ketelitian lihat polanya. Sama kayak tantangan menyederhanakan bentuk eksponen yang butuh logika jernih, kayak soal Sederhanakn dan selesaikan tanpa menggunkan alat hitung. a. 500^(1/3) .
2^(1/3) . (125 x 3)^0 b. (32^3)^(1/5) . (125^2)(1/3) itu, intinya kita mainin nalar dan sifat bilangan. Setelah paham cara menyiasati soal eksponen, balik lagi ke barisan tadi, pola selisihnya yang bertambah 2 setiap langkah bakal bantu kita temukan suku ke-16 dengan lebih percaya diri.
Hasilnya pasti akan mengonfirmasi angka 243.
Bayangkan pertumbuhan barisan ini seperti sebuah pelari yang terus meningkatkan kecepatannya secara teratur. Setiap langkah (suku) berikutnya, ia menambah jarak yang lebih panjang dari penambahan sebelumnya dengan peningkatan yang tetap. Posisi suku ke-16 adalah titik yang jauh di depan, terakselerasi dengan baik karena percepatan pertambahan nilai yang konsisten sejak awal.
Aplikasi dan Variasi Pola Serupa: Jika Diberikan Suatu Barisan Bilangan 3, 5, 9 , 15, 23, , Berapakah Suku Ke-16?
Pola kuadratik seperti ini bukan cuma ada di soal matematika. Ia muncul dalam banyak konteks, misalnya dalam menghitung jumlah maksimum hubungan sosial dalam kelompok, perkiraan biaya dengan komponen tetap dan variabel yang naik secara tidak linear, atau pola penyusunan benda berbentuk segitiga dan persegi. Kemampuan mengenali pola adalah keterampilan dasar dalam memecahkan masalah.
Berikut tiga contoh barisan lain yang memiliki karakteristik selisih tingkat kedua konstan, meski dengan “rasa” yang berbeda:
| Barisan | Rumus Suku ke-n | Selisih Kedua | Konteks Kemungkinan |
|---|---|---|---|
| 2, 6, 12, 20, 30, … | Uₙ = n² + n | 2 | Banyaknya titik persegi panjang dengan panjang n dan lebar n+1. |
| 1, 4, 9, 16, 25, … | Uₙ = n² | 2 | Luas persegi dengan sisi n (bilangan kuadrat sempurna). |
| 4, 7, 12, 19, 28, … | Uₙ = n² + 3 | 2 | Sebuah konstanta awal yang ditambah dengan pola pertumbuhan kuadrat. |
Strategi umum untuk menyelesaikan berbagai barisan adalah konsisten: hitung selisih berjenjang. Jika selisih pertama konstan, itu barisan aritmatika. Jika rasio antar suku konstan, itu geometri. Jika selisih kedua konstan, gunakan bentuk kuadrat. Untuk latihan, coba terapkan strategi ini pada barisan: 5, 11, 21, 35, 53, …
Temukan rumusnya dan hitung suku ke-10. Pola ini menguji pemahamanmu tentang langkah-langkah yang telah kita bahas.
Visualisasi dan Penjelasan Konsep
Source: kompas.com
Jika kita gambarkan pertumbuhan barisan 3, 5, 9, 15, 23, … pada bidang koordinat dengan n sebagai sumbu horizontal dan Uₙ sebagai sumbu vertikal, kita akan mendapatkan sekumpulan titik yang tidak terletak pada garis lurus, melainkan pada sebuah kurva parabola yang membuka ke atas. Kurva ini adalah visualisasi dari rumus Uₙ = n²
-n + 3. Grafiknya naik dengan kemiringan yang semakin curam, mencerminkan pertambahan nilai suku yang semakin besar.
Setiap koefisien dalam rumus polinomial memberi warna tersendiri pada grafik. Koefisien A=1 yang positif menyebabkan parabola membuka ke atas. Koefisien B=-1 menggeser sumbu simetri parabola dari sumbu vertikal. Sedangkan konstanta C=3 menentukan titik potong grafik dengan sumbu vertikal secara konseptual (saat n=0).
Nah, kalau kamu lagi mikirin soal barisan kayak 3, 5, 9, 15, 23, dan bingung cari suku ke-16, intinya sih kita butuh rumus suku ke-n yang jitu. Biar makin paham polanya, coba deh tengok dulu cara nemuin rumus untuk barisan lain yang serupa, kayak yang dijelasin di sini a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 7, 19, 31, 43, ! b.
Mengacu pada jawaban a, tulislah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut! (i) 8, 20. Setelah itu, konsep yang sama bisa kamu terapkan untuk nyelesein teka-teki barisan awal tadi dan akhirnya ketemu deh si suku keenam belas yang dicari.
Mari bandingkan dengan pola lain secara tekstual. Barisan aritmatika seperti 2,5,8,11,… akan tampak sebagai titik-titik segaris lurus dengan kemiringan tetap. Barisan geometri seperti 2,6,18,54,… akan tampak sebagai titik-titik pada kurva eksponensial yang melesat naik jauh lebih cepat.
Pola kuadratik kita ada di antara keduanya, lebih cepat dari linear tapi lebih lambat dari eksponensial dalam jangka panjang.
- Karakteristik Kunci Pola Kuadratik: Laju pertumbuhannya sendiri (selisih pertama) bertambah secara linear. Ini berbeda dengan pola linear di mana laju pertumbuhannya tetap, dan dengan pola geometri di mana laju pertumbuhannya berbanding lurus dengan nilai sukunya.
- Makna Selisih Tingkat Kedua: Nilai konstan 2 pada selisih tingkat kedua ini adalah besarnya percepatan pertambahan nilai suku. Setiap kali n naik 1, selisih antar suku (Δ1) bertambah tepat 2. Ini analog dengan benda yang bergerak dengan percepatan tetap dalam fisika.
Ilustrasinya seperti ini: bayangkan kamu menabung. Jika setiap bulan kamu menambah tabungan dengan jumlah yang sama (misal +50 ribu), itu pola linear. Jika setiap bulan kamu menambah tabungan dengan jumlah yang lebih besar 10 ribu dari bulan sebelumnya (bulan ini +50, bulan depan +60, lalu +70), maka pertambahan tabunganmu sendiri mengalami percepatan sebesar 10 ribu per bulan. Itulah selisih tingkat kedua yang konstan, dan total tabunganmu akan mengikuti pola kuadratik.
Penutup
Jadi, setelah melalui perjalanan mengamati pola, menurunkan rumus, dan melakukan perhitungan, kita akhirnya sampai pada jawabannya. Nilai suku ke-16 dari barisan 3, 5, 9, 15, 23, … adalah 273. Proses ini mengajarkan bahwa banyak pola bilangan yang kompleks bisa diurai dengan pendekatan sistematis yang tepat. Selisih tingkat kedua yang konstan adalah kunci utamanya, membuka jalan ke bentuk rumus kuadratik yang elegan.
Jangan berhenti di sini. Coba terapkan logika yang sama pada barisan lain, atau modifikasi soalnya sendiri. Kemampuan membaca pola ini adalah skill dasar yang berguna jauh di luar soal matematika, bisa untuk analisis data hingga membaca tren. Sekarang, kamu sudah punya satu senjata baru di toolkit problem-solving-mu. Selamat mencoba!
Informasi Penting & FAQ
Apakah rumus suku ke-n ini selalu berbentuk kuadrat?
Tidak selalu. Bentuk rumus bergantung pada pola selisihnya. Jika selisih tingkat pertama konstan, rumusnya linear (aritmatika). Jika selisih tingkat kedua yang konstan, seperti pada soal ini, maka rumusnya kuadratik. Bisa ada pola dengan selisih tingkat ketiga konstan yang menghasilkan rumus pangkat tiga, dan seterusnya.
Bagaimana jika soalnya menanyakan suku yang sangat besar, misalnya suku ke-100?
Sangat disarankan menggunakan rumus langsung. Metode rekursif (menjumlah selisih terus menerus) akan sangat tidak efisien dan rawan salah. Dengan rumus U_n = n²
-n + 3, kamu tinggal mengganti n dengan 100 untuk mendapatkan jawaban yang akurat dan cepat.
Apakah ada cara cepat menebak pola tanpa hitung selisih?
Untuk pola sederhana mungkin bisa, tetapi untuk akurasi, menghitung selisih berjenjang adalah metode paling sistematis dan terjamin. “Menebak” bisa menghasilkan rumus yang salah, terutama jika hanya melihat beberapa suku awal. Selalu verifikasi rumus dengan menghitung ulang 2-3 suku yang sudah diketahui.
Di kehidupan sehari-hari, pola seperti ini muncul di situasi apa?
Pola pertumbuhan kuadratik muncul dalam banyak konteks, seperti jumlah maksimum hubungan sosial dalam kelompok (setiap orang berteman dengan orang lain), pola susunan benda berbentuk segitiga atau piramida, hingga dalam perhitungan biaya dengan komponen tetap dan variabel yang bertambah secara konstan.
