a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 7, 19, 31, 43, ! b. Mengacu pada jawaban a, tulislah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut! (i) 8, 20. Dengar, soal barisan aritmatika kayak gini tuh sering bikin deg-degan, tapi sebenernya kalau udah nemu polanya, semua jadi semudah menghitung langkah kaki. Kita lagi ngomongin pola angka yang naiknya teratur, kayak anak tangga yang jaraknya selalu sama.
Di dunia yang serba nggak pasti ini, ternyata matematika ngasih kita contoh setia tentang konsistensi, lho.
Nah, sebelum masuk ke rumus-rumus yang kelihatannya serem, mari kita kenalan dulu sama dua tokoh utamanya: si suku pertama yang biasa dipanggil ‘a’, dan si ‘beda’ yang disingkat ‘b’—dia ini pahlawan yang menentukan seberapa jauh lompatan antar angka. Dari barisan 7, 19, 31, 43, kita akan menyelidiki pola ini layaknya detektif, mencari petunjuk, dan akhirnya merumuskan sebuah persamaan yang bisa memprediksi suku ke-1000 sekalipun.
Nah, untuk soal barisan aritmatika kayak 7, 19, 31, 43, rumus suku ke-n-nya bisa kamu temukan dengan selisih tetap 12, jadi Un = 12n – 5. Konsep manipulasi aljabar ini juga penting banget kalau kamu lagi ngulik soal tentang akar-akar persamaan kuadrat, misalnya nih, untuk menyelesaikan nilai dari x1² + x2² dan lainnya, kamu bisa langsung cek pembahasan lengkapnya di Akar-akar persamaan x^2 – 3x + 6 = 0 adalah x1 dan x2.
Tentukan nilai dari: a. x1^2 + x2^2 b. x1^3 + x2^3 c. x1x2^2 +x1^2 x2 d. 1/x1^2 + 1/x2^2.
Dengan pemahaman itu, soal lanjutannya seperti barisan 8, 20, … pun pasti lebih gampang, karena polanya serupa, tinggal sesuaikan saja suku awalnya.
Seru, kan?
Pengantar Barisan Aritmatika
Pernahkah kamu memperhatikan pola kenaikan harga parkir per jam, atau jarak antara tiang listrik di jalan raya? Pola-pola yang teratur seperti itu sering kali bisa dijelaskan dengan konsep matematika yang disebut barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah sederetan bilangan dimana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih yang tetap inilah yang menjadi jantung dari barisan ini, membuat perhitungannya menjadi terstruktur dan bisa diprediksi.
Dua komponen kunci yang perlu kamu kenal adalah suku pertama dan beda. Suku pertama, biasanya dilambangkan dengan huruf ‘a’, adalah angka yang membuka deretan. Sementara beda, dilambangkan dengan ‘b’, adalah besarnya kenaikan (atau penurunan) yang konsisten dari satu suku ke suku berikutnya. Misalnya, dalam barisan 2, 5, 8, 11, suku pertamanya adalah 2 dan bedanya adalah 3. Konsep ini sangat powerful karena dengan hanya mengetahui dua informasi sederhana itu, kita bisa meramalkan suku ke-100, ke-1000, atau bahkan suku ke-n yang tak terhingga.
Definisi dan Ciri Utama Barisan Aritmatika
Source: googleapis.com
Barisan aritmatika memiliki ciri khas yang sangat jelas: penambahan atau pengurangan yang konstan. Jika kamu mengambil suku apa pun (kecuali suku pertama) dan menguranginya dengan suku sebelumnya, hasilnya akan selalu sama. Pola linier ini membedakannya dari barisan lain seperti geometri yang bertumbuh secara perkalian. Dalam kehidupan, kamu bisa menemukan contohnya pada penyusutan nilai barang secara tetap per tahun, atau target menabung yang meningkat dengan jumlah yang sama setiap bulannya.
Menentukan Rumus Suku Ke-n
Setelah memahami konsep dasarnya, kini saatnya kita meracik rumus ajaibnya. Rumus suku ke-n (Un) dari barisan aritmatika adalah kunci untuk membuka semua prediksi. Rumus umumnya adalah
Un = a + (n-1)b
. Terlihat sederhana, bukan? Logika di baliknya sangat elegan: untuk mencapai suku ke-n, kita mulai dari suku pertama (a), lalu melangkah sebanyak (n-1) kali dengan langkah sebesar beda (b).
Mari kita lihat penerapannya pada barisan dari soal: 7, 19, 31, 43. Kita akan memecahnya dalam tabel untuk melihat pola yang terbentuk dengan jelas.
| Suku ke- | Nilai (Un) | Beda (b) | Penerapan Rumus |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 | – | a = 7 |
| 2 | 19 | 19 – 7 = 12 | U2 = 7 + (2-1)*12 = 19 |
| 3 | 31 | 31 – 19 = 12 | U3 = 7 + (3-1)*12 = 31 |
| 4 | 43 | 43 – 31 = 12 | U4 = 7 + (4-1)*12 = 43 |
Dari tabel, terlihat bahwa beda (b) konsisten sebesar 12. Dengan a = 7 dan b = 12, kita substitusikan ke dalam rumus umum. Maka, rumus suku ke-n untuk barisan ini adalah Un = 7 + (n-1)
–
12. Bisa kita sederhanakan menjadi Un = 12n –
5. Coba tes untuk n=3: 12*3 – 5 = 36 – 5 = 31.
Nah, kalau kita bahas barisan 7, 19, 31, 43, rumus suku ke-n-nya bisa ditemukan dengan selisih tetap 12, jadi Un = 12n – 5. Dari sini, untuk barisan 8, 20, … tinggal geser polanya. Soal kayak gini mirip konsepnya dengan persamaan linear, kayak saat kita hitung Harga 12 pensil dan 8 buku Rp 44.000,00 sedangkan harga 9 pensil dan 4 buku Rp 31.000,00.
Jumlah uang yang harus dibayarkan untuk 2 pensil dan 5 buku yang butuh sistem persamaan. Kembali ke barisan, intinya pahami polanya dulu, baru rumus untuk 8, 20 bisa disusun dengan logika yang sama.
Cocok!
Analisis Kasus dan Penerapan Rumus
Sekarang, kita akan menyelami soal yang diberikan secara mendalam. Soal lengkapnya adalah:
a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 7, 19, 31, 43! b. Mengacu pada jawaban a, tulislah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut! (i) 8, 20, …
Penyelesaian bagian (a) sudah kita lakukan bersama seperti pada tabel di atas. Hasilnya adalah Un = 12n –
5. Bagian yang menarik adalah soal (b.i). Sekilas, barisannya berbeda: 8, 20, … Namun, mari kita hitung bedanya.
20 – 8 = 12. Wah, bedanya sama persis dengan barisan sebelumnya, yaitu 12! Perbedaannya hanya terletak pada suku pertama. Jika barisan pertama punya a = 7, barisan kedua ini punya a = 8.
Karena bedanya sama, pola “pertumbuhan” kedua barisan ini paralel. Mereka seperti dua garis lurus yang sejajar. Jadi, untuk barisan 8, 20, … dengan a = 8 dan b = 12, rumus suku ke-n-nya adalah Un = 8 + (n-1)*12, yang disederhanakan menjadi Un = 12n – 4. Perhatikan bahwa konstanta di belakangnya (angka -5 dan -4) berbeda, mencerminkan titik awal (suku pertama) yang berbeda.
Hubungan Pola Antar Barisan, A. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 7, 19, 31, 43, ! b. Mengacu pada jawaban a, tulislah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut! (i) 8, 20
Analisis ini mengajarkan kita untuk jeli melihat hubungan. Soal tidak selalu meminta kita menghitung dari nol. Seringkali, dengan memahami pola dasar dari satu kasus, penyelesaian kasus lain yang serupa menjadi lebih cepat dan efisien. Ini adalah keterampilan penting dalam berpikir matematis: mengenali pola dan menerapkannya dalam konteks baru.
Variasi Soal dan Penyelesaian
Dalam dunia nyata, soal tentang barisan aritmatika tidak selalu memberikan suku pertama dan kedua secara berurutan. Kamu mungkin hanya diberikan suku ke-5 dan suku ke-
11. Jangan panik. Prinsipnya tetap sama: cari beda (b) terlebih dahulu. Jika diketahui U5 dan U11, maka dari suku ke-5 ke suku ke-11 ada selisih 6 langkah (11-5=6).
Selisih nilai antara U11 dan U5 dibagi 6 akan memberikan beda (b). Setelah b ditemukan, kamu bisa substitusi ke salah satu persamaan untuk mencari suku pertama (a).
Berikut adalah beberapa variasi pola soal yang umum ditemui:
- Menentukan suku tertentu (misal, suku ke-50) jika diketahui dua suku lain.
- Menentukan banyaknya suku (n) jika diketahui suku pertama, beda, dan suku terakhir.
- Menyisipkan beberapa bilangan di antara dua bilangan agar membentuk barisan aritmatika.
- Soal cerita yang melibatkan pola penambahan tetap, seperti produksi, tabungan, atau jarak.
Langkah pengecekan kebenaran rumus juga krusial. Setelah mendapatkan rumus Un = 12n – 5, cobalah hitung untuk n=4. Apakah hasilnya 43? Jika iya, itu indikasi kuat bahwa rumusmu benar. Pengecekan pada dua atau tiga suku yang diketahui akan meminimalisir kesalahan perhitungan.
Visualisasi dan Penjelasan Mendalam
Bayangkan sebuah garis bilangan. Dari titik 7, kita melompat ke kanan sejauh 12 satuan, mendarat di
19. Dari 19, lompat lagi sejauh 12 satuan, tiba di
31. Setiap lompatan memiliki jarak yang persis sama. Bayangan visual ini adalah esensi dari barisan aritmatika: sebuah progresi dengan kecepatan konstan.
Beda (b) adalah jarak tetap antar titik-titik (suku) pada garis bilangan itu.
Dalam narasi yang lebih dalam, beda ini bisa dianggap sebagai detak jantung dari barisan tersebut. Ia menentukan ritme pertumbuhannya. Bandingkan dengan pertumbuhan geometri yang seperti ledakan, semakin lama semakin cepat. Aritmatika lebih mirip dengan langkah kaki yang stabil dan terukur, bisa diandalkan untuk memprediksi posisi di masa depan. Analoginya seperti menaiki tangga dengan anak tangga yang tingginya sama, setiap langkahmu membawamu lebih tinggi dengan peningkatan ketinggian yang konsisten.
Visualisasi ini membantu memahami mengapa rumus Un = a + (n-1)b bekerja. Suku pertama adalah titik awal. Setiap kali n bertambah 1, kamu menambahkan satu kali beda. Jadi untuk mencapai suku ke-n, kamu menambahkan beda sebanyak (n-1) kali ke suku awal. Kesederhanaan dan keanggunan pola inilah yang membuat barisan aritmatika menjadi fondasi penting dalam memahami pola bilangan yang lebih kompleks.
Akhir Kata: A. Tentukan Rumus Suku Ke-n Dari Barisan 7, 19, 31, 43, ! B. Mengacu Pada Jawaban A, Tulislah Rumus Suku Ke-n Dari Barisan Bilangan Berikut! (i) 8, 20
Jadi, gimana? Ternyata, setelah diurai, soal barisan aritmatika itu bukan monster, tapi lebih seperti puzzle yang memuaskan saat terpecahkan. Dari 7, 19, 31, 43 kita dapat rumus Un = 12n – 5, dan dengan logika yang sama, barisan 8, 20 pun langsung ketahuan kembarannya, yaitu Un = 12n –
4. Kuncinya cuma satu: kenali dulu suku pertama dan bedanya, lalu masukkan ke dalam rumus sakti Un = a + (n-1)b.
Sekarang, coba latihan dengan barisan lain, yuk! Pasti bisa.
Pertanyaan Umum (FAQ)
Apakah beda barisan aritmatika selalu positif?
Tidak. Beda (b) bisa positif (barisan naik), negatif (barisan turun), atau bahkan nol (semua sukunya sama).
Bagaimana jika soalnya hanya memberi dua suku, misalnya U2=10 dan U5=19?
Kita tetap bisa cari beda (b) dan suku pertama (a). Caranya, anggap U2 dan U5 sebagai persamaan: a + b = 10 dan a + 4b = 19, lalu selesaikan sistem persamaan linear tersebut.
Apakah rumus Un = a + (n-1)b hanya untuk n bilangan bulat positif?
Ya, karena ‘n’ mewakili posisi suku ke-n dalam barisan, yang dimulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya. Nilai n harus bilangan bulat positif.
Mengapa pada soal b(i) rumusnya mirip dengan jawaban a?
Karena barisan 8, 20, … memiliki beda yang sama, yaitu 12, dengan barisan 7, 19, … Mereka seperti barisan paralel yang berjalan beriringan dengan selisih 1. Rumusnya pun akan mirip, hanya konstanta di belakang yang berbeda.
